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一轮复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.7 离散型随机变量及其分布列课时规范训练


第九章 计数原理、 概率、 随机变量及其分布 9.7 离散型随机变量及 其分布列课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红 球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 X,则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( ) A.X=4 C.X=6 B.X=5 D.X≤5

解析:事件“放回 5 个红球”表示前 5 次摸到黑球,且第 6 次摸到红球,故 X=6. 答案:C 2.(2016·淮安模拟)设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次 试验的成功次数,则 P(X=0)等于( A.0 C. 1 3 ) B. D. 1 2 2 3

解析:设失败率为 p,则成功率为 2p. ∴X 的分布列为:

X P

0

1 2p

p

则“X=0”表示试验失败.“X=1”表示试验成功, 1 1 ∴由 p+2p=1 得 p= ,即 P(X=0)= . 3 3 答案:C 3.一批产品共 50 件,次品率为 4%,从中任取 10 件,则抽到 1 件次品的概率是( A. C. C2C48 10 C50 C2 10 C50
1 1 9

)

B. D.

C2C50 10 C50 C48 10 C50
9

1 9

解析:50 件产品中,次品有 50×4%=2 件,设抽到的次品数为 X,则抽到 1 件次品的概 C2C48 率是 P(X=1)= 10 . C50 答案:A
1 9

?2?k 4.随机变量 X 的分布列 P(X=k)=a? ? ,k=1,2,3,?,则 a 的值为________. ?3?
1

解析:由 ?P(X=k)=1,
k=1



?2 ?2?2 ?2?3 ? 即 a? +? ? +? ? +??=1. ?3 ?3? ?3? ?
1 ∴a =1,解得 a= . 2 2 1- 3 1 答案: 2 5.(2016·荆州模拟)一离散型随机变量 ξ 的概率分布如下表: ξ 0 0.1 1 2 3 0.1 2 3

P

a

b

且 Eξ =1.5,则 a-b=________. 解析:由题意得?
?a+b=0.8, ? ? ?a+2b=1.2, ? ?0.1+a+b+0.1=1, ?0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.5, ?

即?

∴?

?a=0.4, ? ? ?b=0.4,

∴a-b=0.

答案:0 6.随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= 2.5)=________. 解析:由 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,得

C ,k=1,2,3,C 为常数,则 P(0.5<X< k?k+1?

C C 4 + + =1,解得 C= . 1×2 2×3 3×4 3
∴随机变量 X 分布列为:

C

X P

1 2 3

2 2 9

3 1 9

∴P(0.5<X<2.5)=P(X=1)+P(X=2) 2 2 8 = + = . 3 9 9 8 答案: 9 7.(2014·高考北京卷)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相 互独立):

2

场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5

投篮次数 22 15 12 23 24

命中次数 12 12 8 8 20

场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5

投篮次数 18 13 21 18 25

命中次数 8 12 7 15 12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6, 一场不超过 0.6 的概率; (3)记 x 为表中 10 个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在 这场比赛中的命中次数.比较 EX 与 x 的大小.(只需写出结论) 解析:(1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. (2)记事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的 一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 则 C=A B ∪ A B,A,B 独立. 3 2 根据投篮统计数据,P(A)= ,P(B)= . 5 5 0.6,一场不超过 0.6.”

P(C)=P(A B )+P( A B)
3 3 2 2 = × + × 5 5 5 5 = 13 . 25

所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不 13 超过 0.6 的概率为 . 25 (3)EX= x . [B 级 能力突破] 1.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,那么( A.n=3 C.n=10 B.n=4 D.n=9
3

)

1 1 1 3 解析:P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= + + = =0.3,∴n=10.

n n n n

答案:C 2.若离散型随机变量 X 的分布列为:

X P
则常数 c 的值为( 2 1 A. 或 3 3 C. 1 3
2

0 9c -c
2

1 3-8c

) B. 2 3

D.1

9c -c≥0, ? ? 解析:由?3-8c≥0, ? ?9c2-c+3-8c=1, 答案:C

1 得 c= . 3

3.(2016·武汉模拟)若某一射手射击所得环数 X 的分布列为

X P

4 0.02

5 0.04

6 0.06

7 0.09

8 0.28 )

9 0.29

10 0.22

则此射手“射击一次命中环数 X≥7”的概率是( A.0.88 C.0.79 B.0.12 D.0.09

解析:P(X≥7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.09+0.28+0.29+0.22 =0.88. 答案:A 4.如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为 ξ ,则 P(ξ ≥8)= ________.

解析:法一:由已知 ξ 的取值为 7,8,9,10, C2C2 1 C2C1+C2C2 3 ∵P(ξ =7)= 3 = ,P(ξ =8)= = , 3 C5 5 C5 10 C2C2C1 2 C2C1 1 P(ξ =9)= 3 = ,P(ξ =10)= 3 = , C5 5 C5 10
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1

4

∴ξ 的概率分布列为 ξ 7 1 5 8 3 10 9 2 5 10 1 10

P

∴P(ξ ≥8)=P(ξ =8)+P(ξ =9)+P(ξ =10) = 3 2 1 4 + + = . 10 5 10 5
2 1

C2C2 4 法二:P(ξ ≥8)=1-P(ξ =7)=1- 3 = . C5 5 4 答案: 5 5.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,则所选 3 人中女生人数不超过 1 人的概率是________. 解析:设所选女生人数为 X, 则 X 服从超几何分布, 其中 N=6,M=2,n=3, 则 P(X≤1) C2C4 C2C4 4 =P(X=0)+P(X=1)= 3 + 3 = . C6 C6 5 4 答案: 5 6.(2015·南昌调研)设随机变量 X 的概率分布列为
0 3 1 2

X P
则 P(|X-3|=1)=________.

1 1 3

2

3 1 4

4 1 6

m

1 1 1 1 解析: +m+ + =1,解得 m= , 3 4 6 4

P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)= + = .
答案: 5 12

1 1 4 6

5 12

1 7.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p,且乙投球 2 1 2 次均未命中的概率为 . 16 (1)求乙投球的命中率 p; (2)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ξ ,求 ξ 的分布列. 解:(1)设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B. 1 2 2 由题意得[1-P(B)] =(1-p) = , 16
5

3 5 解得 p= 或 p= (舍去), 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 (2)由题设和(1)知

P(A)= ,P( A )= ,P(B)= ,P( B )= .
ξ 可能的取值为 0,1,2,3,故

1 2

1 2

3 4

1 4

P(ξ =0)=P( A )P( B B )= ×? ?2= , 4 P(ξ =1)=P(A)P( B B )+C1 2P(B)P( B )P( A )

1 ?1? 2 ? ?

1 32

1 ?1?2 3 1 1 7 = ×? ? +2× × × = , 2 ?4? 4 4 2 32

P(ξ =2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)-P(ξ =3)= , P(ξ =3)=P(A)P(BB)= ×? ?2= . 4
故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 32 1 7 32 2 15 32 3 9 32 1 ?3? 2 ? ? 9 32

15 32

P

6


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