当前位置:首页 >> 高一数学 >>

高中数学竞赛专题讲座——解析几何(二)


高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
《解析几何》 各类竞赛试题选讲 解析几何》
一、选择题 1、 (04 湖南)已知曲线 C : y = 取值范围是(C) A. ( 2 1, 2 ) 2 (05 全国)方程 B. ( 2, 2 1) C. [0, 2 1) D. (0, 2 1)

x 2 2 x 与直线 l : x + y m = 0 有两个交点,则 m 的

x2 y2 + = 1 表示的曲线是( D ) sin 2 sin 3 cos 2 cos 3
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线

A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆

3、 (06 浙江)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2 , 5 条件的直线 L 共有( C )条。 (A)1 (B)2 (C)3 解: 由 AB = (D)4

2 ,则满足

5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有三条

共切线。正确答案为 C。 4. (06 安徽)过原点 O 引抛物线 y = x 2 + ax + 4a 2 的切线,当 a 变化时,两个切点分别在抛物 线( B )上 A、y =
1 2 3 x , y = x2 2 2

B、y =

3 2 5 x , y = x2 2 2

C、y = x 2 , y = 3x 2

D、y = 3 x 2 , y = 5 x 2

5.若在抛物线 y = ax 2 ( a > 0) 的上方可作一个半径为 r 的圆与抛物线相切于原点 O ,且该 圆与抛物线没有别的公共点,则 r 的最大值是 (A) ( A (C) a ). (D) 2a

1 2a

(B)

1 a
2

6. (06 江苏)已知抛物线 y =2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△ POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有( B ) (A)0 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)6 个 7、 (06 全国)如图 3,从双曲线

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的左焦点 F 引圆 a2 b2

x 2 + y 2 = a 2 的切线,切点为 T.延长 FT 交双曲线右支于 P 点。若 M 为线段
FP 的中点,O 为坐标原点,则 | MO | | MT | 与 b a 的大小关系为 ( A. | MO | | MT |> b a C. | MO | | MT |< b a B. | MO | | MT |= b a D.不确定 )

欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 1

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
8.(05 四川)双曲线

x2 y2 = 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1 , A2 , P 是该双曲线右支上任 a 2 b2
) (D)相离

意一点,则分别以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定( (A)相交 (B)内切 (C)外切

解: 设双曲线的另一个焦点为 F2 , 线段 PF1 的中点为 C , 在△ F1 F2 P 中,C 为 PF1 的中点,

O 为 F1 F2 的中点,从而 OC =
径的两圆一定内切。

1 1 | PF2 |= (| PF1 | | A1 A2 |) ,从而以线段 PF1 , A1 A2 为直 2 2

9、点 A 是直线 l : y = 3 x 上一点,且在第一象限,点 B 的坐标为(3,2) ,直线 AB 交 x 轴 正半轴于点 C ,那么三角形 AOC 面积的最小值是 ( A ) 10.(02 湖南)已知 A(-7,0) ,B(7,0) ,C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为 C,且 过 A、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为( ) (奥析 263) (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分 11、 (03 全国)过抛物线 y 2 = 8( x + 2) 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线。若此直线与抛物线
O

交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与轴交于点 P,则线段 PF 的长等于( (A)

) (奥析 263)

16 3

(B)

8 3

(C)

16 3 3

(D) 8 3

二、填空题 1、若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆 方程为

x2 y 2 + = 1 截得线段的中点的轨迹 2 8

x2 y2 2. (04 湖南)设 P 是椭圆 + = 1 上异于长轴端点的任意一点, F1 、 F2 分别是其左、 16 9
右焦点, O 为中心,则 | PF1 | | PF2 | + | OP | 2 = ___25________. 若点 C (6,8) 与点 D ( m, n) 3. 湖南) (05 一张坐标纸对折一次后, A(0,4) 与点 B (8,0) 重叠, 点 重叠,则 m + n = _______________; 解 : 可 解 得 对 称 轴 方 程 为 y = 2x 6 , 由

n+8 n8 1 = (6 + m) 6, = 得 2 m6 2

m = 7.6, n = 7,2 ,所以 m + n = 14.8
4. 在正△ ABC 中, D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点,则以 B 、 C 为焦点且过点 D 、 E 的双曲线的离心率是

3 +1



欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 2

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
5、 全国) F1、 2 是椭圆 (03 设 F

x2 y2 + = 1 的两个焦点, 是椭圆上的一点, P 且|PF1|: 2|=2: |PF 9 4

1.则三角形 PF1F2 的面积为 . (奥析 264) 6、 (04 全国)给定两点 M(-1,2) ,N(1,4) ,点 P 在 x 轴上移动. 当 ∠MPN 取最大时, 点 P 的坐标为 . (奥析 265) 7、 (03 山东)设曲线 2 x + y = 4 x + 6 上与原点距离最大和最小的点分别为 M、N,则
2 2

|MN|= . (奥析 266) 8、 (04 全国)已知 M = {( x, y ) | x + 2 y = 3}, N = {( x, y ) | y = mx + b}. 若对于所有的
2 2

m ∈ R ,均有 M ∩ N ≠ φ ,则 b 的取值范围是

(奥析 267)

9、 (00 全国)平面上的整点到直线 25x-15y+12=0 的距离中的最小值是 10、(99 全国)满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2 <2 的整点的个数有
2

34 . 85
16 .

11、 (00 河北)在圆 x2+y -5x=0 内,过点 ( , ) 有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的 取值范围为

5 3 2 2

[

2 5 5 , ] 5 2

.
2

12、 P 是抛物线 y2=2x 上的点,Q 是圆(x-5)2+y =1 上的点, 设 则|PQ|的最小值为

2

.

三、解答题 1、已知抛物线 y2=4ax(0<a<1)的焦点为 F,以 A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径在 x 轴上方 作半圆交抛物线与不同的两点 M、N,设 P 为线段 MN 的中点. (1)求|MF|+|NF 的值.(2)是否存在这样的 a 的值,使||MF|、|PF|、|NF|成等差数列? 如存在,求出 a 的值;如不存在,说明理由。 答案(1)8; (2)不存在。 (利用定义法)

2、圆 x2+y =8,点 A(2,0) ,动点 M 在圆上,0 为原点,求 ∠OMA 的最大值。 (方法大全 1)
2

3、已知曲线 M : x 2 y 2 = m , x > 0 , m 为正常数.直线 l 与曲线 M 的实轴不垂直,且 依次交直线 y = x 、曲线 M 、直线 y = x 于 A 、 B 、 C 、 D 4 个点, O 为坐标原点. 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 3

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
(1) (2) 若 | AB |=| BC |=| CD | ,求证: AOD 的面积为定值; 若 BOC 的面积等于 AOD 面积的
2 2

1 ,求证: | AB |=| BC |=| CD | . 3

解: (1)设直线 l : y = kx + b 代入 x y = m 得:

y B
O

A
B P

(1 k ) x 2bkx b m = 0 , > 0 得:
2 2 2

b 2 + m(1 k 2 ) > 0 ,设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) ,则
有 x1 + x 2 =

C D

x
A Q C

(b + m) 2bk , x1 x 2 = ,设 2 1 k 1 k 2
2

A( x3 , y 3 ) , D( x4 , y 4 ) ,易得: x3 =

b b , x4 = ,由 | AB |=| BC |=| CD | 得 1 k 1+ k

| BC |= (

1 1 | AD | ,故 | x1 x 2 |= | x 3 x 4 | ,代入得 3 3

2bk 2 4(b 2 + m) 1 2b 9 b ) + = | |, 整理得: 2 = m( k 2 1) , | OA |= 2 | 又 b |, 2 2 2 3 1 k 8 1 k 1 k 1 k
b2 9 b = m 为定值。 | , ∠AOD = 90° ,∴ S AOD = 2 1+ k |1 k | 8

| OD |= 2 |

(2)设 BC 中点为 P , AD 中点为 Q 则 x p =

x + x4 x1 + x 2 bk bk = = , xQ = 3 , 2 2 2 1 k 1 k 2

所以 x P = x Q , P 、 Q 重合,从而 | AP |=| DP | ,从而 | AB |=| CD | ,又 BOC 的面积等 于 AOD 面积的

1 1 ,所以 | BC |= | AD | ,从而 | AB |=| BC |=| CD | 。 3 3

4、已知点 A

(

5 ,0 和曲线

)

x2 y 2 = 1 2 ≤ x ≤ 2 5 , y ≥ 0 上的点 P1、P 2、…、 Pn 。若 P A 、 1 4

(

)

P2 A 、…、 Pn A 成等差数列且公差 d >0,(1). 试将 d 表示为 n 的函数关系式.(2). 若
1 1 d ∈ , ,是否存在满足条件的 n(n ∈ N * ) .若存在,求出 n 可取的所有值,若不存在,说明理 5 5
由. 解 (1). ∵ d>0, 故 为 递 增 数 列 ∴ P A 最 小 , Pn A 最 大 。 1 由 方 程

x2 4 y 2 = 1 2 ≤ x ≤ 2 5 , y ≥ 0 知 A( 5 ,0) 是它的右焦点,L: x = 是它的右准线, ∴ 4 5
欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 4

(

)

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
PA = 5 2 1

Pn A = 3


于是 3 = ( 5 2) ( n 1) d

d=

5 5 (n > 1) - - - - - - - - - - -5 分 n 1
设 n ∈ (5 5 4,26 5 5 ) 又∵

(2) ∵ d ∈ ( ,

1 1 ) 5 5



1 5 5 1 < < 5 n 1 5

n ∈ N * ∴ n 取最大值 14, n 取最小值 8.∴ n 可取 8、9、10、11、12、 、13、14 这七个值。
- - - - - - - - -- - - - -9 分 5、 (03 山东)椭圆 C: Ax 2 + By 2 = 1 与直线 l :x+2y=7 相交于 P、Q 两点,点 R 的坐标为
O (奥析 265) (2,5).若 PQR 是等腰三角形, ∠PRQ = 90 ,求 A、B 的值。

6、 、 (04 全国)在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B ( 1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 ( 全国) BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范 经过 ABC 的内心(设为 D) 围。

4 3

4 4 ( x + 1), y = ( x 1), y = 0 。点 P ( x, y ) 到 3 3 1 1 AB、AC、BC 的距离依次为 d1 = | 4 x 3 y + 4 |, d 2 = | 4 x + 3 y 4 |, d 3 =| y | 。依设, 5 5
解: (Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y =

d1d 2 = d 32 , 得 |16 x 2 (3 y 4) 2 |= 25 y 2 ,即

16 x 2 (3 y 4) 2 + 25 y 2 = 0, 或16 x 2 (3 y 4) 2 25 y 2 = 0 ,化简得点 P 的轨迹方程为
圆 S: 2 x 2 + 2 y 2 + 3 y 2 = 0与双曲线T:8x2 17 y 2 + 12 y 8 = 0 (Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2 x 2 + 2 y 2 + 3 y 2 = 0 ① 与双曲线 T: 8x2 17 y 2 + 12 y 8 = 0 ② ......5 分

因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上,且 点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。

1 ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点, d1 = d 2 = d3 , 由 解得 D (0, ) , 且知它在圆 S 上。 2 1 直线 L 经过 D, 且与点 P 的轨迹有 3 个公共点, 所以, 的斜率存在, L 的方程为 y = kx + L 设 2
欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 5

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
③ (i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y =

1 平行于 x 轴,表明 L 2

与双曲线有不同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。......10 分 (ii)当 k ≠ 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能 有两种情况: 情况 1: 直线 L 经过点 B 或点 C, 此时 L 的斜率 k = ±

1 , 直线 L 的方程为 x = ± (2 y 1) 。 2

代入方程②得 y (3 y 4) = 0 ,解得 E ( , )或F(- , )。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交 点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当 k = ± 公共点。 ......15 分

5 4 3 3

5 4 3 3

1 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个 2

情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 k ≠ ±

1 ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 2

8 x 2 17 y 2 + 12 y 8 = 0 与双曲线 T 有且只有一个公共点。 即方程组 有且只有一组实数解, 1 y = kx + 2
消去 y 并化简得 (8 17 k ) x 5kx
2 2

25 = 0 该方程有唯一实数解的充要条件是 4

8 17 k 2 = 0 ④
或 ( 5k ) + 4(8 17 k )
2 2

25 =0 4



.解方程④得 k = ±

2 34 ,解方程⑤得 17

k =±

2 。 2 1 2 34 2 ,± ,± }。 2 17 2

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ±

7. (04 湖南) 在周长为定值的 ABC 中, 已知 | AB |= 6 , 且当顶点 C 位于定点 P 时, C cos 有最小值为

7 .(1)建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.(2)过点 A 作直线与(1)中的 25

曲线交于 M 、 N 两点,求 | BM | | BN | 的最小值的集合. 解:(1) 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值, 所以 C 点的轨迹是以 A、 为焦点的椭圆, B 所以焦距 2c=|AB|=6. 因为

cos C =

| CA | 2 + | CB | 2 6 2 (| CA | + | CB |) 2 2 | CA || CB | 36 2a 2 18 = = 1 2 | CA || CB | 2 | CA || CB | | CA || CB |
欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 6

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
又 | CA | | CB |≤ (

2a 2 18 18 7 2 ) = a 2 ,所以 cos C ≥ 1 2 ,由题意得 1 2 = , a = 25 . 2 25 a a

此时, |PA|=|PB|, 点坐标为 P(0, P ±4).所以 C 点的轨迹方程为

x2 y2 + = 1 ( y ≠ 0) 25 16
0

(2) 不妨设 A 点坐标为 A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 90 时, 设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得 (

1 k2 2 3 2 9k 2 + )x + k x + ( 1) = 0 25 16 8 16

150k 2 225k 2 400 显然有 △≥0, 所以 x1 + x 2 = , x1 x 2 = 16 + 25k 2 16 + 25k 2
而由椭圆第二定义可得

3 3 9 | BM | | BN |= (5 x1 )(5 x 2 ) = 25 3( x1 + x 2 ) + x1 x 2 5 5 25 144 450k 81k 144 531k 144 531 531 = 25 + + = 25 + = 25 + 2 2 2 16 25 16 + 25k 16 + 25k 16 + 25k k2 + 25
2 2 2

k2

144 16 144 + 531 的最小值,即考虑 1 25 531 取最小值,显然. 只要考虑 16 16 k2 + k2 + 25 25 k2
当 k=0 时, | BM | | BN | 取最小值 16. 当直线 MN 的倾斜角为 90 时,x1=x2=-3,得 | BM | | BN |= (
0

34 2 ) > 16 5

x2 y2 但 + = 1 ( y ≠ 0) ,故 k ≠ 0 ,这样的 M、N 不存在,即 | BM | | BN | 的最小值的 25 16
集合为空集. 8.(04 四川)已知椭圆ε:
= 1 (a>b>0) ,动圆 Γ : x 2 + y 2 = R 2 ,其中 b<R<a. 若 A a2 b2 是椭圆ε上的点,B 是动圆 Γ 上的点,且使直线 AB 与椭圆ε和动圆 Γ 均相切,求 A、B 两点 + x2 y2

的距离 AB 的最大值. 解:设 A (x1 , y1 ) 、B (x 2 , y 2 ) ,直线 AB 的方程为 y = kx + m 因为 A 既在椭圆 ε 上又在直线 AB
y1 = kx1 + m 上,从而有 x1 2 y1 2 2 + 2 =1 b a (1) (2)

将(1)代入(2)得 a 2 k 2 + b 2 x 2 + 2kma 2 x + a 2 m 2 b 2 = 0

(

)

(

)

由于直线 AB 与椭圆 ε 相切,故 = 2kma 2

(

)

2

4a 2 m 2 b 2 a 2 k 2 + b 2 = 0

(

)(

)

欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 7

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
从而可得 m 2 = b 2 + a 2 k 2 , x1 =
ka 2 m

(3)……………………5 分

可得 m 2 = R 2 1 + k 2 ,x 2 = 同理, B 既在圆 Γ 上又在直线 AB 上, 由 10 分 由(3)(4)得 k 2 = 、
2

(

)

k a2 R2 m

(

)

(4) ………

R2 b2 a R
2 2

, x 2 x1 =
2

k a2 R2 m
2

(

)
x1 )
2

所以 AB = ( x 2 x1 ) + ( y 2 y1 ) = 1 + k
2

(

)(x

2

(a =

2

R2 R2 b2 a 2b 2 ab 2 2 = a 2 + b 2 R 2 2 = (a b ) R ≤ (a b ) LLLLLLL15分 2 R R R
2

)(

)

m2 k 2 a2 R 2 = 2 R m2

(

)

2

(a =

2

R2 R2

)

2



R2 b2 a2 R2

即 AB ≤ a b , 当 且 仅 当 R = ab 时 取 等 号 所 以 A 、 B 两 点 的 距 离 AB 的 最 大 值 为
a b . ……………20 分.

9. (05 全国)过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物 线上,E 在线段 AC 上,

AE BF = λ1 ,F 在线段 BC 上, = λ2 ,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF EC FC

交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 P 的轨迹方程。

10. (05 湖南)过点 P (3 + 2 2 ,4) 作一条直线和 x轴、y轴 分别相交于 M、N 两点,试求

OM + ON MN 的最大值。 (其中 O 为坐标原点)
解:过点 P (3 + 2 2 ,4) 作一圆与 x 轴、 y 轴分别相切于点 A、B,且使点 P (3 + 2 2 ,4) 在优弧 AB 上,则圆的方程为 ( x 3) 2 + ( y 3) 2 = 9 ,于是过点 P (3 + 2 2 ,4) 作圆的切线 和 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 M 1 , N 1 两 点 , 圆 为 RtOM 1 N 1 的 内 切 圆 , 故

OM 1 + ON 1 M 1 N 1 = 6
若过点 P 的直线 MN 不和圆相切,则作圆的平行于 MN 的切线和 x 轴、 y 轴分别相交于

M 0 , N 0 两点,则 OM 0 + ON 0 M 0 N 0 = 6 。由折线 M 0 MNN 0 的长大于 M 0 N 0 的长及切
线长定理,得

OM + ON MN = (OM 0 MM 0 ) + (ON 0 NN 0 ) MN
y

= (OM 0 + ON 0 M 0 N 0 ) + [ M 0 N 0 ( M 0 M + MN + NN 0 )] ≤ OM 0 + ON M 0 N 0 = Q 6
所以, OM + ON MN 的最大值为 6。
R 0 Q' M‘ F P’ P M O

x2 y2 11. (05 江苏) 设椭圆的方程为 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) , 线段 PQ 是 a b
欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 8

x

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 PQR 为正三 角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M .过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂 足分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则

| MM ' |=

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | + | QQ ' |) = ( + )= . …………… 6 分 2 2 e e 2e

假设存在点 R ,则 | RM |=

3 | PQ | 3 | PQ | , 且 | MM ' | < | RM | , 即 < | PQ | , 2 2e 2

所以, e >

3 .……… 12 分. 3 1 | MM ' | | PQ | 2 1 = = , 故 cot ∠RMM ' = . | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e 2 1
( 如 图 ) , 则

于是, cos ∠RMM ' =



| PF | < | QF |

k PQ = tan ∠QFx = tan ∠FMM ' = cot ∠RMM ' =
3 时, 过点 F 作斜率为 3 1 3e 2 1

1 3e 2 1

.

… 18 分

当 e>

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于

R , 由上述运算知, | RM |=

3 | PQ | . 故 PQR 为正三角形. 2 1 3e 2 1


………… 21 分

若 | PF | > | QF | ,则由对称性得 k PQ =

……………… 24 分

又 e <1 , 所以,椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是 a2 b2

e∈(

3 1 ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ± . 3 3e 2 1

12. 四川) (05 正方形 ABCD 的两顶点 A, B 在抛物线 y = x 2 上, D 两点在直线 y = x 4 C, 上,求正方形的边长 d 。
2 2 显然 t1 ≠ t 2 ∵ AB ∥ DC , 1 = ∴ 解: A, B 两点坐标分别为 A(t1 , t1 ) 、B (t 2 , t 2 ) , 设

2 t 2 t12 , t 2 t1

欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 9

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
即 t1 + t 2 = 1 一 方 面 ,

2 d 2 =| AB | 2 = (t1 t 2 ) 2 + (t12 t 2 ) 2 = (t1 t 2 ) 2 [1 + (t1 + t 2 ) 2 ] = 2[(t1 + t 2 ) 2 4t1t 2 ]

1 2 ∴ t1 t 2 = ( 2 d ) 8 2d 2 = (t1t 2 4) 2
4



。 另 一 方 面 , d =| AD |=

| t1 t12 4 | 2

=

| t1t 2 4 | 2

,∴


2

将①代入②, d 68d + 900 = 0 , ( d 2 18)( d 2 50) = 0 。 d = 3 2 或 d = 5 2 得 即 故

13.

( 06

浙 江 ) 在 x 轴 同 侧 的 两 个 圆 : 动 圆 C1 和 圆

4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 4abx 2ay + b 2 = 0 外切 a, b ∈ N , a ≠ 0 ) 且动圆 C1 与 x 轴相切, ( ,

求 ( 1 ) 动 圆 C1 的 圆 心 轨 迹 方 程

L; ( 2 ) 若 直 线

4( 7 1)abx 4ay + b 2 + a 2 6958a = 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求 a, b 之

值。 解: (1)由 4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 4abx 2ay + b 2 = 0 可得 ( x
b 2 1 1 ) + ( y )2 = ( )2 , 2a 4a 4a

由 a, b ∈ N,以及两圆在 x 轴同侧,可知动圆圆心在 x 轴上方,设动圆圆心坐标为
( x, y ) , 则 有

(x

b 2 1 1 ) + ( y )2 = y + , 整理得到动圆圆心轨迹方程 2a 4a 4a
(x ≠ b ) 。………(5 分) 2a

b2 y = ax bx + 4a
2

b 1 1 , ) 为焦点, y = 为准线,且 2a 4 a 4a b b 1 顶点在 ( ,0) 点(不包含该点)的抛物线,得轨迹方程 ( x ) 2 = y ,即 2a 2a a

另解: 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 (

y = ax 2 bx +

b2 b (x ≠ ) 5 分 4a 2a



2













b2 b y = ax bx + (x ≠ ) 4a 2a
2

① 去
y

和 得

4( 7 1)abx 4ay +

b2 + a2

6958a = 0





4a 2 x 2 4 7 abx (a 2 6958a ) = 0 ,由 = 16 × 7 a 2 b 2 + 16a 2 (a 2 6958a ) = 0, 整
欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 10

高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家
理得 7b 2 + a 2 = 6958a
2

③。从③可知 7 a 2 7 a 。 故令 a = 7a1 ,代入③可

得 b 2 + 7 a1 = 6958a1 7 b 2 7 b . 再 令 b = 7b1 , 代 入 上 式 得
7b1 + a1 = 994a1 …(10 分)
2 2

同理可得, a1 ,7 b1 。 7 可令 a = 49n, b = 49m, 代入③可得 对④进行配方,得

7 m 2 + n 2 = 142n



(n 71) 2 + 7 m 2 = 712 , 对此式进行奇偶分析,可知 m, n 均为

偶数, 所以 7 m 2 = 712 (n 71) 2 为 8 的倍数, 所以 4 m 。 m = 4r , 112r 2 ≤ 712 令 则
r 2 ≤ 45 。

所以

r = 0,1, 3, 5, 2,4,6

…………………………………(15 分)

仅当 r = 0,4 时, 712 112r 2 为完全平方数。于是解得
a = 6958, b = 0(不合,舍去)
14. (06 江苏)椭圆

a = 6272 b = 784

a = 686 。 …………………(20 分) b = 784

x2 y 2 + = 1 的右焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列 9 4 在椭圆上的点,其中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这 24 2 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S 的值. 180
解:椭圆中, a = 3 , b = 2 ,故 c =

5 .所以 F

(

5, 0 , e =

)

5 . 3

设 FP 与 x 轴正向的夹角为 i , d i 为点 Pi 到右准线的距离.则 i

d i ( e cos i + 1) = 1 d i +12 =

a2 1 c c .即 = 2 ( e cos i + 1) . c di b

同理

c c e cos i +12 + 1) = 2 ( cos i + 1) . 2 ( b b

所以

1 1 2c 5 + = 2 = . d i d i +12 b 2

从而

∑d
i =1

24

1
i

= 6 5 ,于是 S 2 = 180 .

欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 11


相关文章:
高中数学竞赛专题讲座之解析几何
高中数学竞赛专题讲座解析几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷 高中数学竞赛专题讲座解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆 C: x2 y2...
高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
高中数学竞赛专题讲座(解析几何)_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座...两个定点之间的 距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c)...
高中数学竞赛专题讲座之五:解析几何_2_
高中数学竞赛专题讲座之五: 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题 1. (04 湖南)已知曲线 C : y ? 值范围是(C) A. (? 2 ? 1, 2 ) B. (?2, ...
高中数学竞赛专题讲座——解析几何(二)
高中数学竞赛专题讲座——解析几何(二)。高考备考精品 高考总复习 数学总复习 最新下载《解析几何》 各类竞赛试题选讲 解析几何》一,选择题 1, (04 湖南)已知曲...
高中数学竞赛专题讲座——解析几何(二)
高中数学竞赛专题讲座——解析几何(二)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数学竞赛专题练习高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家《解析几何》 各类竞赛试题...
高中数学竞赛专题讲座之五:解析几何(2)
高中数学竞赛专题讲座之五:解析几何(2) 竞赛 竞赛竞赛 竞赛隐藏>> 高考资源网——提供高考试题、高考模拟题,发布高考信息题本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请...
高中数学竞赛专题讲座之 解析几何
苏科全科网[http://Www.Skqkw.Cn]--免费提供 课件| 教案| 试卷| 高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆 C: 解析几何 x2 y2 + =...
高中数学竞赛专题讲座之解析几何
高中数学竞赛专题讲座解析几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷 高中数学竞赛专题讲座解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆 C: x2 y2...
高中数学竞赛专题讲座——解析几何
高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆 C: 解析几何 x2 y2 + = 1 上任一点 P,作椭圆...
高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何
同系列文档 高中数学竞赛专题讲座之二... 高中数学竞赛专题讲座之三......解析几何方面知识与习题解析几何方面知识与习题隐藏>> 高考资源网——提供高考试题...
更多相关标签: