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考点47 随机事件的概率、古典概型、几何概型


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考点 47
一、选择题

随机事件的概率、古典概型、几何概型

1.(2011·广东高考理科·T6)甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队

只要再赢一局就获冠军, 乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( (A) )

1 2

(B)

3 5

(C)

2 3

(D)

3 4

【思路点拨】本题利用独立重复试验及对立事件的概率公式可求解. 【精讲精析】选 D.由题意知,乙队胜的概率为

1?1 ? 1 2 2 4 ,由对立事件概率公式得,甲队获胜的概率为

P ? 1 ? 1 ? 3 .故选 D. 4 4
2. (2011·安徽高考文科·T9)从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边 形是矩形的概率等于( (A) )

1 10

(B)

1 8

(C)

1 6

(D)

1 5

4 【思路点拨】基本事件总数是 C6 =15,观察可得构成 3 个矩形.

4 【精讲精析】选 D. 基本事件总数是 C6 =15,观察可得构成 3 个矩形.所以是矩形的概率为

3 1 ? . 15 5

3.(2011·福建卷理科·T4)与(2011·福建卷文科·T7)相同 如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则 点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( (A) )

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

【思路点拨】本题属几何概型问题,所求概率转化为△ABE 与矩形 ABCD 的面积之比.

1 AB ? BC 1 2 P ? = = . 【精讲精析】选 C. 由题意知, S矩形ABCD AB ? BC 2 S?ABE
4.(2011·新课标全国高考理科·T4)与(2011·新课标全国高考文科·T6)相同 有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两 位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
-1-

圆学子梦想 铸金字品牌 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4
1 ,可以 3

【思路点拨】甲、乙两位同学可以同时参加 3 个兴趣小组中的 1 个,参加每个小组的可能性均为 利用排列组合和独立事件的概率求法来计算所求概率.
1 【精讲精析】选 A. 先从 3 个兴趣小组中选 1 个,有 C3 ? 3 种方法;

甲、乙两位同学都参加这个兴趣小组的概率为

1 1 1 ? ? . 3 3 9
1

故这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 C3 (

1 2 1 ) ? . 3 3

5.(2011·辽宁高考理科·T5)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” , 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B︱A)=( (A) ) (D)

1 8

(B)

1 4

(C)

2 5

1 2

【思路点拨】本题主要考查条件概率及其运算. 【精讲精析】选 B.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,共有 10 个基本事件: (1,2) , (1,3) , (1, 4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5) .事件 A 发生共有 4 个基本事件: (1, 3) , (1,5) , (3,5) , (2,4) .事件 B 发生共有 1 个基本事件: (2,4) . 事件 A,B 同时发生也只有 1 个基本事件: (2,4) .根据条件概率公式得, P( B | A) ?

P( AB) 1 ? . P( A) 4

6. (2011·陕西高考理科·T10)甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( (A) )

1 36

(B)

1 9

(C)

5 36

(D)

1 6

【思路点拨】本题抓住主要条件,去掉次要条件(例如参观时间)可以简化解题思路,然后把问题简化为 两人所选的游览景点路线的排列问题.
4 4 【精讲精析】选 D.甲乙两人各自独立任选 4 个景点的情形共有 A6 (种) ;最后一小时他们同在一个景 ? A6
3 3 A5 ? A5 ?6 1 ? . 4 4 A6 ? A6 6

3 3 点的情形有 A5 ,所以 P ? ? A5 ? 6 (种)

7.(2011·浙江高考理科·T9)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随 机地抽取并排摆放在图书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( (A) )

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)
-2-

4 5

圆学子梦想 铸金字品牌 【思路点拨】古典概型基本问题,可从反面来考虑.
4 2 4 2 3 2 2 5 【精讲精析】选 B.基本事件总数为 A5 A2 ? A4 A2 ? A3 A2 A2 ? 72 个, ? 120 ,同一科目中有相邻情况的有 A4

故同一科目都不相邻的概率是

120 ? 72 2 ? . 120 5

8.(2011·浙江高考文科·T8)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率 是( (A) ) (B)

1 10

3 10

(C)

3 5

(D)

9 10

【思路点拨】古典概型问题.
3 【精讲精析】选 D.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球共有 C5 ? 10 个基本事件;所取的 3 个球

中至少有 1 个白球的反面为“3 个球均为红色” ,有 1 个基本事件,所以所取的 3 个球中至少有 1 个白球的 概率是 1 ?

1 9 ? 10 10 .

二、填空题 9.(2011·江西高考理科·T12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点, 若此点到圆心的距离大于

1 1 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家看 2 4
.

书,则小波周末不在家看书的概率为

【思路点拨】根据条件先求出小波周末去看电影的概率,再求出他去打篮球的概率,易得周末不在家看书 的概率. 【精讲精析】记“看电影”为事件 A, “打篮球”为事件 B, “不在家看书”为事件 C.

1 1 ?? ( )2 ?? ( )2 2 ? 1 ? 1 = 3 ,P(B)= 4 ? 1, P(A)=1??1 4 4 ??1 16 3 1 13 ? P(C)=P(A)? P(B) ? ? ? . 4 16 16
【答案】

13 16

10. (2011·湖南高考理科·T15)如图,EFGH 是以 O 为圆心、半径为 1 的圆的内 接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则 (1)P(A)=______; (2)P(B|A)=______. 【思路点拨】本题主要考查面积型几何概型. 【精讲精析】关键是计算出正方形的面积和扇形的面积.
-3-

圆学子梦想 铸金字品牌 【答案】

2 ?

1 4

11.(2011·湖南高考文科·T15)已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 12 ,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为_________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________. 【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和几何概型. 【精讲精析】 (1) x 2 ? y 2 ? 12 的圆心(0,0)到直线 4x+3y=25 的距离为:d=

| 4 ? 0 ? 3 ? 0 ? 25 | 4 ?3
2 2

? 5.

( 2 ) 作 一 条 与 4x+3y=25 平 行 而 且 与 4x+3y=25 的 距 离 为 2 的 直 线 交 圆 于 A , B 两 点 , 则

| CA |?| CB |? 2 3, | AB |? 2 3, ? ?A CB? 60? ,
60? 1 ? 概率 ? ? . ? 6 360
【答案】 (1)5 (2)

1 6

12.(2011·福建卷理科·T13)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个. 若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______. 【思路点拨】分别求出 从5个球中任取2个球的方法数和从中取一红球一黄球(颜色不同)的方法数,

所求概率为两者之比 .
2 【精讲精析】由题意知,从 5 个球中随机取出 2 个球共有 C5 ? 10 种不同取法,而取出的球颜色不同共有
1 1 C3 C2 6 3 ? ? . C52 10 5

1 1 C3 C2 ? 6种不同取法,故所取出的 2 个球颜色不同的概率为 P ?

【答案】

3 5

13.(2011·江苏高考·T5)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的 两倍的概率是______. 【思路点拨】本题考查的是古典概型的概率计算,解题的关键是找出总的基本事件个数和其中一个数是另 一个的两倍所包含的事件个数. 【精讲精析】从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,共有(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)6 个基本事件,其中一个数是另一个的两倍的有(1,2) , (2,4)两个基本事件,所以其中一个数是 另一个的两倍的概率是

2 1 ? . 6 3

-4-

圆学子梦想 铸金字品牌 【答案】

1 3

三、解答题 14.(2011·福建卷文科·T19)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5. 现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:

X

1

2

3 0.45

4

5

f

a

0.2

b

c

(I)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,b,c 的值; (II)在 (I) 的条件下, 将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3, 等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2, 现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同) ,写出所有可能的结 果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 【思路点拨】 (Ⅰ)由等级系数为 4 和 5 的件数可求得频率 b, c 的值,再由频率和为 1 求得 a 的值; (Ⅱ)此问属于求古典概型的概率问题,用列举法可求. 【精讲精析】 (Ⅰ)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1 ,即 a ? b ? c ? 0.35 , 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b ? 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c ?

3 ? 0.15. 20

2 ? 0.1. 20

从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1 ,所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1. (II)从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,所有可能情况为:

{x1 , x2},{x1 , x3},{x1, y1},{x1, y2}, {x2 , x3},{x2 , y1},{x2 , y2}, {x3 , y1},{x3 , y2},{y1 , y2} .
设事件 A 表示“从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含的基本事件为

{x1, x2},{x1, x3},{x2 , x3},{ y1, y2} ,共 4 个.
又基本事件的总数为 10,故所求的概率 P( A) ?

4 ? 0.4. 10

15.(2011·新课标全国高考文科·T19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质 量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质产品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方) 做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

A 配方的频数分布表
-5-

圆学子梦想 铸金字品牌 指标值分组 频数

?90,94?
8

?94,98?
20

?98,102?
42

?102,106?
22

?106,110?
8

B 配方的频数分布表
指标值分组 频数

?90,94?
4

?94,98?
12

?98,102?
42

?102,106?
32

?106,110?
10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2,   t ? 94, ? y ? ?2,    94 ? t ? 102, ? 4,   t ? 102. ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润. 【思路点拨】第(Ⅰ)问分别用 A 配方、 B 配方生产的产品中优质品的频率来估计概率,第(II)问,用

B 配方生产的一件产品的利润大于 0 时即质量指标 t ? 94 时,求 t ? 94 时的频率作为概率,生产的 100 件
产品中平均一件的利润为 (?2) ? 频率t ?94 ? 2 ? 频率94?t ?102 ? 4 ? 频率t ?102 . 【精讲精析】 (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 产的产品中优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 所以用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0.42. (II)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率相当于频率 t≥94 的概率,由试验结果知, t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润为

22 ? 8 =0.3,所以用 A 配方生 100

32 ? 10 =0.42, 100

1 ? ?4 ? ?- 2? ? 54 ? 2 ? 42 ? 4? =2.68(元). 100

16.(2011·山东高考文科·T18)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师性别相同的 概率; (II) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名, 写出所有可能的结果, 并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率. 【思路点拨】 (I)本题考查古典概型,要将基本事件都列出,然后找出 2 名教师性别相同所含的基本事件 的个数,由古典概型概率公式求得结果.(II)从报名的 6 名教师中任选 2 名,列出基本事件,然后找出 2 名教师来自同一学校所含的基本事件的个数,由古典概型概率公式求得结果.
-6-

圆学子梦想 铸金字品牌 【精讲精析】 (I) 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名, 所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、 (甲男 2, 乙 男)、(甲男 1, 乙女 1)、(甲男 1, 乙女 2)、(甲男 2, 乙女 1)、(甲男 2, 乙女 2)、(甲女, 乙女 1)、(甲女, 乙女 2) 、(甲女, 乙男),共 9 种; 选出的 2 名教师性别相同的结果有(甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲女, 乙女 1)、(甲女, 乙女 2), 共 4 种,所以选出的 2 名教师性别相同的概率为

4 . 9

(II)从报名的 6 名教师中任选 2 名,所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲男 1, 乙女 1)、(甲男 1, 乙女 2)、(甲男 2, 乙女 1)、(甲男 2, 乙女 2)、(甲女, 乙女 1)、(甲女, 乙女 2) 、 (甲女, 乙男) 、(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、(乙男, 乙女 1)、(乙男, 乙女 2)、 (乙女 1, 乙女 2),共 15 种; 选出的 2 名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、 (乙男, 乙女 1)、(乙男, 乙女 2)、(乙女 1, 乙女 2),共 6 种, 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为

6 2 ? . 15 5

17. (2011·湖南高考文科 T18)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时) 与该河上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5. 已知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140, 110,160,220,140,160. (Ⅰ)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

4 20

2 20

(II)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六 月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 【思路点拨】本题考查频率分布表的理解和求概率.兼顾考查了对概率,频率关系的理解,频率反映概率, 频率不是概率,概率是通过频率体现的.频率和概率最大的特性是和均为 1.而第二问必须把发电量、降雨 量和概率的关系联系起来. 【精讲精析】 (I)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个,故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

3 20

4 20

7 20
-7-

3 20

2 20

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(II)P P (“ ”) ("发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")

=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210) = 1 3 2 3 ? ? ? 20 20 20 10
3 . 10

故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为

18.(2011·江西高考文科·T16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司准备了两 种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一 一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对,则评为优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为 良好;否则评为合格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. 【思路点拨】首先将所有情况一一列举出来,共有 10 种情况,结合题意可得此人被评为优秀和被评为良 好及以上的概率. 【精讲精析】将 5 杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号 1,2,3 表示 A 饮料,编号 4,5 表示 B 饮料,则从 5 杯 饮料中选出 3 杯的所有可能情况为: (123) , (124) , (125) , (134) , (135) , (145) , (234) , (235) , (245) , (345) ,可见共有 10 种,令 D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评为良好的事件,F 表示此人被 评为良好及以上的事件,则

1 . 10 3 7 (2)P(E)= ,P(F)=P(D)+P(E)= . 5 10
(1)P(D)= 19.(2011·陕西高考文科·T20)如图,A 地到火车站共有两条路 径 L1 和 L2 ,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查, 调查结果如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10 ~ 20 6 0 20 ~ 30 12 4 30 ~ 40 18 16 40 ~ 50 12 16 50 ~ 60 12 4

(Ⅰ)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; (Ⅱ)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (Ⅲ)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽量最大可能在允许的时间内赶
-8-

圆学子梦想 铸金字品牌 到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 【思路点拨】 (Ⅰ)读懂数表,确定不能赶到火车站的人数所在的区间,用相应的频率作为所求概率的估 计值; (Ⅱ)根据频率的计算公式计算; (Ⅲ)计算选择不同的路径,在允许的时间内赶往火车站的概率, 通过比较概率的大小确定选择的最佳路径. 【精讲精析】 (Ⅰ)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人,

? 用频率估计相应的概率为 0.44.
(Ⅱ)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为: 所用时间(分钟) 选择 L1 选择 L2 10 ~ 20 0.1 0 20 ~ 30 0.2 0.1 30 ~ 40 0.3 0.4 40 ~ 50 0.2 0.4 50 ~ 60 0.2 0.1

(Ⅲ) 用A 在 40 分钟内赶到火车站; 用 B1 ,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 1 , A2 分别表示甲选择 L 1 和 L2 时, 时,在 50 分钟内赶到火车站. 由(Ⅱ)知 P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1) ? P(A2),

? 甲应选择路径 L1 ;
P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1) , ∴ 乙应选择路径 L2 . 20.(2011·天津高考文科·T15)编号分别为 A1 , A2 , ???, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分 记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分

A1
15

A2
35

A3
21

A4
28

A5
25

A6
36

A7
18

A8
34

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:

区间

[10,20)
-9-

[ 20,30)

[ 30,40]

圆学子梦想 铸金字品牌 人数

(Ⅱ)从得分在区间 20,30 内的运动员中随 机抽取 2 人. (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 的概率. 【思路点拨】 (Ⅰ)分别按区间范围列举出人数; (Ⅱ)用列举法、古典概率公式计算概率. 【精讲精析】 (Ⅰ)4,6,6. (Ⅱ) (i)得分在区间 [20,30) 内的运动员编号为 A3 , A4 , A5 , A 10 , A 11 , A 13 . 从中随机抽取 2 人,所有可能的 抽取结果有:

[

)

{A3 , A 4 },{A3 , A5 },{A3 , A10 },{A3 , A11},{A3 , A13},{A4 , A5 }, {A4 , A10 } , {A4 , A11},{A4 , A13 },{A5 , A10 },{A5 , A11},{A5 , A13},{A10 , A11},{A10 , A13},{A11 , A13} ,共 15 种.
(ii) “从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50” (记为事件 B)的 所有可能结果有: {A4 , A5 },{A4 , A 10 },{ A 4, A 11},{ A 5, A 10 },{ A 10 , A 11} ,共 5 种.所以 P ( B ) =

5 1 = . 15 3

21.(2011·北京高考文科·T16)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一 个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示. 甲组 9 1 乙组 8

9 1

0 1

X 0

9

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) n

【思路点拨】 (Ⅰ)代入平均数、方差公式进行计算; (Ⅱ)先求出基本事件空间包含的基本事件总数,再 求出所求事件包含的基本事件数,最后求概率. 【精讲精析】 ( Ⅰ ) 当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学植树的棵数是 8 , 8 , 9 , 10 ,所以平均数为

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4
- 10 -

圆学子梦想 铸金字品牌 方差为 s ?
2

1 35 35 35 35 11 [(8 ? ) 2 ? (8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 4 16

(Ⅱ) 记甲组四名同学为 A1 , A2 , A3 , A4 , 他们植树的棵数依次为 9, 9, 11, 11; 乙组四名同学为 B1 , B2 , B3 , B4 , 他们植树的棵数依次为 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: ( A 1, B 1 ),( A 1 , B2 ),( A 1 , B3 ),( A 1 , B4 ),( A2 , B 1 ),( A2 , B2 ),( A2 , B3 ),( A2 , B4 ) ,

( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , B3 ),( A3 , B4 ),( A4 , B1 ),( A4 , B2 ),( A4 , B3 ),( A4 , B4 ) .
用 C 表示: “ 选 出 的 两 名 同 学 的 植 树 总 棵 数 为 19 ” 这 一 事 件 , 则 C 中 的 结 果 有 4 个 , 它 们 是

( A1 , B4 ),( A2 , B4 ),( A3 , B2 ),( A4 , B2 ) ,故所求概率为 P(C ) ?

4 1 ? . 16 4

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