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6.3.3等比数列前n项和的公式


等比数列前n项和的公式

秦皇岛市职业技术学校 李天乐

一、新课引入:

求数列: 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 263 ? ?
记S

? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ,式中
2 3 63

有64项,后项与前项的比为公比2

,当每一项都乘
以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互 抵消.

二、新课讲解:

即 S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ,
2 3 63

① ②

2S ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ,
2 3 63 64

②-①得 2S ? S ? 264 ? 1,

即 S ? 2 64 ? 1.

由此对于一般的等比数列,其前 n 项和

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ,如何化简?
2

n?1

等比数列前项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法,等式两边应同 乘以等比数列的公比 q ,
2 n?1 S ? a ? a q ? a q ? ? ? a q 即 n ③两端同乘以 q , 1 1 1 1

得qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ? ? a1qn?1 ? a1qn ④,
n ( 1 ? q ) S ? a ? a q ③-④得 ⑤, n 1 1

当 q ? 1时,由③可得Sn ? na1 ;
a1 ? a1q n 当 q ? 1 时,由⑤得 Sn ? . 1? q

?na1 , ( q ? 1), ? 于是S n ? ? a1 ? a1q n ? 1 ? q , ( q ? 1). ?

反思推导求和公式的方法——错位相减法, 可以求形如 ?xn ? yn ? 的数列的和,其中 ?xn ? 为 等差数列, ?yn ? 为等比数列.

例题:

1 2 3 4 n Sn ? ? ? ? ??? n . 求和: 2 4 8 16 2
n 1 ?1? a ? ? n ? 设 n ,其中?n?为等差数列, ? n? n n 2 2 ?2 ?
1 为等比数列,公比为 2

,利用错位相减法求和.

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? ? ? n ? n , 解: 2 2 2 2 2
1 两端同乘以 ,得 2
1 1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? ? ? ( n ? 1) ? n ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 n 两式相减得 S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2

于是 S n ? 2 ?

1 2 n ?1

n ? n . 2

说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等 比数列求和的问题.

三、小结:
1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及 公式的应用; 2.用错位相减法求一些数列的前 n 项和.


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