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2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2)课件 北师大版


二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(2)

在同一坐标系中画出下列函数的图象:

y ? 3x 2 ; y ? 3x 2 ? 2 ; y ? 3( x ?1)2

Y=3x2+2
函数 y ? 3x
2

?2

y

X=1

的图象

向上平移2个单位
函数 y

? 3x

2

的图象

Y=3x2
o

向右平移1个单位 函数

y ? 3( x ? 1) 2 的图象

Y=3(x-1)2

x

y ? 3x 2 与 y ? 3( x ?1)2 ? 2图象之间的关系
1.y=3x2 向上平移2个单位得

y=3x2+2 再由y=3x2+2向右平移1个 单位得y=3(x-1)2+2
2.y=3x2 向右平移1个单位得

y=3x2+2
y

y=3(x-1)2+2

X=1

y=3(x-1)2 再由y=3(x-1)2向上平移2个 单位得y=3(x-1)2+2 y=3x2
o

2 1

y=3(x-1)2

x

知识回顾应用 1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1) y=2(x-3)2 -5 (3) y = 3(x+4)2+2 2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎 样的平移得到。 (2)y= -0.5(x+1)2

函数y=ax? +bx+c的图象 我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 那是怎样的平移呢? 只要将表达式右边进行配方就可以知道了。 y=3x2-6x+5 y=3(x-1)2+2 配方后的表达式通常称为 配方式或顶点式

函数y=ax? +bx+c的顶点式

y ? ax2 ? bx ? c
c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a a? ?
? 2 b ? b ?2 ? b ?2 c ? ? a ? x ? x? ? ? ? ? ? ? ? a ? 2a ? ? 2a ? a ? ? ? ?
2 ?? b ? 4ac ? b 2 ? ? a ?? x ? ? ? ? 2 2a ? 4a ? ?? ? ?

b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?
2

这个结果通常称为求顶 点坐标公式.

顶点坐标公式
b ? 4ac ? b2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?
2

因此,二次函数y=ax? +bx+c的图象是一条抛物线.
b 它的对称轴是直线 : x ? ? . 2a
? b 4ac ? b 2 ? ?. 它的顶点是? ? , ? 2a 4a ? ? ?

根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标: ?1?. y ? 2x2 ? 4x ?1; ?2?. y ? 3x2 ? 6x ? 2;

?3?. y ? ?3?x ? 3??x ? 9?;

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
?如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x? +0.9x+10表示, 而且左右两条抛物线关于y轴对称.
y ? 0.0225x 2 ? 0.9x ? 10
Y/m 10
桥面 -5 0 5

x/m

?⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少? ?⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少? ?⑶你是怎样计算的?与同伴交流.

⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少?你是怎样计算 的?与同伴交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从 而获得钢缆的最低点到桥面的距离; 2 y ? 0.0225x 2 ? 0.9x ? 10 y ? 0.0225x ? 0.9x ? 10
? 0.0225 x 2 ? 40x ? 10 ? 0.0225 x 2 ? 40x ? 202 ? 202 ? 10

?

?

?

?

Y/m 10

桥面

-5 0 5

x/m

? 0.0225?x ? 20? - 9 ?10
2

?

?

? ? 0.0225 x ? 20? ? 1.
2

?这条抛物线的顶点坐标 ?? 20,1?. 是
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。

⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少?你是怎样计算的 ?与同伴交流. ?想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? ? y ? 0.0225x 2 ? 0.9 x ? 10 y ? 0.0225x 2 ? 0.9x ? 10 2

? ? 0.0225 x ? 20? ? 1.

且左右两条钢缆关于 轴对称, y

Y/m 10

?右边的钢缆的表达式为 :

桥面

-5 0 5

? y ? 0.0225 x ? 20? ? 1.
2

x/m

y ? 0.0225x 2 ? 0.9 x ? 10.

即y ? 0.0225x 2 ? 0.9x ? 10.
因此,其顶点坐标为: ?20,1?.

?两条钢缆最低点之间的 距离为? 20 ? 20 ? 40?m?.

?⑶你还有其它方法吗?与同伴交流. ?直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的 最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离.
y ? 0.0225x 2 ? 0.9x ? 10
? b 4ac ? b 2 ? ? ? 得: 由顶点坐标公式 ? , ? 2a 4a ? ? ? b 0. 9 ? ?? ? ?20, 2a 2 ? 0.0225

y ? 0.0225x 2 ? 0.9x ? 10
Y/m 10
桥面 -5 0 5

x/m

?这条抛物线的顶点坐标 ?? 20,1?. 到桥面的距离是1m。 是
同理, 右边抛物线的顶点坐标 : ?20,1?. 为

4ac ? b 2 4 ? 0.0225?10 ? 0.92 ? ? 1. 4a 4 ? 0.0225

y ? 0.0225x 2 ? 0.9 x ? 10.
由此可知钢缆的最低点

?两条钢缆最低点之间的 距离为? 20 ? 20 ? 40?m?.

请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
?想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2 的图象之间的关系是什么?

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax? 的关系

?1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). ?(2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. ?(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: (3)对称轴不同:分别是 直线 x ? ? 和y轴. 2a 4ac ? b 4)最值不同:分别是 4a 和0. 3.联系: y=a(x-h)?+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax? 的图象先沿x轴整 b ? 体左(右)平移| ? 2a |个单位,再沿对称轴整体上(下)平移| 4ac a b |个单 4 4ac ? b 4ac ? b 位 (当 4a >0时向上平移;当 4a <0时,向下平移)得到的.
2 2 2 2

? b 4ac ? b2 ? ? ? (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 ? ? 2a , 4a ? 和(0,0). ? ? b

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 2a 4a ? ? ? b 直线 x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 2a 4a ? ? ? b 直线 x ? ? 2a

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 . 2

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 . 2

当x ? ?

b 4ac ? b 时, 最小值为 2a 4a

当x ? ?

b 4ac ? b 时, 最大值为 2a 4a

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 2a 4a ? ? ? b 直线 x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 2a 4a ? ? ? b 直线 x ? ? 2a

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

检测 : 确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标.

?1?. y ? 2x2 ?12x ? 13;
直线x=3,(3,-5)

?2?. y ? ?x ? 1??x ? 2?;
直线x=0.5, (0.5,-2.25)


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