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广东省惠州市2015届高三第三次调研考试理科数学试题(含解析)精美word版


惠州市 2015 届高三第三次调研考试
数 学 试 题(理科)
2015.1 本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡

皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.若集合 A ? x | x ? 1, x ? R , B ? x | y ? A. ?x | 0 ? x ? 1 ? B. ?x | x ? 0?

?

?

?

x ,则 A B ? (
C. ?x | ?1 ? x ? 1?

?

). D. ? ). D. y ? x 2

2.下列函数中,既是偶函数又在区间 ? 0,1? 上单调递减的函数为( A. y ?

1 x

B. y ? lg x

C. y ? cos x )条件. C.充要

3. “ a ? b ? 0 ”是“ a 2 ? b 2 ”成立的( A.必要不充分 4.设双曲线 B.充分不必要

D.既不充分也不必要 ).

x2 y 2 ? ? 1 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则此双曲线的离心率为( a 2 b2
B.

A.

6 2

3 2

C.

2 2

D.

3 2
).

5.空间中,对于平面 ? 和共面 的两直线 m 、 n ,下列命题中为真命题的是( .. A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? C.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m // n

B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n D.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n

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6.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有 一人参加,那么不同的发言顺序的种数为( A.840 B.720 C.600 ). D.30

7.数列 ?an ? ,满足对任意的 n ? N? ,均有 an ? an?1 ? an?2 为定值.若 a7 ? 2, a9 ? 3,

a98 ? 4 ,则数列 ?an ? 的前 100 项的和 S100 ? (
A.132 B.299 C.68

). D.99

8.在平面直角坐标系中,定义两点 P( x1 , y1 ) 与 Q( x2 , y2 ) 之间的“直角距离”为

d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 .给出下列命题:
(1)若 P(1, 2) , Q(sin ? ,cos ? ) (? ? R) ,则 d ( P, Q) 的最大值为 3 ? 2 ; (2)若 P, Q 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的任意两点,则 d ( P, Q) 的最大值为 2 2 ; (3)若 P(1,3) ,点 Q 为直线 y ? 2 x 上的动点,则 d ( P, Q) 的最小值为 其中为真命题的是( A. (1) (2) (3) ). B. (2) C. (3) D. (2) (3)

1 . 2

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.某校有 4000 名学生,各年级男、女生人数如右表,已知 在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手, 抽到高一男生的 概率是 0.2 .现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名奥运 志愿者,则在高二抽取的学生人数为______. 10.已知 a ? (1,2) , b ? (0,1) , c ? (k , ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则实数 k ? ______. 11.已知复数 z ? 女 生 男 生 高 一 高 二 高 三

600

y

650
750

x

z

3 1 3 i ,则实数 a 的值为__________. ? a ? i ( a ? R ),若 z 2 ? ? 2 2 2

第 2 页 共 17 页

12.已知 ?x ? R ,使不等式 log2 (4 ? a) ? x ? 3 ? x ?1 恒成立, 则实数 a 的取值范围是__________. 13. A, B, C 是平面内不共线的三点,点 P 在该平面内且有 PA ? 2PB ? 3PC ? 0 ,现将一 粒黄豆随机撒在△ ABC 内,则这粒黄豆落在△ PBC 内的概率为__________. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题 得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? a ? 2?t ( t 为参数) ,圆 C ? y ? ?4 ? t

的参数方程为 ?

? x ? 4 ? cos ? ( ? 为参数) .若直线 l 与圆 C 有公共点,则实数 a 的取值 ? y ? 4 ? sin ?
A B D
图1

范围是__________. 15. (几何证明选讲选做题)如图 1,点 A, B, C 都在圆 O 上, 过 点 C 的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 D , 若 AB ? 5 ,

O
C

BC ? 3 , CD ? 6 ,则线段 AC 的长为__________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步 骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? 图像如图 2 所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ?1 、 1 、 5 的三点
y 1 ?2 ?1 0 ?1 1 2

π π ?? ? ) ,其部分 2 2

3

4

5

6 x

M , N , P 都在函数 f ( x) 的图像上, 求
sin ?MNP 的值.

图2

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17. (本小题满分 12 分) 惠州市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有 用过的球) ,3 个是旧球(即至少用过一次的球) .每次训练都从中任意取出 2 个球,用完 后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球,求第二次训练时恰好取到 1 个新 球的概率. 参考公式:互斥事件加法公式: P( A 独立事件乘法公式: P( A 条件概率公式: P( B | A) ?

B) ? P( A) ? P( B) (事件 A 与事件 B 互斥) . B) ? P( A) ? P( B) (事件 A 与事件 B 相互独立) .

P( AB) . P( A)

18. (本小题满分 14 分) 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的直观图及三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰 直角三角形)如图所示, D 为 AC 的中点.

? 平面 BDC1 ; (1)求证: AC 1
(2)求二面角 A ? BC1 ? D 的正切值.

2 2
正视图 侧视图

A1
D

A

B1 C1
C

B

2
俯视图

第 4 页 共 17 页

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

? n ? 1? an ,且 a
2

1

? 1.

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? ln an ,是否存在 k (k ? 2, k ? N ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列. 若存在,求出所有符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分)
2 已知抛物线 C1 : y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 以及椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 a 2 b2

上、下焦点及左、右顶点均在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上. (1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (2)过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A, B 两不同点,交 y 轴于点 N , 已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值; (3)直线 l 交椭圆 C2 于 P, Q 两不同点, P, Q 在 x 轴的射影分别为 P ', Q ' ,

OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ? 1 ? 0 ,若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,
证明:点 S 在椭圆 C2 上.

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21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 切点分别为 M , N . (1)当 t ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)设 g (t ) ? MN ,求函数 g (t ) 的表达式; (3)在(2)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 ? 2, n ? 数 a1 , a2 ,

t ( x ? 0) , 过点 P(1, 0) 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线 PM ,PN , x

? ?

64 ? 内,总存在 m ? 1 个 n? ?

, am , am?1 , 使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ?

? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,

求 m 的最大值.

第 6 页 共 17 页

惠州市 2015 届高三第三次调研考试 数
题号 答案 1 A

学 (理科)参考答案与评分标准
2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 B 8 D

一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分

1. 【解析】由 x ? 1得 ?1 ? x ? 1 ,? A ? ?x | ?1 ? x ? 1 ? ;由 y ?

x 得x ?0,

? B ? ?x | x ? 0? 。? A B ? ?x | 0 ? x ? 1? 。故选 A.
2. 【解析】首先 y ? cos x 是偶函数,且在 ? 0, ? ? 上单减,而 ? 0,1? ? ? 0, ? ? , 故 y ? cos x 满足条件。故选 C. 3. 【解析】由不等式的性质知,当 a ? b ? 0 时, a 2 ? b 2 成立; 反之,例如取 a ? ?3, b ? 1,显然 a 2 ? b 2 ,而 a ? b ? 0 不成立。故选 B. 4. 【解析】由已知知 b ? 1, c ? 3 ,所以 a ?

2 ,所以 e ?

c 6 。选 A. ? a 2

5. 【解析】当 m ? ? , n // ? 时,必有 m // n 或 m 与 n 异面直线, 而 m 与 n 是共面的两条直线,所以 m // n 。故选 D. 6. 【解析】分两类。第一类:甲、乙两人中恰有一人参加,方法种数为 C2 ? C5 ? A4 ? 480
1 3 4

种,第二类:甲、乙两人同时参加,方法种数为 C5 ? A4 ? 240 种,根据分类计数原理,
2 4

满足条件的方法种数为 480+240=720 种。故选 B. 7. 【解析】对任意的 n ? N? ,均有 an ? an?1 ? an?2 为定值,

?(an?1 ? an?2 ? an?3 ) ? (an ? an?1 ? an?2 ) ? 0 ,故 an?3 ? an ,

??an ? 是以 3 为周期的数列,故 a1 ? a7 ? 2 , a2 ? a98 ? 4 , a3 ? a9 ? 3 ,
? S100 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? ? (a97 ? a98 ? a99 ) ? a100 ? 33(2 ? 4 ? 3) ? a1 ? 299 。选 B.
第 7 页 共 17 页

( , ) ? 1 ? sin ? ?2 ? cos ? 3 ? ? 2 8. 【解析】对于(1) , dPQ

?? ? sin ?? ? ? , 4? ?

? ? R,? d ( P, Q) 的最大值为 3 ? 2 ,故(1)不正确。
对于( 2 ) ,要使 d ( P, Q) 最大,必有 P, Q 两点是圆上关于原点对称的两点,可设

? 2 2? ? 2 2? P? , Q?? , ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ,则 d ( P, Q) ? 2 2 。故(2)正确; ? ? ? ?
对于 (3) , 设 Q( x0 , 2 x0 ) , 则 d ( P, Q) ? x0 ?1 ? 2x0 ? 3 , 去掉绝对值后可知当 x0 ? 时, d ( P, Q) 取得最小值

3 2

1 。故(3)正确。故选 D. 2

二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选 做一题. 9.30 10.8 11.

1 2

12. ?12, 4?

?

13.

1 6

14. ? ?2 5 , 2 5 ?

?

?

15.

9 2

9. 【解析】由条件有 x ? 4000 ? 0.2 ? 800 ,? y ? z ? 4000 ? 1400 ? 1400 ? 1200 , 而抽样比例为

100 1 1 ? ?1200 ? 30 人。 ,故高二抽取的学生人数为 4000 40 40

10. 【解析】 a ? 2b ? (1, 4) , (a ? 2b) ? c ? 0 ? k ? 8 ? 0 ? k ? 8 。

? 3 2 1 ?a ? ? 1 2 ? 4 3 3 2 2 ?a? 。 11. 【解析】 ( ? a ? i) ? ? a ? 3a ? i ,? ? 2 2 4 ?? 3a ? ? 3 ? ? 2
12. 【解析】易知 x ? 3 ? x ?1 的最小值为 4,?log2 (4 ? a) ? 4 ? ?12 ? a ? 4 , 故实数 a 的取值范围是 2, 4 ? 。 13. 【解析】解析:由 PA ? 2PB ? 3PC ? 0 ? ? AP ? 2( AB ? AP) ? 3( AC ? AP) ? 0 , 得 AP ?

?

1 1 AB ? AC ,设 C 到 AB 距离 d ,如图, 3 2

第 8 页 共 17 页

则 S ?PCE ?

1 1 1 1 ? ? AB ? ? d ? S ?ABC , 2 3 2 6

1?1 1 2 ? 1 S ABPE ? ? AB ? AB ? ? ? d ? AB ? d ? S?ABC , 2?3 3 3 ? 2
所以 S ?PBC ? (1 ?

1 1 2 1 ? )S?ABC ? S?ABC ,所以所求概率为 . 6 6 3 6

14. 【解析】因为直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2a ? 0 ,圆 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 42 , 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ?

?2a 5

? 4 ,解得 ?2 5 ? a ? 2 5 。
| AC | | AD | ? , | BC | | CD |

15. 【解析】由切割线定理知 | BD |? 4 ,又易知 ?ADC ∽ ?CDB ,故 故 | AC |?

9 。 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步 骤. ) 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由图可知, A ? 1 , ……………………………………………1 分

最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ?



?

? 8,? ?

π . 4

…………………………………3 分

π π π ? ? ) ? 1 ,且 ? ? ? ? 4 2 2 π π 3π π π π 所以 ? ? ? ? ? , ? ? ? ,? ? . 4 4 4 4 2 4
又 f (1) ? sin( 所以 f ( x) ? sin(

…………………5 分

x? ). ……………………6 分 4 4 π π (2) 解法一: 因为 f (?1) ? sin ( ?1 ?1) ? 0, f (1) ? sin (1 ?1) ?1, 4 4 π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1 , 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) , ………………………………8 分

?

?

第 9 页 共 17 页

MN ? 5, MP ? 37, PN ? 20 ,
从而 cos ?MNP ?

5 ? 20 ? 37 3 ? ? , ……………………………10 分 5 2 5 ? 20
4 . ………12 分 5

2 由 ?MNP ? ? 0, ? ? ,得 sin ?MNP ? 1 ? cos ?MNP ?

解法二: 因为 f (?1) ? sin

π π (?1 ? 1) ? 0, f (1) ? sin (1 ? 1) ? 1, 4 4

π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1 , 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) , ………………………………8 分

NM ? (?2, ?1), NP ? (4, ? 2) , NM ? NP ? ?6 ,
NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,
则 cos ?MNP ?

NM ? NP NM ? NP

?

?6 3 ?? . 5 5?2 5

……………10 分

2 由 ?MNP ? ? 0, ? ? ,得 sin ?MNP ? 1 ? cos ?MNP ?

4 . ……12 分 5

17.(本小题满分 12 分) 解: (1) ? 的所有可能取值为 0,1,2. ……………………1 分

设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ? ? i ) ”为事件 Ai ( i ? 0,1,2) . 因为集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧球, 所以 P( A0 ) ? P(? ? 0) ?

C32 1 ? , 2 C6 5

……………………………3 分

P( A1 ) ? P(? ? 1) ? P( A2 ) ? P(? ? 2) ?
所以 ? 的分布列为

1 1 C3 C3 3 ? , 2 C6 5

……………………………5 分

C32 1 ? . 2 C6 5

…………………………7 分

第 10 页 共 17 页

?
P

0

1

2

1 3 5 5 1 3 1 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5

1 5
…………………………8 分

(2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 A0 B ? A1 B ? A2 B . 而事件 A0 B 、 A1B 、 A2 B 互斥, 所以 P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ? P( A0 B) ? P( A1 B) ? P( A2 B) . 由条件概率公式,得

1 C1C1 1 3 3 P( A0 B) ? P( A0 ) P( B | A0 ) ? ? 3 2 3 ? ? ? ,……………………9 分 5 C6 5 5 25 3 C1C1 3 8 8 P( A1 B) ? P( A1 ) P( B | A1 ) ? ? 2 24 ? ? ? ,…………………10 分 5 C6 5 15 25
1 1 C 1 1 1 1 C1 P( A2 B) ? P( A2 ) P( B | A2 ) ? ? 2 5 ? ? ? .…………………11 分 5 C6 5 3 15

3 8 1 38 ? ? = . 25 25 15 75 38 所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 。 75
所以 P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ? 18.(本小题满分 14 分)

…………………12 分

解:由三视图可知,几何体为直三棱柱 ABC — A1B1C1 ,侧面 B1C1CB 为边长为 2 的正方 形,底面 ABC 是等腰直角三角形, AB ? BC, AB ? BC ? 2 ……………………2 分 (1)直三棱柱 ABC — A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , BD ? 平面 ABC ,

? AA1 ? BD ,


AB ? BC ? 2 ,D 为 AC 的中点,? BD ? AC , AC ? A ,

AA1 ? 面 AAC 1 1C , AC ? 面 AAC 1 1C ,且 AA 1
第 11 页 共 17 页

? BD ? 平面 AAC 1 1C ,又

AC ? 面 AAC 1 1C ,? BD ? AC 1 ①………..6 分 1
A1
A

又A 1B 1 ?B 1C1 , A 1B 1 ?B 1B , 又

BB1 ? 面 BB1C1C , B1C1 ? 面 BB1C1C ,且 BB1

B1C ? B1 ,
B1
C1
O D B

? A1B1 ? 面 BB1C1C , BC ? 面 BB1C1C ,? A1B1 ? BC1
在正方形 BB1C1C 中, BC1 ? B1C 又 BC1 ? 面 A 1 ?面 A 1B 1C , B1 A 1B 1C ,且 B 1C

B1 A1 ? B1 ,

C

? BC1 ? 面 A1B1C ,又
由①②,又

AC ? 面 A1B1C ,? BC1 ? AC 1 ②………………..8 分 1 BC1 ? B ,

BD ? 面 BDC1 , BC1 ? 面 BDC1 ,且 BD

? AC ? 面 BDC1 . 1

…………………………………………………………9 分

(2)解法一(空间向量法)以 B1 为原点建系,易得 CB1 ? (?2,2,0), BD ? (1,0,1) 设平面 BC1D 的法向量 n1 ? ( x, y, z), 由 n1 ? CB1 , n1 ? BD , 得?

??2 x ? 2 y ? 0 令 x ? 1 ,得 n1 ? (1,1, ?1), …………..12 分 ? x? z ?0

又平面 BC1 A 的法向量 n2 ? B1C ? (2,2,0), 设二面角 A ? BC1 ? D 的平面角为 ? , 所以 cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

6 2 …………..14 分 ,? tan ? ? 3 2

A1

A

解法二:所求二面角 A ? BC1 ? D 与二面角 C ? BC1 ? D 互余,

B1
E

D B H C

取 BC 中点 H ,有 DH ⊥平面 BCC1 ,过 H 作 BC1 垂线,垂足为 E ,

DH ? BC1 ? DH ? 平面BCC1 ? ? 平面EDH ? C1 ? BC1 ? ? ? EH ? BC1 ? ? ? BC1 ? 平面BCC1 ? DE ? 平面EDH ? ? DH EH ? H ? ? DE ? BC1
第 12 页 共 17 页

所以二面角 C ? BC1 ? D 的平面角是 ?DEH ……………11 分

DH ? 1 EH ?

2 DH ? tan ?DEH ? ? 2, 2 EH

因为二面角 A ? BC1 ? D 与二面角 C ? BC1 ? D 互余, 所以二面角 A ? BC1 ? D 的正切值为

2 ;……………..14 分 2

A1

O1
S

A

S1 解法三(补形)如图补成正方体,易得 ?O1OS 为二面角的平面角,
O1O ? 2, O1S ? 2, ? tan ?O1OS ?
19. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 即

B1
O

D

2 ……………..14 分 2

C1

C

? n ? 1? an ? nan?1 ,……………2 分
2 2

an an ?1 ? ? n ? 2? .…………………………………………4 分 n n ?1 a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 的常数列.……………………5 分 1 ?n?

所以数列 ? 所以

an ? 1 ,即 an ? n ? n ? N * ? . n

* 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n n ? N .…………………7 分

?

?

解法 2:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

? n ? 1? an ? nan?1 ,
2 2

………………………2 分



an n ? ? n ? 2? . an?1 n ? 1 an an?1 ? ? an?1 an?2 ?

…………………………………………………4 分

? an ?

a3 a2 n n ?1 ? ? a1 ? ? ? a2 a1 n ?1 n ? 2

3 2 ? ? ?1 ? n .…5 分 2 1

因为 a1 ? 1 ,符合 an 的表达式.

……………………………………………6 分

第 13 页 共 17 页

* 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n n ? N .

?

?

…………………………7 分

(2)假设存在 k (k ? 2, k ? N ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列,
2 则 bk bk ?2 ? bk ?1 .……………………………………………………………………8 分

因为 bn ? ln an ? ln n ? n ? 2 ? ,
2 2 ? ln k ? ln ? k ? 2 ? ? ? ln ? k ? 2k ? ? ? ? ln k ? ln( k ? 2) ? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ? ? ? 2

所以 bk bk ? 2

……11 分

? ln ? k ? 1?2 ? 2 ?? ln ? k ? 1?? ? bk2?1 . ? ?? ? ? 2 ? ? ? ?
2 这与 bk bk ?2 ? bk ?1 矛盾.

2

…………………13 分

故不存在 k (k ? 2, k ? N ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列.…………14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F (
2

p , 0) 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上得: 2

p2 ? 1 ,? p ? 2 ,…………………………………………………………..1 分 4
∴抛物线 C1 : y ? 4 x …………..…………………………………………….2 分
2

同理由椭圆上、下焦点 (0, c), (0, ?c) 及左、右顶点 (?b, 0), (b, 0) 均在圆

O : x 2 ? y 2 ? 1 上可解得: b ? c ? 1,? a ? 2 .
得椭圆 C2 : x 2 ?

…………4 分

y2 ? 1 .…………………………………………………..5 分 2

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 N (0, ? k ) .

? y2 ? 4x 2 2 2 2 联立方程组 ? ,消去 y 得: k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0, ……….6 分 ? y ? k ( x ? 1)
第 14 页 共 17 页

? 2k 2 ? 4 x ? x ? ? …………………………………..7 分 ?? ? 16k 2 ? 16 ? 0, 且 ? 1 2 k2 ?x x ? 1 ? 1 2
由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得: ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1 ? x2 ) ? x2 , 整理得: ?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 1 ? x1 1 ? x2

……………………………..…8 分

2k 2 ? 4 ?2 x ? x ? 2 x1 x2 k2 ? ?1 ? ?2 ? 1 2 ? ? ?1 .…………………..9 分 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2
(3)设 P ( x p , y p ), Q ( xQ , yQ ),? S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P '( x p , 0), Q '( xQ , 0) 由 OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ? 1 ? 0 得 2 x p xQ ? y p yQ ? ?1 ????① …….10 分

xp ?
2

yp2 2 yQ 2 2

? 1 ????????②

…………………………………….11 分

xQ ?
2

? 1 ????????③ ( y p ? yQ ) 2 2

……………………………………12 分

由①+②+③得 ( x p ? xQ ) 2 ?

?1

…………….……...13 分

∴ S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 的方程,命题得证.……………....14 分 21. (本小题满分 14 分) 【解】 (1)当 t ? 2 时, f ( x) ? x ? 解得 x ? (??, ? 2) 因为 x ? 0 所以函数 f ( x ) 有单调递增区间为 ? ? 2, ?? --------------3 分 (2)设 M , N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

2 2 x2 ? 2 , f ?( x) ? 1 ? 2 ? ? 0 --------1 分 x x x2

( 2, ??) .------------------------------------------2 分

?

f ?( x) ? 1 ?

t x2

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所以切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )( x ? x1 ). ---------------4 分 x1 x1 t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ). x1 x1

所以切线 PM 过点 P(1, 0) ,所以有 0 ? ( x1 ? 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0. ??①
2

同理,由切线 PN 过点 P(1, 0) , ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0. ?? ②---------------5 分
2 2 由(1) 、 (2) ,可得 x1 , x2是方程x ? 2tx ? t ? 0 的两根,

? x1 ? x2 ? ?2t ?? ?? ③ -------------------------------------------------------------7 分 ? x1 ? x2 ? ?t.

| MN |? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ?

t t t 2 ? x2 ? )2 ? ( x1 ? x2 )2 [1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2 t 2 ) ] -------------------------------------------8 分 x1 x2

? [( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?

把③式代入,得 | MN |? 20t 2 ? 20t , 因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ? (3)易知 g (t ) 在区间 ? 2, n ?

20t 2 ? 20t ----------------9 分

? ?

64 ? 上为增函数, n? ?

? g (2) ? g (ai )(i ? 1, 2, g (a1 ) ? g (a2 ) ?

, m ? 1). 则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a2 ) ?

? g (am ).

? g (am ) ? g (am?1 ) ?n 恒成立,
64 ) ?n 恒成立, n

所以不等式 m ? g (2) ? g (n ?

m 20 ? 22 ? 20 ? 2 ? 20(n ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ), n n

即m?

1 64 64 [(n ? )2 ? (n ? )] ?n 恒成立,--------------------------------12 分 6 n n
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n?

64 1 64 64 1 2 136 ? 16,? [(n ? )2 ? (n ? )] ? [16 ? 16] ? . n 6 n n 6 3 136 ,由于 m 为正整数,? m ? 6 . --------------------------------------13 分 3

?m ?

又当 m ? 6 ,存在 a1 ? a2 ? 因此, m 的最大值为 6.

? am ? 2, am?1 ? 16, 任意的正整数 n 满足条件
--------------------------------------------------------14 分

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