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山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第三次四校联考数学理试题


2014 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考

数学试题(理科)
命题:临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中 【考试时间 120 分钟,满分 150 分】

第Ⅰ卷(选择题

60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1.设 U=R,A={x?y=x x},B={y?y=-x },则 A∩(CUB)=(
2

) D.{0}

A.?

B.R

C. {x?x>0}

2.设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 A. ?1 ? i B. ?1 ? i

2 2 ?z ?( ) z
C. 1 ? i D. 1 ? i

3.下图是一个体积为 10 的空间几何体的三视图,则图中 x 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

4.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为( ) A.3 B.-6 C.10 D.-15
开始
x

i=1,S=0
1

i<6?
3 2



是 是 否
i 是奇数?

正视图

侧视图

输出 S
2

S ? S ?i

2

S ? S ?i

结束

俯视图

i=i+1

1

?x ? 2 ? 5.实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z ? kx ? y 的最大值为 13,则实数 k ? ( ). ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
A. 2 B.

13 2

C.

9 4
2n

D. 5

a2 n ?3 ? 2 (n ? 2) ,则当 n ? 1时, 6.等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? N ? ,且 a3 ?

log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log 2 a2 n ?1 ? ( )
A. n(2n ? 1) B . (n ? 1)
2

C. n

2

D. (n ? 1)

2

? ? 7.已知函数 f(x)=sin(ω x+?)(ω >0, ???< )的部分图象如图所示,则 y=f(x+ )取得最小值 2 6 时 x 的集合为( )
1

y ? B. {x?x= k?? , k?Z } 3 ? D. {x?x=2k?? , k?Z } 3 ) 2 sinx x 4 +1
x

? A. {x?x= k?? , k?Z } 6 ? C. {x?x=2k?- , k?Z } 6

o

? 3

7? 12

x

8.右图可能是下列哪个函数的图象( A.y=2 -x -1 C.y=(x -2x)e
2 x x 2

y

B. y =

o

x

x D. y= lnx

9.向边长分别为 5,6, 13 的三角形区域内随机投一点 M , 则该点 M 与三角形三个顶点距离 都大于 1 的概率为( A. 1 ? ? 18 ) B. 1 ?

?
12

C. 1 ?

?
9

D. 1 ?

?
4

10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架歼-15 飞机准备着舰.如果甲、 乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( A.12 种 B.16 种 C.24 种 D. 36 种 )

2

11. 三棱锥 P—ABC 的四个顶点均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,PA⊥平面 ABC,

PA=2AB=6,则该球的体积为( )
A.16 3π B.32 3π C.48π D.64 3π

x2 y 2 12.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? , 过其左焦点 F 作 x 轴的垂线, 交双曲线于 A, B a b
两点,若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( A. ? 2, ?? ? B. ?1, 2 ? C. ? )

?3 ? , ?? ? ?2 ?

D. ? 1, ?

? 3? ? 2?

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

90 分)

13. 如果(2x-1) =a0+a1x+a2x +?+a6x ,那么 a1+a2+?+a6 的值等于

6

2

6

.

→ → → → → → → 14. 圆 O 为△ABC 的外接圆,半径为 2,若AB+AC=2AO,且|OA|=|AC|,则向量BA在向量BC
方向上的投影为 .

?e? x ? 15.已知 f ( x ) ? ? ? ? x
围是 .

( x ? 0) ( x ? 0)

, g ( x) ? f ( x) ?

1 x ? b 有且仅有一个零点时,则 b 的取值范 2

16.若数列 {an } 与 {bn } 满足 bn ?1an ? bn an ?1 ? (?1) ? 1, bn ?
n

3 ? (?1) n ?1 , n ? N ? ,且 a1 ? 2 , 2

设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 S63 =

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
2 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.
3

18. (本小题满分 12 分)学校设计了一个实验学科的考查方案:考生从 6 道备选题中一次 随机抽取 3 道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:在抽取的 3 道题中,至少 正确完成其中 2 道题便可通过考查.已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成, 2 道题不 能完成;考生乙每题正确完成的概率都为

2 ,且每题正确完成与否互不影响. 3

(1)求考生甲正确完成题目个数 ξ 的分布列和数学期望; (2) 用统计学知识分析比较甲、 乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大? 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在几何体 ABCDEF 中, AB∥CD, AD=DC=CB=1, ∠ABC=60°, 四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1. (1)求证:平面 FBC⊥平面 ACFE; (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成 二面角的平面角为 θ (θ ≤ 90°) ,试求 cosθ 的取值范围. A 20. (本小题满分 12 分)抛物线 C1: y ? 4 x 的焦点与椭圆 C2:
2

F M E D C

B

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一 a 2 b2

个焦点相同.设椭圆的右顶点为 A, C1, C2 在第一象限的交点为 B, O 为坐标原点, 且 ?OAB 的

面积为

6 a. 3

(1)求椭圆 C2 的标准方程; (2) 过 A 点作直线 l 交 C1 于 C,D 两点, 连接 OC,OD 分别交 C2 于 E,F 两点, 记 ?OEF , ?OCD 的面积分别为 S1 , S 2 .问是否存在上述直线 l 使得 S 2 ? 3S1 ,若存在,求直线 l 的方程;若不 存在,请说明理由.

4

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) =

e x -1 x

(1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 f(x)-1<a 成立. 请考生在 22、23、24 中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做 第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B, C 两点,且

1 作直线 AF 与圆 E 相切于点 F , 连结 EF 交 BC 于点 D , AB ? AC , 3
已知圆 E 的半径为 2, ?EBC ? 30 (1)求 AF 的长; (2)求证: AD ? 3ED .
0

A B E D F

C

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos ? ? ( ? 为参数) ,以原点 O 为极点, ? ? y ? sin ?

? x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 4 2 4
(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标.

5

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ?x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 3 (1)求函数 y ? f ?x ? 的最小值; (2)若 f ( x) ? ax ?

a 7 ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 2

6

2014 届高三年级第三次四校联考 数学(理科)答案 一、 选择题 1 C 二、 2 D 3 A 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C 9 A 10 D 11 B 12 A

填空题 13. 0 1 15.b≥1 或 b= 或 b≤0 2 14. 3 16. 560

三、解答题 17.解:(1)∵cosA=
5 2 ∴sinA= 1 ? cos2 A ? ,?????2 分 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
5 2 cosC+ sinC. 3 3

?????5 分 ?????6 分
5 6

整理得:tanC= 5 . (2) 由(1)知 sinC= 由正弦定理知: ,cosC=
1 6

a c ,故 c ? 3 . ? sin A sin C

?????9 分 ?????10 分 ?????12 分

又∵sinB= 5 cosC= 5 ?

1 6

1 5 ∴ ? ABC 的面积为:S= ac sin B = . 2 2

18.解: ( 1)设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为 ? ,则 ? 可能取值为 1,2,3
1 2 C4 C2 1 P(? ? 1) ? ? 3 5 C6 2 1 C4 C2 3 P(? ? 2) ? ? 3 5 C6 3 0 C4 C2 1 P(? ? 3) ? ? 3 5 C6

?????3 分 所以,考生甲正确完成题目数的分布列为
7

?
P

1
1 5

2
3 5

3
1 5

1 3 1 所以 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 5 5 5

?????5 分

(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为 ?
2 2 1 因为?~B(3, ) ,其分布列为: P(? ? k ) ? C3k ( ) k ( ) 3?k , k ? 0,1,2,3 3 3 3 2 所以 E? ? 3 ? ? 2 ?????6 分 3 1 3 1 2 又因为 D? ? (1 ? 2) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (3 ? 2) 2 ? ? 5 5 5 5 2 1 2 ?????8 分 D? ? 3 ? ? ? 3 3 3

所以 D? ? D? 又因为 P(? ? 2) ?
3 1 ? ? 0.8 , 5 5 P(? ? 2) ? 12 8 ? ? 0.74 ?????10 分 27 27

所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2) ①从做对题数的数学期望考查,两人水平相当;从做对题数的方差考查,甲较稳 定; ②从至少完成 2 题的概率考查,甲获得通过的可能性大, 因此, 可以判断甲的实验操作能力强. 19. ( 1 )证明:在四边形 ABCD 中,∵AB∥CD, AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2, ?????12 分

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC. ∵平面 ACFE⊥平面 ABCD,平面 ACFE∩平面 ABCD=AC,BC? 平面 ABCD,∴BC⊥平 面 ACFE.
8

又 因 为 FBC,

BC?

平 面

FBC ,

所 以

平 面

ACFE⊥ 平 面

.............5 分

(2)解:由(1)可建立分别以直线 CA,CB,CF 为 x 轴,y 轴,z 轴的如图所示的空 间直角坐标系,令 FM=λ (0≤λ ≤ 3 ),则 C(0,0,0),A( 3 ,0,0),B(0,1, 0),M(λ ,0,1), ∴→ AB=(- 3 ,1,0),→ BM=(λ ,-1,1), ? ?n1·→ AB=0 设 n1=(x,y,z) 为 平 面 MAB 的 一 个 法 向 量 , 由 ? ,得 → ? ?n1·BM=0

? ?? 3x ? y ? 0, ? ? ??x ? y ? z ? 0,
取 x=1,则 n1=(1, 3 , 3 ? ? ), ∵n2=(1,0,0)是平面 FCB 的一个法向量, ∴cos?= |n1·n2| 1 1 = = ...........10 分 2 |n1|·|n2| 1+3+( 3-?) ?1 ( 3-?)2+4
7 , 7

∵0≤λ ≤ 3 ,∴当 λ =0 时,cosθ 有最小值 当 λ = 3 时,cosθ 有最大值 ∴cosθ ∈[
1 . 2

7 1 , ]..............12 分 7 2

20.解: (1)∵ y 2 ? 4 x ∴焦点 F ?1, 0 ? ∴ c ? 1 即 a2 ? 1 ? b2 ?????1 分
1 6 a 又∵ S?OAB ? ? OA ? yB ? 2 3

∴ yB ?

6 3

?????2 分

2 2 6 ) .又 B 点在椭圆上得 b2 ? 3 , a 2 ? 4 代入抛物线方程得 B ( , 3 3

9

∴椭圆 C2 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

?????4 分

? x ? my ? 2 (2)设直线 l 的方程为 x ? my ? 2 ,由 ? 2 得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ? y ? 4x

设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,所以 y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?8 ?????6 分

1 OC OD sin ?COD OC OD S2 2 y y 又因为 ? ? ? 1 ? 2 S1 1 OE OF sin ?EOF OE OF yE yF 2
直线 OC 的斜率为
y1 4 yy ? ,故直线 OC 的方程为 x ? 1 , x1 y1 4

yy ? x? 1 ? 3 ? 64 3 ? 64 ? 4 2 2 ? 由? 2 得 yE ,同理 yF ? 2 2 3 y1 ? 64 3 y2 2 ? 64 ?x ? y ?1 ? 3 ?4
2 2 yF ? ( 所以 yE

3 ? 64 3 ? 64 64 ? 32 ) ? ( ) ? 3 y12 ? 64 3 y2 2 ? 64 121 ? 48m 2

2 S 2 2 y12 ? y2 121 ? 48m 2 则( ) ? 2 2 ? , S1 yE ? yF 32

?????10 分

121 ? 48m2 ?9, 所以 32

所以 48m2 ? ?40 ,故不存在直线 l 使得 S2 ? 3S1 21.解:(1) 由题意知: ,f?(x)=

?????12 分 ?????2 分

xex-(ex-1) (x-1)ex+1 = , x2 x2

令 h(x)=(x-1)ex+1,则 h?(x)=x ex>0, ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数, 又 h(0)=0,∴h(x)>0,则 f?(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.
10

?????3 分

?????5 分

(2) f(x)-1=

e - x -1 ,不等式 f(x)-1<a 可化为 ex-(a+1)x-1<0, x ?????7 分

x

令 G(x)= ex-(a+1)x-1, G?(x)=ex-(a+1), 由 G?(x)=0 得:x=ln(a+1), 当 0<x< (ln(a+1)时,G?(x)<0, 当 x>ln(a+1)时,G?(x)>0, ∴当 x=ln(a+1)时,G(x)min=a-(a+1)ln(a+1), 令?(a)= a 1 1 a - ln(a+1),(a≥0) ??(a)= =- <0, 2a+1 (a+1) a+1 (a+1)2

?????9 分

又?(0)=0, ∴当 a>0 时,?(a)< ?(0)=0, 即当 x=ln(a+1)时,G(x)min=a-(a+1)ln(a+1)<0. 故存在正数 x=ln(a+1),使不等式 F(x)-1<a 成立. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (1)延长 BE 交圆 E 于点 M ,连结 CM , 则 ?BCM ? 90 0 , 又 BM ? 2BE ? 4, ?EBC ? 30 ,所以 BC ? 2 3 ,
0

?????11 分 ?????12 分

A

B E C D F

又 AB ?

1 1 AC, 可知 AB ? BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3 3 2

根据切割线定理得 AF 2 ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,即 AF ? 3 证明:过 E 作 EH ? BC 于 H ,则 ?EDH~?ADF ,
ED EH 1 ,又由题意知 CH ? BC ? 3,EB ? 2 ? AD AF 2 ED 1 所以 EH ? 1,因此 ? ,即 AD ? 3ED AD 3

从而有

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲

11

? x ? 3 cos? 解: (1)由曲线 C1 : ? ? y ? sin ?

? x ? cos? ? 得? 3 ? ? y ? sin ?

两式两边平方相加得: (

x 3

)2 ? y 2 ? 1

x2 即曲线 C1 的普通方程为: ? y2 ? 1 3
2 ? ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 由曲线 C 2 : ? sin(? ? ) ? 4 2 得: 2 4

即 ? sin ? ? ? cos? ? 8 ,所以 x ? y ? 8 ? 0 即曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点,椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线
x ? y ? 8 ? 0 的距离为
3 cos? ? sin ? ? 8 2 2 sin(? ? ? 2

?
3

)?8

d?

所以当 sin(? ?

?

3 1 ) ? 1 时, d 的最小值为 3 2 ,此时点 P 的坐标为 ( , ) 3 2 2

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
1 ? ? ? x ? 4( x ? ? 2 ) ? ? ? 1 ? 答案: (1)由题意得 f ?x ? ? ?3x ? 2? ? ? x ? 3 ? ? 2 ? ? x ? 4?x ? 3? ? ? ?
1? ? ? 1 ? 所以 f(x)在 ? ? ?,? ? 上单调递减,在 ? ? ,?? ? 上单调递增. 2? ? ? 2 ?

1 所以当 x ? ? 时 y ? f ?x ? 取得最小值 2
12

此时 f ? x ?min ? ?

7 2 a 7 ? 1 7? ? 可知 y ? g ?x ? 恒过点过 ? ? ,? ? 2 2 ? 2 2?

(2)由(1)及 g ( x) ? ax ? 由图象可知 ?1 ? a ? 1

13


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