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高二数学周练(2014.10.1)


高二数学下学期第二次周练(2014.10.1)
一、选择题(每道小题 5 分,有 12 题,共 60 分)
1. 如果 A ? {x ∣ ax ? ax ? 1 ? 0 } ? ? ,则实数 a 的集合是(
2



A. { a ∣ 0 ? a ? 4 }

B. { a ∣ 0 ? a ? 4 }

C. { a ∣ 0 ? a ? 4 }
=0,则 k=(

D. { a ∣ 0 ? a ? 4 }


2. 已知向量 a =(2,1) , b =( ?1 ,k) , a ?2 (a b ? )

A. 12

B. 6

C . ?6


D. ?12

3. 已知 a ? log 2 3.6, b ? log 4 3.2, c ? log 4 3.6, 则(

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c
)

D. (D) c ? a ? b

4. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(

A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l2 C. l1 // l2 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面
5. 若 ? ∈(0,

B. l1 ? l2 , l1 // l3 ? l2 ? l3 D. l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面
)

? 1 2 ) ,且 sin ? ? cos 2? ? ,则 tan ? ? ( 2 4
B.

A.

2 2

3 3

C.

2

D. 3


6. 设函数 f ( x) ? sin(?x ?

A. f ( x) 在 (0, ) 单调递减 2 C. f ( x) 在 (0, ) 单调递增 2

? ?

2? 2? ) ? sin(?x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则( 3 3
B. f ( x) 在 (0, ) 单调递增 4 D. f ( x) 在 (0, ) 单调递减 4


?

?

7. 若函数 f ( x ) 是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调递减,则(

A. f (3) ? f (4) ? 0 C. f (4) ? f ( ?1) ? 0

B. f ( ?3) ? f ( ?2) ? 0 D. f ( ?2) ? f ( ?5) ? 0


8. 若△ ABC 的内角 A, B, C , 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 cos B ? (

A.

11 16

B.

3 4

C.

3 15 16

D.

15 4

9. 设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, 则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, ( )

1

n 2 5n n 2 3n C. D. n2 ? n ? ? 3 3 2 4 10. 已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上,SO ? 底
A. B.
面 ABC , AC ?

n 2 7n ? 4 4

2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是(
B.




A. π

C. 3π

D.



? x ? 2y ? 3 ? 0 ? 11. 设 x, y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (其中 a ? 0, b ? 0 ) ? y?0 ?
的最大值为 3,则

A. 3

1 2 ? 的最小值为( a b B. 1



C. 2
)

D. 4

1 1 1 1 12.数列 1× ,2× ,3× ,4× ,…的前 n 项和为( 2 4 8 16 1 n 1 n 1 1 A. 2-2n- n+1 B. 2- n-1-2n C. 2(n2+n+2)-2n 2 2 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

D. 2n(n+1)+1-
9 10 11

1

1 - 2n 1 12

二、填空题(每道小题 5 分,有 4 题,共 20 分)
13. 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全面积是______(单位:m ) .
2

正视图

侧视图

俯视图
王新敞 特级教师 源头学子小屋
h t t:p/w / xc .8 3 3 2 0 .c 0 om wxck @126.c t om

14. 已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 20 , Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则其公差 d ? 15. 函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分 图象如图所示,则 f (0) ? ____

新疆奎屯
· 2007·

16. 若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是__________

三、解答题(有 6 题,共 70 分)

17. (10 分)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 X 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所 截得的弦长为 2 2 ,求过圆心且与直线 l 垂直的直线方程.

2

18. (10 分) 已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA 1 ? 2 ,求 (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值 (2)四面体 AB1D1C 的体积.
B A D C

A1 B1

D1 C1

19. (12 分)设函数 f ( x ) ? cos( 2 x ?

?
3

) ? sin 2 x .

(1) 求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期. (2) 设 A, B, C , 为 ? ABC 的三个内角,若 cos B ?

c 1 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 3 2 4

sin A .

20.(12 分)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an -1

3

21. (12 分)如图所示,PA 垂直矩形 ABCD 所在的平面,E、F 分别为 AB、PC 的中点. (Ⅰ) 求证 EF // 平面PAD; (Ⅱ)求证 EF ? CD . P

F A E B C D

22.(14 分)如图,在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中,E、P 分别是 BC 、 A1D1 的 中 点 , M 、 N 分 别 是 AE 、 CD1 的 中 点 , AD=AA1=a,AB=2a. (1)求证:MN∥面 ADD1A1; (2)求二面角 P─AE─D 的正切值的大小; (3)求三棱锥 P─DEN 的体积.

4

高二数学下学期第二次周练参考答案(2014.10.1)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D.

A.

B.
14. ?2

B.

D.
15.

D.

C.

A.

A.

D.

A.

B.

13. 4 ? 2 6

6 2

16. (1,2)

17. 解:由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知:

? a ?1 ? 2 ,解得 a ? 3 或 a ? ?1,由题意 a ? 3 ,故圆心坐标为(3,0) ,因为圆 ? ? ? 2 ? (a ? 1) 2 ? ? 心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求的直线方程为 x+y-3=0 .
18. 解:⑴ 连 BD, AB1 , B1D1 , AD1 ,∵


2

BD // B1D1 , AB1 ? AD1 , 异面直线 BD 与 AB1 所成角为 ?AB1D1 ,记 ?AB1D1 ? ? ,

cos ? ?


AB12 ? B1D12 ? AD12 10 ? 2 AB1 ? B1D1 10 连 AC, CB1 , CD1 ,则所求四面体的体积

1 2 V ? VABCD ? A1B1C1D1 ? 4 ? VC ? B1C1D1 ? 2 ? 4 ? ? 3 3

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2 1? 3 所以函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期 ? . 2 1 ? c 1 3 3 (2) f ( ) = ? 所以 sin C ? , 因为 C 为锐角, 所以 C ? , sin C =- , 4 3 2 2 2 2 1 2 B? 3 又因为在 ? ABC 中, cosB= , 所以 s i n , 所以 3 3
19. 解: (1)f(x)=cos(2x+

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

20. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a3=7,a5+a7=26, ? ?a1+2d=7 所以有? ,解得 a1=3,d=2, ?2a1+10d=26 ? n?n-1? 所以 an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2 1 ? 1 1 1 1 1 ?1 - (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= 2 = = · = · 2 n n + 1?, an -1 ?2n+1? -1 4 n?n+1? 4 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1 1 1 n 1- + - +…+ - 所以 Tn= · = ·1-n+1?= 2 2 3 n n + 1 4? ? 4? ? 4?n+1?,
5

即数列{bn}的前 n 项和 Tn=

n . 4?n+1?

21. 证明:(Ⅰ)取 PD 中点 G ,连结 AG 、 FG , 因为 E、F 分别为 AB、PC 的中点,所以 AE ?

1 1 AB , GF // = DC ,………2 分 2 2
C P …5 分

// 又在矩形 ABCD 中 AB // = DC ,所以 AE = GF ,
所以四边形 AEFG 是平行四边形,所以 AG // = EF

又 AG ? 平面PAD,EF ? 平面PAD.所以 EF // 平面PAD …………7 分 (Ⅱ)因为 PA ? 平面ABCD ,所以 PA ? CD 在 矩 形 E B A

F D

ABCD 中 AD ? CD
又 PA ? AD ? A ,所以 CD ? 平面PAD ,…………11 分

C

因为 AG ? 平面PAD所以 CD ? AG , 因为 AG // EF 所以 EF ? CD ………12 分

22. (1)证明:取 CD 的中点 K ,连结 MK , NK ,∵ M , N , K 分别为 AK, CD1,CD 的中点 ∵ MK // AD, NK // DD1 ∴ MK // 面 ADD1 A1 , NK // 面 ADD1 A1 ∴面 MNK // 面 ADD1 A1 ∴ MN // 面 ADD1 A1 ∵ P 为 A1 D1 的中点 ∴ PF // DD1 (2)设 F 为 AD 的中点

∴ PF ? 面 ABCD 作 FH ? AE ,交 AE 于 H ,连结 PH ,则由三垂线定 理得 AE ? PH 从而 ?PHF 为二面角 P ? AE ? D 的平面角.
a ? 2a AF ? EF 2a ? ? 2 ? AE 17 17 . a 2

a 17 a ,从而 FH 在 Rt?AEF 中, AF ? , EF ? 2a, AE ? 2 2
1 在 Rt?PFH 中, tan ?PFH ? FH ? FH ? 2

PF

DD

17

故:二面角 P ? AE ? D 的正切值为

17 2

(3) S?NEP ?

1 1 1 5 2 S矩形ECD1P ? BC ? CD1 ? ? a ? a2 ? 4a 2 ? a .作 DQ ? CD1 , 2 4 4 4

交 CD1 于 Q ,由 A1 D1 ? 面CDD1C1 ,得 A1 D1 ? DQ ,∴ DQ ? 面BCD1 A1 . CD ? DD1 2a ? a 2 ? ? a 在 Rt ?CDD1 中, DQ ? CD 5a 5 , 1

1 1 5 2 2 a3 V ? V ? S ? DQ ? ? a ? a ? D ? NEP ?NEP ∴ P ? DEN 3 3 4 6 5

6


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