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上海市杨浦区2014届高三数学上学期期末考试试题 文(上海杨浦一模)沪教版


杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(文科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定 位置上. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4

分,否则一律得零分.

1. 计算: n??

lim

3n ? 3n ? 1

. (结果用反三角函数值表示).

2.若直线 y ? 3x ? 1 ? 0 的倾斜角是 ? ,则 ? ?

2 x ?1
3.若行列式

4 2

1

?0

,则 x ?
1

. .

2 C A? 4.若全集 U ? R ,函数 y ? x 的值域为集合 A ,则 U

x2 ?
5.双曲线

y2 ? 1(b ? 0) b2 的一条渐近线方程为 y ? 3 x ,则 b ? ________.
x ?1

6.若函数 f ? x ? ? 3 ? 2 的反函数为 f

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?



7. 若将边长为 1 cm 的正方形绕其一条边所在直线旋转一周,则所形成圆柱的体积等于

?cm ? .
3

8. 已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? _________.
2 2

9. 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ,则函数 f ( x) 的最小正周期为__________. 10. 某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储 费用为 2 x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.

11. 已知复数 ? ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 一元二次方程是________.

z?

5

?

? ??2

,则一个以 z 为根的实系数

1 ( x 2 ? )n x 的二项展开式中,所有二项式系数和为 64 ,则 n 等于 12.若



13.在 100 件产品中有 90 件一等品,10 件二等品,从中随机取出 4 件产品.则恰含 1 件二

1

等品的概率是

.(结果精确到 0.01)

14 . 函 数 f ? x ? 是 R 上 的 奇 函 数 , g ? x ? 是 R 上 的 周 期 为 4 的 周 期 函 数 , 已 知

f ?? 2? ? g ?? 2? ? 6 , 且

f ? f ?2? ? g ?2?? ? g ? f ?? 2? ? g ?? 2??

?g ?20 f ?2???

2

?

1 2

, 则 g ?0 ? 的 值 为

___________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.

b、 c 满足 a ? b , b // c ,则直线 a 与 c ???( ). 15. 若空间三条直线 a 、

( A) 一定平行
x ?1 ? 2

( B) 一定相交

(C ) 一定是异面直线

( D) 一定垂直

16. “

x ?0 成立”是“ x ? 1 成立”的???( ).

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

( B) 必要非充分条件. ( D) 既非充分又非必要条件.

C 所对边的边长分别为 a 、b 、c , 17. 设锐角 ?ABC 的三内角 A 、B 、 且 a ? 1 ,B ? 2 A ,
则 b 的取值范围为???( ).

( A)

?

2 ,

3 . ( B)

?

?1 , 3 ? . (C)

?

2, 2 .

?

( D)

?0 , 2?



18 .若式子 ? (a, b, c) 满足 ? (a, b, c) ? ? (b, c, a) ? ? (c, a, b) ,则称 ? (a, b, c) 为轮换对称 式.给出如下三个式子:① ? (a, b, c) ? abc ;
2

② ? (a, b, c) ? a ? b ? c ;
2 2 2

③ ? ( A, B, C ) ? cosC ? cos(A ? B) ? cos C ( A, B, C 是 ?ABC 的内角) . 其中,为轮换对称式的个数是???( ).

( A) 0

.

( B) 1 .

(C ) 2 .

( D) 3

.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a . (1)求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小; (2)求四棱锥 A1 ? ABCD 的体积.

2

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分 .
2 已知向量 m ? x , 1 ,n ? ?a , 1? 2ax ? , 其中 a ? 0 .函数 g ? x ? ? m ? n 在区间 x ? ?2 , 3?

?

?

上有最大值为 4,设

f ?x ? ?

g ?x ? x .

(1)求实数 a 的值; (2)若不等式 f 3

? ?? k3
x

x

? 0 在 x ? ?? 1 , 1?上恒成立,求实数 k 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分 . 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域) ” ,其中 AC 、 BD 是过抛物线 ? 焦 点 F 的两条弦,且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA ? ? ,其 中 ? 为锐角. 求抛物线 ? 方程;

AF ?
求证:

2(cos? ? 1) sin 2 ? .

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知数列

? a n ?, S n 是其前 n 项的和,且满足 a1 ? 2 ,对一切 n ? N ? 都有
3

S n?1 ? 3S n ? n 2 ? 2
(1)求 a 2 ; (2)求证:数列

成立,设

bn ? a n ? n



? bn ?

是等比数列;

1 1 1 40 ? ? ??? ? ? b b b 81 成立的最小正整数 n 的值. 1 2 n (3)求使

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 10 分,第①问 5 分,第②问 5 分,第(2)小题满分 8 分.

x2 ? y2 ? 1 已知椭圆 ? : 4 .
(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图), 直线 AM , BM 分

1? ? M?m , ? 2 ? 满足 m ? 0 ,且 别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 ?

m?? 3.
①用 m 表示点 E , F 的坐标; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (2)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线 ,其中 l1 交圆 ? 于
2 2

T 、 R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

4

杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2

一.填空题(本大题满分 56 分) 1. 1 ; 2. arctan 3 ; 3.2;
2

4. ?? ? , 0 ? ; 5.

3 ; 6. 1 ; 7. ? ; 8. 2;

9. 文 ? ; 10. 30 ; 11. x ? 6 x ? 10 ? 0 ; 12.文 6 ;13.文 0.30; 14.文 2; 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题 15. D ; 16. B; 17. A ; 18. 文 C 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题 19. 【解】 (1)因为 B1C // A1 D ,

?直线 A1 B 与 A1 D 所成的角就是异面直线 A1 B 与 B1C 所成角. ??2 分
又 ?A1 BD 为等边三角形,

?异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 60? .

??6 分

1 2 1 ? a ? a ? a3 3 (2)四棱锥 A1 ? ABCD 的体积 V ? 3
20. 【解】
2 2 (1)由题得 g ? x ? ? m ? n ? ax ? 1 ? 2ax ? a( x ? 1) ? 1 ? a

??12 分

??4 分

又 a ? 0 开口向上,对称轴为 x ? 1 ,在区间 x ? ?2 , 3? 单调递增,最大值为 4,
5

? g ?x ?max ? g ?3? ? 4

所以, a ? 1

??7 分

(2)由(1)的他,

f ?x ? ?

g ( x) 1 ? x? ?2 x x

??8 分

?1 ? t ? ,3? x x ? x 3 ? ? 以 f 3 ? k 3 ? 0 可化为 f (t ) ? kt , t ? 3 令 ,则

? ?

k?


f (t ) t 恒成立,

??9 分

1 ?1 ? 1 f (t ) f (t ) 1 ? ? ,3? ?1 ? ( ? 1) 2 t t 且 t ? 3 ? ,当 t ,即 t ? 1 时 t 最小值为 0,

??13 分 ??14 分

?k ? 0
21. 【解】 文科(1) 由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x ? 4 y
2

??5 分 ??8 分 ??11 分

(2) 设 AF ? m ,则点 A(?m sin? , m cos? ? 1)
2 2 所以, (?m sin? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin ? ? 4m cos? ? 4 ? 0
2

AF ?
解得 22. 【解】

2(cos? ? 1) sin 2 ?

??14 分

S ? 3S n ? n ? 2 文科(1) 由 a1 ? 2 及 n?1
2

当 n ? 1时 ??4 分

故 a2 ? 7 (2)由 得 即

S n?1 ? 3S n ? n 2 ? 2



S n ? 3S n?1 ? (n ? 1) 2 ? 2 (n ? 2) (an?1 ? n ? 1) ? 3(an ? n)


??6 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分

an?1 ? 3an ? 2n ? 1
bn?1 ? bn (n ? 2)

,故

,当 n ? 1时上式也成立,

,故

? bn ?是以 3 为首项,3 为公比的等比数列
bn ? 3n , 1 1 ? n bn 3

(3) 由(2)得

??11 分

6

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 3 ? 1 (1 ? 1 ) ? 40 ? ? ??? ? ? 3 1 b1 b2 bn 2 81 3n 1? 3
n 故 3 ? 81 解得 n ? 4 ,最小正整数 n 的值 5

??14 分 ??16 分

23【解】

1 (文科)解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m, 2 ),且 m ? 0 ,

?直线 AM 的斜率为 k1=

?

1 3 2m ,直线 BM 斜率为 k2= 2m ,

3 1 x ?1 x ?1 ?直线 AM 的方程为 y= 2m ,直线 BM 的方程为 y= 2m ,
?

??2 分

? x2 ? y 2 ? 1, ? 4 ? ? y ? ? 1 x ? 1, ? m2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 , 2m 由? 得

? x ? 0, x ?

4m ? E ? 4 m , m ? 1 ? , ? 2 ? , 2 ? m ?1 m ?1? m2 ? 1
2

??4 分

? x2 ? y 2 ? 1, ? ? 4 3 ?y ? x ? 1, m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 2m 由? 得 ,

?

?

? x ? 0, x ?

12m ? F ? 12m , 9 ? m ? , ? 2 ? 2 ? m ?9 m ?9?; m2 ? 9
2

??5 分



S?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF S?BME ? | MB || ME | sin ?BME 2 2 , , ?AMF ? ?BME ,
5 | MA | ? | MB | | MF | ,

5S?AMF ? S?BME ? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ? | ME | , , 5m m ? , 4m 12m ? m ? m m?0, 9 ? m2 ? m2 ? 1
2

??7 分

1 15 ? 2 ?1 2 2 ?整理方程得 m ? 1 m ? 9 ,即 (m ? 3)(m ? 1) ? 0 ,
2 2 又有 m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ? m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.

??10 分

7

(2) 因为直线

l1 ? l2

,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线

l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0

,

直线

l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 k ,

??12 分

所以圆心 (0, 0) 到直线

l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0

d?
的距离为

1 1? k2 ,

l 所以直线 1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦

2

2

TR ? 2 4 ? d 2 ?

2 3 ? 4k 2 1? k 2


? x ? ky ? k ? 0 ? 2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 由? 4 ,所以

8k xQ ? xP ? ? 2 k ?4


QP ? (1 ?
所以

1 64 k 2 8 k2 ?1 ) ? k 2 ( k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

??15

S ?TRQ ?
所以

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

4k 2 ? 3 ?


13 4k ? 3
2

? k2 ?

5 10 ?k?? 2 2

时等号成立,

此时直线

l1 : y ? ?

10 x ?1 2

??18 分

8


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