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山东省滕州市第一中学2015届高三期末考试数学(理)试卷 word版含答案


数学理试卷
一.选择题(每题 5 分,共 10 题) 1. 设 A, B 是 两 个 非 空 集 合 , 定 义 运 算 A ? B ? {x | x ? A

B且x ? A B} , 已 知
( ) D. [0, 2]

A ? {x | y ? 2 x ? x 2 } , B ? { y | y ? 2 x , x ? 0} ,则 A ? B ?
A. [0,1]

(2, ??)

B. [0,1)

[2, ??)


C. [0,1] )

2.已知是 a 实数,若复数 A. 1 B. ?1

a?i 是纯虚数,则 a ? 1? i
C. 2 D. ? 2

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c . 若 a ? A.

2, b ? 2,sin B ? cos B ? 2 ,则 A ?
D.

?
3

B.

?
6

C.

?
4

2? 3





4.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙。在 100 个小伙子中,如果 某人不亚于其他 99 人, 就称他为棒小伙子, 那么 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.99 个 D.100 个 5. 小赵和小王约定在早上 7:00 至 7:30 之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间 内,共有 3 班公交车到达该站,到站的时间分别为 7:10,7:20,7:30,如果他们约定见车就搭 乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为 ( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

6.若函数 y ? f ( x) 的图象上的任意一点 P ( x, y ) 满足条件 | x |?| y | ,则称函数 f ( x) 具有性质

S ,那么下列函数值具有性质 S 的是
A. f ( x) ? e ? 1
x

( C. f ( x) ? sin x



B. f ( x) ? ln( x ? 1)

D. f ( x) ? tan x

7. 已知下列命题: ①设 m 为直线, ? , ? 为平面,且 m ? ? ,则“m// ? ”是“ ? ? ? ”的充要条件; ② ( x 3 ? )5 的展开式中含 x3 的项的系数为 60; ③设随机变量 ? ~N(0,1),若 P( ? ≥2)=p,则 P(-2< ? <0)=

1 x

1 -p ; 2

④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1 恒成立,则 m 的取值范围是( ?? ,2); ⑤已知奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ,且 0<x<

?
2

时 f ( x) ? x ,则函数

g ( x) ? f ( x) ? sin x 在[ ?2? , 2? ]上有 5 个零点.
其中所有真命题的序号是
第 -1- 页





A.③④

B.③

C.④⑤

D.②④

8.在边长为 1 的正方形 ABCD 中, M 为 BC 的中点,点 E 在线段 AB 上运动,则 EC ? EM 的取值范围是( A. [ , 2] )

1 2

B. [0, ]
2

3 2

C. [ , ]

1 3 2 2

D. [0,1]

9.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , A, B 是抛物线上横坐标不相等的两点,若 AB 的垂直平分 线与 x 轴的交点是 (4, 0) ,则 | AB | 的最大值为 A.2 B.4 C.10 D.6 ( )

10. 函数 f ( x) ? (1 ? x ? 数为 A.3 ( ) B.4

x 2 x3 x 4 ? ? ? 2 3 4
C.5

?

x 2012 x 2013 ? ) cos 2 x 在区间 [?3,3] 上零点的个 2012 2013
D.6

二.填空题 11. 某程序的框图如上右图所示,执行该程序, 若输入的 p 为 l6,则输出的 n 的值为 . 12.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A, B, C 3 门课由于 上课时间相同,至多选 1 门,若学校规定每位学生选修 4 门, 则不同选修方案共有 种. 13.已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 5) =25 和两点 A(2, 2), B ( ?1, ?2) ,
2 2

若点 P 在圆 C 上且 S ?ABP ?

5 ,则满足条件的 P 点有 2

个.

14. 在 ?ABC 中 , E 为 AC 上 一 点 , 且 AC ? 4 AE , P 为 BE 上 一 点 , 且

AP ? m AB ? n AC (m ? 0, n ? 0) ,则
x

1 1 ? 取最小值时,向量 a ? (m, n) 的模为 m n

.

15.已知函数 f ( x) ? 2ae (a ? 0) 的图象与直线 x ? 0 的交点为 M ,函数 g ( x) ? ln 的图象与直线 y ? 0 的交点为 N , | MN | 恰好是点 M 到函数 g ( x) ? ln 一点的线段长的最小值,则实数 a 的值是 .

x (a ? 0) a

x (a ? 0) 图象上任意 a

第 -2- 页

三.解答题 16.(12 分)已知 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos(2 x ?

5? ) ? sin 2 x 3

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和函数在 [0, ? ] 上的单调减区间; (2)若 ?ABC 中, f ( ) ?

A 2

2, a ? 2, b ? 6 ,求角 C .

17.(12 分)

P 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ? 平面ABCD , 四 边 形 ABCD 是菱形,
AC ? 2, BD ? 2 3 ,且 AC , BD 交于点 O , E 是 PB 上任意一点.
(1)求证: AC ? DE ; (2)已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为 求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

E D C O B

15 ,若 E 为 PB 的中点, A 5

18.(12 分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次 音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得 ?200 分) 。设每次击 鼓出现音乐的概率为

1 ,且各次击鼓出现音乐相互独立。 2

(1)设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加 反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

19.(12 分)已知点 P 1 ( a1 , b1 ), P 2 ( a2 , b2 ),

, Pn (an , bn )(n ? N * ) 在函数 y ? log 1 x 的图象上.
2

第 -3- 页

(1)若数列 {bn } 是等差数列,求证:数列 {an } 是等比数列; (2) 若数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 1 ? 2? n ,过点 Pn , Pn ?1 的直线与两坐标轴所围图形的面积为

cn ,求最小的实数 t ,使得对任意的 n ? N * , cn ? t 恒成立.

20.(13 分)设函数 f ( x) ? x ? x ln x ? 2 .
2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若存在区间 [a, b] ? [ , ??) ,使 f ( x) 在 [a, b] 上的值域是 [k (a ? 2), k (b ? 2)] ,求 k 得取 值范围.

1 2

21. (14 分) 已知椭圆 C : 上.

x2 y 2 2 且点 (?1, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) , ) 在椭圆 C 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2 )已知动直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A, B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q ,使得

QA ? QB ? ?

7 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 16

参考答案:
第 -4- 页

17 解: (1) 因为 DP ? 平面 ABCD , 所以 DP ? AC , 因为四边形 ABCD 为菱形, 所以 BD ? AC 又 BD

PD ? D,? AC ? 平面PBD. 因为 DE ? 平面PBD, ? AC ? DE. 5分

(2)连接 OE , 在 ?PBD 中, EO // PD, 所以 EO ? 平面ABCD, 分别以 OA, OB, OE 所在直 线 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 设 PD ? t , 则 A ?1, 0, 0 ? ,

t? ? B 0, 3, 0 , C ? ?1, 0, 0 ? , E ? 0, 0, ? , P 0, ? 3, t ,由(1)知,平面 PBD 的一个法向量为 2? ?

?

?

?

?

? ? 2 3? ?n1 ? AB ? 0, ? ?? x ? 3 y ? 0 得? ,令 y ? 1 ,得 n2 ? ? 3,1, ? ? ? ? . ??8分 t ? x ? 3 y ? tz ? 0 n ? AP ? 0. ? ? ? ? ? 2 ?
因为二面角 A ? PB ? D 的余弦值为

15 ,所以 cos n1 , n2 ? 5

3 15 , ? 5 12 4? 2 t

第 -5- 页

解得 t ? 2 3 或 t ? ?2 3 (舍去) ,所以 P 0, ? 3, 2 3 ??10分 设 EC 与 平 面 PAB 所 成 的 角 为 ? . 因 为 EC ? ?1, 0, ? 3 , n2 ?

?

?

?

?

?

3,1,1 , 所 以

?

sin ? ?| cos EC , n2 |?

2 3 15 15 所以 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 .12分 ? 5 5 2 5
1 2 1 2 1 , 8

0 18. 解: (1) X 可能取值有 ?200 ,10,20,100 P ( X ? ?200) ? C3 ( )0 (1 ? )3 ?

1 3 1 1 3 1 1 1 P( X ? 10) ? C3 ( ) (1 ? ) 2 ? , P( X ? 20) ? C32 ( ) 2 (1 ? )1 ? , 2 2 8 2 2 8 1 1 1 3 P( X ? 100) ? C3 ( )3 (1 ? )0 ? ??4分 2 2 8
故分布列为

X
P

?200
1 8

10 10 20 0

1 8 3 3 1 7 (2)由(1)知:每盘游戏出现音乐的概率是 p ? ? ? ? 则玩三盘游戏,至少有一盘 8 8 8 8 7 511 0 7 0 出现音乐的概率是 p1 ? 1 ? C3 ??9分 ( ) (1 ? )3 ? 8 8 512
(3)由(1)知,每盘游戏获得的分数为 X 的数学期望是

3 8

3 8

1 3 3 1 10 E ( X ) ? (?200) ? ? 10 ? ? 20 ? ? 100 ? ? ? 分这说明每盘游戏平均得分是负分,由 8 8 8 8 8
概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反 而会减少.??12分 19.解:(1)设数列 ?bn ? 的公比为 d ,则 bn ?1 ? bn ? d 对 n ? N ? 恒成立,依题意的 bn ? log 1 an ,
2
n an ?1 ? 1 ? n?1 ?1? ?? ? 则 an ? ? ? ,所以 an ? 2 ? ?2?

b

b

?bn

?1? ? ? ? 是非零常数,从而数列 ?an ? 是等比数列.4分 ?2?
n

d

(2)当时 n ? 1 , a1 ?

1 ?1? ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ? ? , n ? 1 也满足此式, 2 ?2?
n

?1? 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? ? ? n ? N ? ? .????6分 ?2?

?1? ? 1 ? ? 1 ? 由 bn ? log 1 an 可得, bn ? log 1 ? ? ? n .所以 Pn ? n , n ? , Pn ?1 ? n ?1 , n ? 1? . ?2 ? ?2 ? 2 ?2? 2
第 -6- 页

n

1 x? n y?n 2 ,可得此直线与坐标轴的交点 从而过着两点的直线方程是 ? 1 1 n ? 1 ? n ? ? ? n n ?1 2 2

? n ? 2 ? ,????10分 1 ?n?2 ? An ? n ?1 , 0 ? , Bn ?1 ? 0, n ? 2 ? .因此 cn ? ? OA ? OB ? 2 2n ? 2 ? 2 ?
2

由于 cn ? cn ?1

? n ? 2? ?
2n ? 2

2

? n ? 3? ?
2n ?3

2

2 ? n ? 2 ? ? ? n ? 3? n 2 ? 2n ? 1 ? ? ? 0 ,所以数列 ?cn ? 2n ?3 2n ?3
2 2

单调递减, 即数列的 ?cn ? 最大项为 c1 ? 所以实数 t 的最小值为

9 9 , 要使任意的 n ? N ? , 只需 t ? c1 ? . cn ? t 恒成立, 8 8

9 .??12分 8
的 定 义 域 是 ? 0, ?? ? , f ' ? x ? ? 2 x ? ln x ? 1 , 令

20 解 : ( 1 ) 由 题 意 得 , 函 数 f ? x?

g ? x ? ? 2 x ? ln ? 1( x ? 0), 则 g ' ? x ? ? 2 ? g ? x ? 单调递减;当 g ' ? x ? ? 0, 即 x ?
?1 ? , ?? ? ?2 ?

1 2x ?1 1 , 当 g ' ? x ? ? 0, 即 0 ? x ? 时 , 函 数 ? x x 2

1 ? 1? 时,函数 g ? x ? 单调递增, 所以 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递 2 ? 2?

减,在 ?

上 单 调 递 增 , 则 g ? x ? 的 最 小 值 为 g ? ? ? ln x ? 0

?1? ?2?

,所以

?1? f ' ? x ? ? g ? x ? ? g ? ? ? 0 ,即 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, ?? ? .??6分 ?2?
( 2 )由( 1 )得 f ? x ? 在区间 ? a, b ? ? ? , ?? ? 上单调递增,又 f ? x ? 在 ? a, b ? 上的值域是

?1 ?2

? ?

? k (a ? 2, k (b ? 2)? ,所以 f ? a ? ? k (a ? 2), f (b) ? k (b ? 2),
?1 ?2 ? ?

其中

1 ?a?b , 2

从而 f ? x ? ? k ( x ? 2), x ? ? , ?? ? ,由 f ? x ? ? k ( x ? 2) 得 k ? 令 F ( x) ?

f ? x? , x?2

f ? x ? x 2 ? x ln x ? 2 ? 1? x 2 ? 3x ? 2 ln x ? 4 1 ? x ? F '( x ) ? (x ? ) , ,则 ? ? 2 2 x?2 x?2 2? ? ? x ? 2?
1 ), 2
则 G '( x) ? 2 x ? 3 ?

令 G ( x) ? x 2 ? 3 x ? 2 ln x ? 4( x ?

2 (2 x ? 1)( x ? 2) ? ?0, x x

所以 G ( x) 在 ? , ?? ? 上单调递增, G ? ? ? 0, G (1) ? 0 , ?2 ? ?2?

?1

?

?1?

第 -7- 页

当 x ? ? ,1? 时, G ( x) ? 0 ,所以 F '( x) ? 0 , 当 x ? ?1, ?? ? 时, G ( x) ? 0 ,所以 F '( x) ? 0 , 所以 F ( x) 在 ? ,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 F ( x) 的最小值为 F (1) , ?2 ? 故由题意可知 F (1) ? k ? F ( ) ,解得 1 ? k ? 即 k 的取值范围是 ? 1,

?1 ? ?2 ?

?1 ?

1 2

9 ? 2 ln 2 , 10

? 9 ? 2 ln 2 ? ? .??13分 10 ? ?

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