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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学选修2-1课时作业:第二章 圆锥曲线与方程(A)]


第二章

圆锥曲线与方程(A)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值是( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 2 2 x y 1 2.设椭圆 2+ 2=1 (m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则此 m n 2 椭圆的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 12 16 16 12 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 48 64 64 48 x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 a b 2 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 36 108 9 27 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 108 36 27 9 2 2 x y 4.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 2+ 2=1 上的点,F1、F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半 a b 焦距为 c,则|PF1|· |PF2|的最大值与最小值之差一定是( ) 2 2 A.1 B.a C.b D.c2 5.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲 线的标准方程为( ) x2 y2 y2 x2 A. - =1 B. - =1 4 4 4 4 y2 x2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 4 8 8 4 2 2 x y 6.设 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是( ) a ?a+1?2 A.( 2,2) B.( 2, 5) C.(2,5) D.(2, 5) 7.

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 8.点 P 在直线 l:y=x-1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y=x2 于 A、B 两点,且|PA| =|AB|,则称点 P 为“ 点”.那么下列结论中正确的是( ) A.直线 l 上的所有点都是“ 点”

B.直线 l 上仅有有限个点是“ 点” C.直线 l 上的所有点都不是“ 点” D.直线 l 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“ 点” x2 y2 9.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双 a b 曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2 10. 若动圆圆心在抛物线 y =8x 上, 且动圆恒与直线 x+2=0 相切, 则动圆必过定点( ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 11.抛物线 y=x2 上到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( ) 3 5 ? A.? B.(1,1) ?2,4? 3 9? C.? D.(2,4) ?2,4? 12.已知椭圆 x2sin α-y2cos α=1 (0≤α<2π)的焦点在 y 轴上,则 α 的取值范围是( ) 3 π 3 ? ? A.? B.? ?4π,π? ?4,4π? π ? ?π,3π? ,π C.? D. ?2 ? ?2 4 ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.椭圆的两个焦点为 F1、F2,短轴的一个端点为 A,且三角形 F1AF2 是顶角为 120° 的 等腰三角形,则此椭圆的离心率为________. 14 . 点 P(8,1) 平 分 双 曲 线 x2 - 4y2 = 4 的 一 条 弦 , 则 这 条 弦 所 在 直 线 的 方 程 是 ______________. b ? x2 y2 15.设椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,线段 F1F2 被点? ?2,0?分成 3∶ a b 1 的两段,则此椭圆的离心率为________. x2 y2 16.对于曲线 C: + =1,给出下面四个命题: 4-k k-1 ①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中所有正确命题的序号为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) x2 y2 17. (10 分)已知点 M 在椭圆 + =1 上, MP′垂直于椭圆焦点所在的直线, 垂足为 P′, 36 9 并且 M 为线段 PP′的中点,求 P 点的轨迹方程.

x2 y2 18. (12 分)双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点, 直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线. 求 8 4 双曲线 C 的方程.

19.(12 分)直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标等于 2, 求弦 AB 的长.

x2 y2 20.(12 分)已知点 P(3,4)是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的一点,F1、F2 为椭圆的两焦点,若 a b PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆的方程; (2)△PF1F2 的面积.

5 21.(12 分)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|= p, 2 求 AB 所在的直线方程.

22.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设 点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点. (1)写出 C 的方程; → → (2)若OA⊥OB,求 k 的值.

第二章
1.A [由题意可得 2

圆锥曲线与方程(A)

1 1 =2×2,解得 m= .] m 4 2.B [∵y2=8x 的焦点为(2,0), x2 y2 ∴ 2+ 2=1 的右焦点为(2,0),∴m>n 且 c=2. m n 1 2 又 e= = ,∴m=4. 2 m ∵c2=m2-n2=4,∴n2=12. x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1.] 16 12 3.B [抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=-6,故双曲线中 c=6.① x2 y2 b 由双曲线 2- 2=1 的一条渐近线方程为 y= 3x,知 = 3,② a b a 2 2 2 且 c =a +b .③ 由①②③解得 a2=9,b2=27. x2 y2 故双曲线的方程为 - =1,故选 B.] 9 27 4.D [由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a-c,a+c], |PF1|+|PF2|=2a, |PF1|+|PF2|?2 2 所以|PF1|· |PF2|≤? 2 ? ? =a , 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. |PF1|· |PF2|=|PF1|(2a-|PF1|) =-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2 ≥-c2+a2=b2, 所以|PF1|· |PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2.] 5.B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2),可知 a=2, y2 x2 且双曲线的标准方程为 - 2=1. 4 b 根据题意 2a+2b= 2· 2c,即 a+b= 2c. 2 2 2 又 a +b =c ,且 a=2, ∴解上述两个方程,得 b2=4. y2 x2 ∴符合题意的双曲线方程为 - =1.] 4 4 x2 y2 6.B [∵双曲线方程为 2- =1, a ?a+1?2 2a2+2a+1. c 1 2 ?1+1?2+1. ∴e= = 2+ 2+ = ?a ? a a a 1 1 又∵a>1,∴0< <1.∴1< +1<2. a a ∴c=

1?2 ∴1<? ?1+a? <4.∴ 2<e< 5.] 7.D [∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体, ∴D1C1⊥侧面 BCC1B1. ∴D1C1⊥PC1.∴PC1 为 P 到直线 D1C1 的距离. ∵P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等, ∴PC1 等于 P 到直线 BC 的距离. 由圆锥曲线的定义知,动点 P 的轨迹所在的曲线是抛物线.] 8.A [如图所示,在 y=x-1 上任取一点 P(m,m-1),

假设在 y=x2 上存在点 B(x0,x2 0)使|AB|=|PA|, 2 m + x x + m - 1 0 0 ?. 则 A? 2 ? 2 , ? 2 又∵A 在 y=x 上, 2 x0 +m-1 ?m+x0?2 ∴ = 2 ? 2 ? 2 即 x0-2mx0+2(m-1)-m2=0. ∵Δ=4m2-4[2(m-1)-m2]=8(m2-m+1) 1?2 =8? ?m-2? +6>0, ∴存在这样的 x0,也就是说对 y=x-1 上的任意一点 P,在抛物线 y=x2 上都存在两点 A、 B,使|PA|=|AB|.] 9.C [

如图所示,要使过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直 2 2 b b c2 a +b 2 线的斜率小于等于渐近线的斜率 ,∴ ≥ 3,离心率 e = 2= 2 ≥4,∴e≥2.] a a a a 10.B [根据抛物线的定义可得.] 11.B [设与直线 2x-y=4 平行且与抛物线相切的直线为 2x-y+c=0 (c≠-4),由 ? ?2x-y+c=0
? 2 ?y=x ?

得 x2-2x-c=0.① 由 Δ=4+4c=0 得 c=-1,代入①式得 x=1. ∴y=1,∴所求点的坐标为(1,1).] x2 y2 12.D [椭圆方程化为 + =1. 1 1 - sin α cos α 1 1 ∵椭圆焦点在 y 轴上,∴- > >0. cos α sin α π 3π 又∵0≤α<2π,∴ <α< .] 2 4

13.

3 2

c 3 解析 由已知得∠AF1F2=30° ,故 cos 30° = ,从而 e= . a 2 14.2x-y-15=0 2 2 2 解析 设弦的两个端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 1-4y1=4,x2-4y2=4, 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0. 因为线段 AB 的中点为 P(8,1), 所以 x1+x2=16,y1+y2=2. y1-y2 x1+x2 所以 = =2. x1-x2 4?y1+y2? 所以直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8), 代入 x2-4y2=4 满足 Δ>0. 即 2x-y-15=0. 2 15. 2 b +c 2 b 3 解析 由题意,得 =3? +c=3c- b b 2 2 c- 2 ?b=c, c c2 c2 1 2 因此 e= = = . 2= 2 2= a a 2 2 b +c 16.③④ 5 解析 ①错误,当 k=2 时,方程表示椭圆;②错误,因为当 k= 时,方程表示圆;验证 2 可得③④正确. 17.解 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0). x2 y2 x2 y2 0 0 ∵点 M 在椭圆 + =1 上,∴ + =1. 36 9 36 9 ∵M 是线段 PP′的中点, x =x, x =x ? ? ?0 ?0 ∴? 把? y y , ?y0=2, ?y0=2 ? ? x2 y2 x2 y2 0 0 代入 + =1,得 + =1,即 x2+y2=36. 36 9 36 36 ∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36. x2 y2 18.解 设双曲线方程为 2- 2=1. a b x2 y2 由椭圆 + =1,求得两焦点为(-2,0),(2,0), 8 4 ∴对于双曲线 C:c=2. 又 y= 3x 为双曲线 C 的一条渐近线, b ∴ = 3,解得 a2=1,b2=3, a y2 ∴双曲线 C 的方程为 x2- =1. 3 19.解 将 y=kx-2 代入 y2=8x 中变形整理得: k2x2-(4k+8)x+4=0, ? ?k≠0 由? ,得 k>-1 且 k≠0 2 2 ?Δ=?4k+8? -16k >0 ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k+8 由题意得:x1+x2= 2 =4?k2=k+2 k ?k2-k-2=0. 解得:k=2 或 k=-1(舍去) 由弦长公式得: 64k+64 192 |AB|= 1+k2· = 5× =2 15. k2 4 20.解 (1)令 F1(-c,0),F2(c,0),则 b2=a2-c2. 因为 PF1⊥PF2,所以 kPF1· kPF2=-1, 4 4 即 · =-1,解得 c=5, 3+c 3-c x2 y2 所以设椭圆方程为 2+ 2 =1. a a -25 9 16 因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 2+ 2 =1. a a -25 解得 a2=45 或 a2=5. 又因为 a>c,所以 a2=5 舍去. x2 y2 故所求椭圆方程为 + =1. 45 20 (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 5,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②得 2|PF1|· |PF2|=80, 即|PF1||PF2|=40, 1 所以 S△PF1F2= |PF1|· |PF2|=20. 2 p 21.解 焦点 F( ,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 5 若 AB⊥Ox,则|AB|=2p< p,不合题意. 2 所以直线 AB 的斜率存在,设为 k, p 则直线 AB 的方程为 y=k(x- ),k≠0. 2 p ? ?y=k?x-2?, 由? 消去 x,

? ?y2=2px,

整理得 ky2-2py-kp2=0. 2p 由韦达定理得,y1+y2= ,y1y2=-p2. k 2 ∴|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2?2 1 = ?1+ 2?· ?y1-y2?2 k 1 = 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2 k 1 5 =2p(1+ 2)= p. k 2 解得 k=± 2. p p ∴AB 所在的直线方程为 y=2(x- )或 y=-2(x- ). 2 2 22.解 (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3)、(0, 3)为焦点, 长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴 b= 22-? 3?2=1,

y2 故曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), y2 ? ?x2+ 4 =1, 联立方程?

? ?y=kx+1.

消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0. 其中 Δ=4k2+12(k2+4)>0 恒成立. 2k 3 故 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 → → 若OA⊥OB,即 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 3 3k2 2k2 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1=0, k +4 k +4 k +4 1 2 化简得-4k +1=0,所以 k=± . 2


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