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2017届湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(解析版)


2017 届湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟高考数学模拟试 卷(理科) (2 月份)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.已知复数 z=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 ﹣z2 的共轭复数是( A.1﹣3i B.1+3i C.﹣1+3i D.

﹣1﹣3i ) )

2.设集合 A={x|x<2},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=( A. (﹣∞,3) B.[2,3) C. (﹣∞,2) D. (﹣1,2) 3.已知 α 为第四象限角, A. B. C. D. ,则 的值为(



4.有一长、宽分别为 50m、30m 的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置 的可能性相同.一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员,其声音可传出 及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( A. B. C. D. =1 的渐近线的距离是( ) ) ,则工作人员能

5.抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2﹣ A. B. C.1 D.

6.函数 y=ln|x|﹣x2 的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

7.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 4 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几 何体的体积是( )

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A.

B.

C.

D.32

8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半, 竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输 出的 n 等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5 没有

9.设随机变量 η 服从正态分布 N(1,?2) ,若 P(η<﹣1)=0.2,则函数 极值点的概率是( )

A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 10.已知圆 C:x2+y2=4,点 P 为直线 x+2y﹣9=0 上一动点,过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB,A、B 为切点,则直线 AB 经过定点( A. B. ) C. (2,0) D. (9,0)

11.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的点 P1, P2 , …P10 , 记 mi= ( i=1 , 2 , … , 10 ), 则 m1+m2+…+m10 的 值 为 ( )

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A.180 B.

C.45 D. ,其中[x]表示不超过 x 的最大整数.设 n∈N*,

12.已知函数 f(x)=

定义函数 fn(x) :f1(x)=f(x) ,f2(x)=f(f1(x) ) ,…,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) (n≥2) ,则下列说法 正确的有 ①y= 的定义域为 ;

②设 A={0,1,2},B={x|f3(x)=x,x∈A},则 A=B; ③ ;

④若集合 M={x|f12(x)=x,x∈[0,2]}, 则 M 中至少含有 8 个元素. ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位 置,书写不清,模棱两可均不得分. 13. 的展开式中,x4 的系数为 .

14.某校今年计划招聘女教师 x 人,男教师 y 人,若 x、y 满足

,则该学校今年计划招聘教

师最多

人. 的两个零点分别为 m、n(m<n) ,则 = .

15.已知函数

16.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神 奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻 数字之和.已知数列{an}为“斐波那契”数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 (Ⅰ)S7= ;
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(Ⅱ)若 a2017=m,则 S2015=

. (用 m 表示)

三、解答题:本题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的两边长分别为函数 f(x)的最大值与最小值,且△ABC 的外接圆半径为 求△ABC 的面积. 18. (12 分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 其中,频率分布直方图的分组区间分别为[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100], 据此解答如下问题. , .

(Ⅰ)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (Ⅱ)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生情况,设抽取的试卷分数在[90,100] 的份数为 X,求 X 的分布列和数学望期. 19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠BCD=135°,侧面 PAB⊥底面 ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F 分别为 BC,AD 的中点,点 M 在线段 PD 上. (Ⅰ)求证:EF⊥平面 PAC; (Ⅱ)如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等,求 的值.

20. (12 分)如图,曲线 Γ 由曲线 C1:

=1(a>b>0,y≤0)和曲线 C2:

=1(a>0,b

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>0,y>0)组成,其中点 F1, F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3,F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点, (Ⅰ)若 F2(2,0) ,F3(﹣6,0) ,求曲线 Γ 的方程; (Ⅱ)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲 线 C2 的另一条渐近线上; (Ⅲ)对于(Ⅰ)中的曲线 Γ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求△CDF1 面积的最大值.

21. (12 分)设 f(x)= (Ⅰ)求 a 的值;

,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 x+y+1=0 垂直.

(Ⅱ)若对于任意的 x∈[1,+∞) ,f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证:ln(4n+1)≤16 (n∈N*) .

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.[选修 4-4:坐标系与参数 方程](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P(﹣1,0) ,其倾斜角为 α,在以原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位) ,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣6ρcosθ+1=0. (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 α 的取值范围; (Ⅱ)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|,g(x)=|2x﹣3|+2. (Ⅰ)解不等式|g(x)|<5; (Ⅱ)若对任意 x1∈R,都存在 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围.

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2017 届湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟高考数 学模拟试卷(理科) (2 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.已知复数 z=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 ﹣z2 的共轭复数是( A.1﹣3i B.1+3i C.﹣1+3i D.﹣1﹣3i )

【分析】把复数 z=1﹣i,代入 ﹣z2,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,则 ﹣z2 的共轭复数 可求. 【解答】解:由复数 z=1﹣i, 得 ﹣ z 2= = ,

则 ﹣z2 的共轭复数是:1﹣3i. 故选:A. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

2.设集合 A={x|x<2},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=( A. (﹣∞,3) B.[2,3) C. (﹣∞,2) D. (﹣1,2)



【分析】由指数函数的值域和单调性,化简集合 B,再由交集的定义,即可得到所求. 【解答】解:集合 A={x|x<2}=(﹣∞,2) ,B={y|y=2x﹣1,x∈A}, 由 x<2,可得 y=2x﹣1∈(﹣1,3) , 即 B={y|﹣1<y<3}=(﹣1,3) , 则 A∩B=(﹣1,2) . 故选:D. 【点评】本题考查集合的交集运算,同时考查指数函数的性质,考查运算能力,属于基础题.

3.已知 α 为第四象限角,

,则

的值为(



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A.

B.

C.

D.

【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sinα 和 cosα 的值,可得 tanα 的值,再利用二倍角的正切 公式结合 tan 的符号,求得 tan 的值. 是第二或第四象限角, ,

【解答】解:∵α 为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0, ∵ ∴sinα﹣cosα=﹣ ,∴1+2sinαcosα= =﹣ ,∴sinαcosα=﹣

=﹣ ,

∴sinα=﹣ ,cosα= ,∴tanα=

=﹣ =





=3 (舍去) ,或,

=﹣ ,

故选:C. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角正切公式的应用,要求学生能灵活地应用这 些公式进行计算、求值和证明,提高学生分析问题、解决问题的能力,属于基本知识的考查.

4.有一长、宽分别为 50m、30m 的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置 的可能性相同.一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员,其声音可传出 及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( A. B. C. D. ) ,则工作人员能

【分析】 由题意可知所有可能结果用周长 160 表示, 事件发生的结果可用两条线段的长度和 60 表示, 即可求得. 【解答】解:所有可能结果用周长 160 表示,事件发生的结果可用两条线段的长度和 60 表示, . 故答案选:B.

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【点评】本题考查几何概型,根据题意绘制出图形,利用数形结合,求得结果,属于中档题.

5. (2013?四川)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2﹣ A. B. C.1 D.

=1 的渐近线的距离是(



【分析】根据抛物线的标准方程,算出抛物线的焦点 F(1,0) .由双曲线标准方程,算出它的渐近 线方程为 y=± x,化成一般式得: ,再用点到直线的距离公式即可算出所求距离.

【解答】解:∵抛物线方程为 y2=4x ∴2p=4,可得 =1,抛物线的焦点 F(1,0) 又∵双曲线的方程为 ∴a2=1 且 b2=3,可得 a=1 且 b= 双曲线的渐近线方程为 y=± 化成一般式得: . = , ,即 y=± x,

因此,抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= 故选:B

【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程,求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离,着重考查了 抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.

6.函数 y=ln|x|﹣x2 的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

【分析】先判断函数为偶函数,再根据函数的单调性即可判断. 【解答】解:令 y=f(x)=ln|x|﹣x2,其定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 因为 f(﹣x)=ln|x|﹣x2=f(x) , 所以函数 y=ln|x|﹣x2 为偶函数,其图象关于 y 轴对称,故排除 B,D,
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当 x>0 时,f(x)=lnx﹣x2, 所以 f′(x)= ﹣2x= 当 x∈(0, 当 x∈( 故排除 C, 方法二:当 x→+∞时,函数 y<0,故排除 C, 故选:A 【点评】本题考查了函数的图象的识别,关键掌握函数的奇偶性和函数的单调性,属于中档题. ,

)时,f′(x)>0,函数 f(x)递增,

,+∞)时,f′(x)<0,函数 f(x)递减,

7.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 4 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几 何体的体积是( )

A.

B.

C.

D.32

【分析】 由已知中的三视图, 可知该几何体是一个正方体的上面挖去了一个底面为正方形, 边长为 4, 高为 2 的四棱锥.正方体的体积减去挖去的四棱锥,可得该几何体的体积. 【解答】解:由已知中的三视图,四边形都是边长为 4 的正方形,两条虚线互相垂直,可知该几何体 是一个正方体的上面挖去了一个底面为正方形,边长为 4,高为 2 的四棱锥.正方体的体积减去挖去 的四棱锥, ∴正方体体积 V=43=64, 四棱锥 = . = .

那么:该几何体为:64﹣ 故选 B

【点评】本题主要考查了三视图的投影的认识和体积的计算.属于基础题.
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8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半, 竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输 出的 n 等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序 的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 n=1 时,a= 当 n=2 时,a= 当 n=3 时,a= 当 n=4 时,a= ,b=4,满足进行循环的条件,

,b=8 满足进行循环的条件, ,b=16 满足进行循环的条件, ,b=32 不满足进行循环的条件,

故输出的 n 值为 4, 故选 C. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解 答.

9.设随机变量 η 服从正态分布 N(1,?2) ,若 P(η<﹣1)=0.2,则函数 极值点的概率是( )

没有

A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
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【分析】函数

没有极值点,则 f′(x)=x2+2x+η2=0 无解,可得 η 的取值范围,再

根据随机变量 η 服从正态分布 N(1,?2) ,可得曲线关于直线 x=1 对称,从而可得结论. 【解答】解:∵函数 ∴f′(x)=x2+2x+η2=0 无解, ∴△=4﹣4η2<0, ∴η<﹣1 或 η>1, ∵随机变量 η 服从正态分布 N(1,?2) ,P(η<﹣1)=0.2, ∴P(η<﹣1 或 η>1)=0.2+0.5=0.7, 故选 C. 【点评】本题考查函数的极值点,考查正态分布曲线的对称性,同时考查了运算求解的能力,属于中 档题. 没有极值点,

10.已知圆 C:x2+y2=4,点 P 为直线 x+2y﹣9=0 上一动点,过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB,A、B 为切点,则直线 AB 经过定点( A. B. ) C. (2,0) D. (9,0)

【分析】根据题意设 P 的坐标为 P(9﹣2m,m) ,由切线的性质得点 A、B 在以 OP 为直径的圆 C 上, 求出圆 C 的方程,将两个圆的方程相减求出公共弦 AB 所在的直线方程,再求出直线 AB 过的定点坐 标. 【解答】解:因为 P 是直线 x+2y﹣9=0 的任一点,所以设 P(9﹣2m,m) , 因为圆 x2+y2=4 的两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B, 所以 OA⊥PA,OB⊥PB, 则点 A、B 在以 OP 为直径的圆上,即 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦, 则圆心 C 的坐标是( 所以圆 C 的方程是(x﹣ 又 x2+y2=4,②, ②﹣①得, (2m﹣9)x﹣my+4=0,即公共弦 AB 所在的直线方程是: (2m﹣9)x﹣my+4=0, 即 m(2x﹣y)+(﹣9x+4)=0, 由 得 x= ,y= ,
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, ) ,且半径的平方是 r2= )2+(y﹣ )2= ,①



所以直线 AB 恒过定点( , ) , 故选 A. 【点评】 本题考查了直线和圆的位置关系, 圆和圆的位置关系, 圆的切线性质, 以及直线过定点问题, 属于中档题.

11.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的点 P1, P2 , …P10 , 记 mi= ( i=1 , 2 , … , 10 ), 则 m1+m2+…+m10 的 值 为 ( )

A.180 B.

C.45 D. ,然后把 mi= 转化为 求得答案.

【分析】由题意可得

【解答】解:由图可知,∠B2AC3=30°,又∠AC3B3=60°, ∴ 则 ∴m1+m2+…+m10=18×10=180. 故选:A. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了三角形中边角关系的运用,考查了数学转化思想方 法,是中档题. ,即 . ,

12.已知函数 f(x)=

,其中[x]表示不超过 x 的最大整数.设 n∈N*,

定义函数 fn(x) :f1(x)=f(x) ,f2(x)=f(f1(x) ) ,…,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) (n≥2) ,则下列说法 正确的有 ①y= 的定义域为 ;

②设 A={0,1,2},B={x|f3(x)=x,x∈A},则 A=B;
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④若集合 M={x|f12(x)=x,x∈[0,2]}, 则 M 中至少含有 8 个元素. ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】对于①,先根据定义域选择解析式来构造不等式,当 0≤x≤1 时,由 2(1﹣x)≤x 求解; 当 1<x≤2 时,由 x﹣1≤x 求解,取后两个结果取并集; 对于②,先求得 f(0) ,f(1) ,f(2) ,再分别求得 f(f(0) ) ,f(f(f(0) ) ) ;f(f(1) ) ,f(f(f(1) ) ) ; f(f(f(2) ) ) .再观察与自变量是否相等即可; 对于③,看问题有 2016,2017 求值,一定用到周期性,所以先求出几个,观察是以 4 为周期,求解 即可; 对于④,结合①②③可得 、0、1、2、 、 、 【解答】解:当 0≤x<1 时,f(x)=2(1﹣x) ; 当 1≤x≤2 时,f(x)=x﹣1. 即有 f(x)= , 、 ∈M,进而可得结论. )

画出 y=f(x)在[0,2]的图象. 对于①,可得 f(x)≤x,当 1≤x≤2 时,x﹣1≤x 成立; 当 0≤x<1 时,2(1﹣x)≤x,解得 ≤x<1,即有定义域为{x| ≤x≤2}, 故①正确; 对于②,当 x=0 时,f3(0)=f[f2(0)]=f(f(f(0) ) )=f(f(2) )=f(1)=0 成立; 当 x=1 时,f3(1)=f[f2(1)]=f(f(f(1) ) )=f(f(0) )=f(2)=1 成立; 当 x=2 时,f3(2)=f[f2(2)]=f(f(f(2) ) )=f(f(1) )=f(0)=2 成立; 即有 A=B,故②正确; 对于③,f1( )=2(1﹣ )= ,f2( )=f(f( ) )=f( )=2(1﹣ )= f3( )=f(f2( ) )=f( )= ,

﹣1= ,f4( )=f(f3( ) )=f( )=2(1﹣ )= ,

一般地,f4k+r( )=fr( ) (k,r∈N) . 即有 f2016( )+f2017( )=f4( )+f1( )= + = ,故③不正确;

对于④,由(1)知,f( )= ,∴fn( )= ,则 f12( )= ,∴ ∈M.
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由(2)知,对 x=0、1、2,恒有 f3(x)=x,∴f12(x)=x,则 0、1、2∈M. 由(3)知,对 x= 、 、 、 ,恒有 f12(x)=x,∴ 、 、 、 ∈M. 、 ∈M.

综上所述 、0、1、2、 、 、

∴M 中至少含有 8 个元素.故④正确. 故选:C.

【点评】 本题考查的知识点是分段函数及分段不等式的解法, 元素与集合关系的判定, 函数的周期性, 函数恒成立问题,分段函数问题要注意分类讨论,还考查了分段函数多重求值,要注意从内到外,根 据自变量取值选择好解析式.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位 置,书写不清,模棱两可均不得分. 13. 的展开式中,x4 的系数为 ﹣56 .

【分析】利用二项式展开式的通项公式,令 x 的指数为 4,求出 r 的值,即可得出展开式中 x4 的系数. 【解答】解: 展开式的通项公式为:

Tr+1= 令 8﹣

?x8﹣r?

=(﹣1)r?

?



=4,解得 r=3;

∴展开式中 x4 的系数为: (﹣1)3? =﹣56.

故答案为:﹣56. 【点评】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求某一项的系数问题,是基础题目.

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14.某校今年计划招聘女教师 x 人,男教师 y 人,若 x、y 满足

,则该学校今年计划招聘教

师最多

10

人.

【分析】作出不等式组对应的平面区域,则目标函数为 z=x+y,利用线性规划的知识进行求解即可. 【解答】解:设 z=x+y, 作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=x+y 得 y=﹣x+z, 平移直线 y=﹣x+z, 由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时, 直线 y=﹣x+z 的截距最大, 此时 z 最大.但此时 z 最大值取不到, 由图象当直线经过整点 E(5,5)时,z=x+y 取得最大值, 代入目标函数 z=x+y 得 z=5+5=10. 即目标函数 z=x+y 的最大值为 10. 故答案为:10.

【点评】本题主要考查线性规划的应用问题,根据图象确定最优解,要根据整点问题进行调整,有一 定的难度.

15.已知函数

的两个零点分别为 m、n(m<n) ,则

=



【分析】先求出 m,n,再利用几何意义求出定积分.
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【解答】解:∵函数 ∴m=﹣1,n=1, ∴ 故答案为 . = = =

的两个零点分别为 m、n(m<n) ,



【点评】本题考查函数的零点,考查定积分知识的运用,求出 m,n 是关键.

16.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神 奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻 数字之和.已知数列{an}为“斐波那契”数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 (Ⅰ)S7= 33 ; m﹣1 . (用 m 表示)

(Ⅱ)若 a2017=m,则 S2015=

【分析】 (Ⅰ)写出前 7 项,即可得出结论; (Ⅱ)迭代法可得 an+2=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+…+a2+a1+1,可得 S2015=a2017﹣1,代值计算可得. 【解答】解: (Ⅰ)S7=1+1+2+3+5+8+13=33; (Ⅱ)∵an+2=an+an+1=an+an﹣1+an =an+an﹣1+an﹣2+an﹣1 =an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+an﹣2 =… =an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+…+a2+a1+1, ∴S2015=a2017﹣1=m﹣1. 故答案为 33;m﹣1. 【点评】本题考查递推数列,考查学生分析解决问题的能力,正确迭代是关键.

三、解答题:本题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的两边长分别为函数 f(x)的最大值与最小值,且△ABC 的外接圆半径为 求△ABC 的面积. 【分析】 (1)利用辅助角公式、二倍角公式化简函数,即可求函数 f(x)的值域;
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(2)不妨设 a= △ABC 的面积.

,b=2,利用△ABC 的外接圆半径为

,求出 sinA,sinB,进而求出 sinC,即可求

【解答】解: (1)f(x)=sin2x﹣ ∵ ∴ ∴ ∴ ≤sin(2x﹣ ≤2sin(2x﹣ , , )≤1, )≤2, ,2];

cos2x=2sin(2x﹣

) ,

∴函数 f(x)的值域为[ (2)不妨设 a= ,b=2,

∵△ABC 的外接圆半径为 ∴sinA= ∴cosA= = ,sinB= =

, ,

,cosB= , ,

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴S△ABC= absinC= = .

【点评】本题考查利用辅助角公式、二倍角公式化简函数,考查正弦定理,考查三角形面积的计算, 属于中档题.

18. (12 分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 其中,频率分布直方图的分组区间分别为[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100], 据此解答如下问题.

(Ⅰ)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率;
第 17 页(共 25 页)

(Ⅱ)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生情况,设抽取的试卷分数在[90,100] 的份数为 X,求 X 的分布列和数学望期. 【分析】 (I)利用茎叶图的性质、频率的计算公式即可得出. (II)[80,90)的人数为 6 人;分数在[90,100)的人数为 4 人 X 的取值可能为 0,1,2,3.再利 用超几何分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)由茎叶图知分数在[50,60)的人数为 4 人;[60,70)的人数为 8 人;[70,80) 的人数为 10 人. ∴总人数为 …. (3 分) ….

∴分数在[80,100)人数为 32﹣4﹣8﹣10=10 人,∴频率为

(Ⅱ)[80,90)的人数为 6 人;分数在[90,100)的人数为 4 人 X 的取值可能为 0,1,2,3. , ,

, ∴分布列为 X P E(X)=0+ 0 1 2

.…(10 分)

3

= .…. (12 分)

【点评】本题考查了超几何分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式、茎叶图的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠BCD=135°,侧面 PAB⊥底面 ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F 分别为 BC,AD 的中点,点 M 在线段 PD 上. (Ⅰ)求证:EF⊥平面 PAC; (Ⅱ)如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等,求 的值.

第 18 页(共 25 页)

【分析】 (I)由平行四边形的性质可得 AB⊥AC,即 EF⊥AC,由面面垂直的性质得出 PA⊥平面 ABCD, 故 PA⊥EF,故 EF⊥平面 PAC; (II) 以 A 为原点建立空间直角坐标系, 设 及 =λ (0≤λ≤1) , 求出平面 PBC, 平面 ABCD 的法向量

的坐标,根据线面角相等列方程解出 λ.

【解答】 (Ⅰ)证明:∵在平行四边形 ABCD 中,∠BCD=135°,∴∠ABC=45°, ∵AB=AC,∴AB⊥AC. ∵E,F 分别为 BC,AD 的中点,∴EF∥AB, ∴EF⊥AC. ∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,且∠BAP=90°, ∴PA⊥底面 ABCD. 又 EF? 底面 ABCD, ∴PA⊥EF. 又∵PA∩AC=A,PA? 平面 PAC,AC? 平面 PAC, ∴EF⊥平面 PAC. (Ⅱ)解:∵PA⊥底面 ABCD,AB⊥AC,∴AP,AB,AC 两两垂直, 以 A 为原点,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系如图: 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,2) ,D(﹣2,2,0) ,E(1,1,0) , ∴ 设 ∴ =(2,0,﹣2) , =λ(0≤λ≤1) ,则 = =(﹣2,2,﹣2) , =(﹣2λ,2λ,﹣2λ) , , =(1,1,﹣2) .

=(1+2λ,1﹣2λ,2λ﹣2) ,

显然平面 ABCD 的一个法向量为 =(0,0,1) . 设平面 PBC 的法向量为 =(x,y,z) ,

第 19 页(共 25 页)



,即

令 x=1,得 =(1,1,1) . ∴cos< , >= = ,cos< >= = .

∵直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等, ∴| 解得 ∴ |=| ,或 . |,即 (舍) . ,

【点评】本题考查了线面垂直的判定,线面角的计算,空间向量的应用,属于中档题.

20. (12 分)如图,曲线 Γ 由曲线 C1: >0,y>0)组成,其中点 F1,

=1(a>b>0,y≤0)和曲线 C2:

=1(a>0,b

F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3,F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点, (Ⅰ)若 F2(2,0) ,F3(﹣6,0) ,求曲线 Γ 的方程; (Ⅱ)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲 线 C2 的另一条渐近线上; (Ⅲ)对于(Ⅰ)中的曲线 Γ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求△CDF1 面积的最大值.

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【分析】 (Ⅰ)由 F2(2,0) ,F3(﹣6,0) ,可得) (Ⅱ) 曲线 C2 的渐近线为±

?a ,

, 如图, 设点 A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (x0, y0) , 设直线 l: y=

与椭圆方程联立化为 2x2﹣2mx+(m2﹣a2)=0,利用△>0,根与系数的关系、中点坐标公式,只要 证明 y0=﹣ 即可.

(Ⅲ)设直线 l1 的方程为 x=ny+6(n>0) .与椭圆方程联立可得(5+4n2)y2+48ny+64=0,利用根与系 数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)∵F2(2,0) ,F3(﹣6,0) ,∴ ?a

则曲线 Γ 的方程为 (Ⅱ)曲线 C2 的渐近线为 y=±



(y>0)…. (3 分)

,如图,设直线 l:y=



? 2x2﹣2mx+(m2﹣a2)=0

△=(2m)2﹣4?2?(m2﹣a2)=8a2﹣4m2>0? ﹣ 又由数形结合知 m≥a,

设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0)则



∴ ∴

, ,即点 M 在直线 y=﹣ 上. …(7 分)
第 21 页(共 25 页)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲线 C1 为 设直线 l1 的方程为 x=ny+6(n>0) 由 ? (4n2+5)y2+48ny+64=0

,点 F4(6,0) .

△=(48n)2﹣4×64(4n2+5)>0? n2>1

设 C(x3,y3) ,D(x4,y4)由韦达定理:

|y3﹣y4|=



s△CDF1= |F1F4|×|y3﹣y4|= 令 t= ,∴n2=t2+1,s△CDF1=64 ×

∵t>0,∴ ∴n=

,当且仅当 t= 即 n=

时等号成立

时,△CDF1 面积的最大值

…. (12 分)

【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、 弦长公式、 三角形的面积计算公式、 基本不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于难题.

21. (12 分)设 f(x)= (Ⅰ)求 a 的值;

,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 x+y+1=0 垂直.

(Ⅱ)若对于任意的 x∈[1,+∞) ,f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证:ln(4n+1)≤16 (n∈N*) .

【分析】 (Ⅰ)求出原函数的导函数,结合 f'(1)=1 列式求得 a 值; (Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的 a 值代入函数解析式,由 f(x)≤m(x﹣1)得到
第 22 页(共 25 页)

,构造

函数 范围;

,即? x∈[1,+∞) ,g(x)≤0.然后对 m 分类讨论求导求得 m 的取值

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x>1 时,m=1 时, i=1,2,…,n,利用累加法即可证明结论. 【解答】 (Ⅰ)解: 由题设 f'(1)=1,∴ (Ⅱ)解: 设

成立.令

,然后分别取

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) ,即 a=0;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ,? x∈[1,+∞) ,f(x)≤m(x﹣1) ,即 ,即? x∈[1,+∞) ,g(x)≤0. ,g'(1)=4﹣4m.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ①若 m≤0,g'(x)>0,g(x)≥g(1)=0,这与题设 g(x)≤0 矛盾; ②若 m∈(0,1) ,当 设矛盾; ③若 m≥1,当 x∈(1,+∞) ,g'(x)≤0,g(x)单调递减,g(x)≤g(1)=0,即不等式成立; 综上所述,m≥1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当 x>1 时,m=1 时, ﹣﹣﹣﹣(9 分) 不妨令 ∴ 即 , . 累加可得:ln(4n+1)≤16 (n∈N*) .
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,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,与题

成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

, , , ,…,

【点评】本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运 算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想 等,是压轴题.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.[选修 4-4:坐标系与参数 方程](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P(﹣1,0) ,其倾斜角为 α,在以原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位) ,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣6ρcosθ+1=0. (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 α 的取值范围; (Ⅱ)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)由直线 l 经过点 P(﹣1,0) ,且倾斜角为 α,可得直线 l 的参数方程,利用互化公式可 得 C 的直角坐标方程.由直线 l 与曲线 C 有公共点,可得△=64cos2α﹣32≥0,解出即可得出的取值范 围; (Ⅱ)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,利用参数方程为 函数知识求 x+y 的取值范围. 【解答】 解: (Ⅰ) ∵曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣6ρcosθ+1=0, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2﹣6x+1=0 ∵直线 l 经过点 P(﹣1,0) ,其倾斜角为 α,∴直线 l 的参数方程为 将 ,代入 x2+y2﹣6x+1=0 整理得 t2﹣8tcosα+8=0 或 … (t 为参数) (θ 为参数) ,结合三角

∵直线 l 与曲线 C 有公共点,∴△=64cos2α﹣32≥0 即 ∵α∈[0,π)∴α 的取值范围是

(Ⅱ)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2﹣6x+1=0 可化为(x﹣3)2+y2=8 其参数方程为 (θ 为参数) …(7 分)

∵M(x,y)为曲线 C 上任意一点,∴ ∴x+y 的取值范围是[﹣1,7].…(10 分) 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的运用,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题.
第 24 页(共 25 页)

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|,g(x)=|2x﹣3|+2. (Ⅰ)解不等式|g(x)|<5; (Ⅱ)若对任意 x1∈R,都存在 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)去掉绝对值,求出不等式的解集即可; (Ⅱ)问题转化为{y|y=f(x)}? {y|y=g(x)}, 分别求出 f(x)和 g(x)的最小值,求出 a 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)由|2x﹣3|+2<5,得:|2x﹣3|<3, 故﹣3<2x﹣3<3,解得:0<x<3; (Ⅱ)由题意知{y|y=f(x)}? {y|y=g(x)} 又 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|2x﹣3|+2≥2, 所以|a+3|≥2? a≥﹣1 或 a≤﹣5. 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查集合的包含关系,是一道中档题.

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