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一元一次方程应用题归类汇集


一元一次方程应用题归类汇集: (一)行程问题: 行程问题是指有关匀速运动的应用题.这类问题可分为: ①基本行程问题; ②相遇问题; ③追及问题; ④航行问题; ⑤环行问题等等。 但无论怎样变化,都离不开匀速运动 基本关系式: ,以及由此推导出来的: , . 现将这几类应用题的解法,通过举例介绍如下: 一 基本行程问题.基本行程问题的特点是:同一人(或物体)在去时与回时的运动过程中, 改变了路程、速度或时间;也可以是两人(或两物 体)在同一路程行进中,由于速度不同而 导致到达的时间不同.解这类问题时,要抓住总路程或总时间不变,直接运用路程、速度 与时间三者之间的关系式. 二、相遇问题.相遇问题的特点是:两个运动着的人(或物体)从两地沿同一路线相向而行, 最终相遇.解这类问题时,要抓住甲、乙同时出发至相遇时的基本等量关系:(1)甲行的路 程+乙行的路程=两地间的路程,即:甲与乙的速度和× 相遇时间=两地间的路程;(2)同时出 发到相遇甲与乙所用的时间相等. 三、追及问题.追及问题的特点是:两人(或两物体)同时沿同一路线,同一方向运动,慢 者在前,快者在后,快者追赶慢者.解这类问题要抓住基本等量关系:(1)快者行的路程慢者行的路程=两者间的距离,即:两者的速度差× 追及时间=两者间的距离;(2)从开始追 赶到追及时,快者与慢者所用的时间相等. 四、航行问题.航行问题是一种特殊的行程问题,它的特殊性在于要考虑水速对船速的影 响,其基本等量关系是:(1)船顺流速度=船的速度+ 水流速度;(2)船逆流速度=船的速度水流速度. 五、环行问题.环行问题即封闭路线上的行程问题.如果同时从同一地点出发,到第一次 相遇,有两种情况:同向环行类似追及问题,其基本等量关系是:快者走的路程-慢者走的 路程=环形周长;反向环行类似相遇问题,其基本等量关系是:快者走的路程+慢者走的路 程=环形周长. 数学运算之行程问题专题 行程问题的“三原色”路程、速度、时间。问题千变万化,归根结底就是这三者之间 的变化。行测问题细分来看有四大类:一是相遇问题;二是追及问题;三是流水问题;四 是相关问题。 1、相遇问题:相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路, 行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量--------路程、速度、时间。相遇问题的核心 就是速度和。 路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以表示成: 路程= 速度×时间,还可以变形成下两个关系式:速度= 路程÷时间, 时间= 路程÷速度.

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一般的相遇问题: 甲从 A 地到 B 地,乙从 B 地到 A 地,然后两人在 A 地到 B 地之的某处相遇, 实质上是甲,乙两人一起了 AB 这段路程,如果两人同时出发,那有: (1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程 (2) 全程= (甲的速度+乙的速度) ×相遇时间= 速度和×相遇时间 一. 相遇问题一、 相遇问题的基本题型 1、同时出发(两段) 2、不同时出发 (三段 ) 相问题的等量关系 S 甲+S 乙=S 总(全程) S 先+S 甲+S 乙=S 总(全程) 例 1. 电气机车和磁悬浮列车从相距 298 千米的两地同时出发相对而行,磁悬浮列车的 速度比电气机车的 5 倍还快 20 千米/时,半小时后两车相遇,两车的速度各是多少? 分析:本题有以下相等关系: (1) s电气机车 ? s 磁悬浮列车 ? s全程 ? 298 千米(作方程) (2) t电气机车 ? t 磁悬浮列车 ? 0.5 小时(已知量) (3) v磁悬浮列车 ? 5v电气机车 ? 20 (作题设) 解:设电气机车速度为 x 千米/时,则磁悬浮列车速度为 (5x ? 20) 千米/时,依题意得:
0.5x ? 0.5(5x ? 20) ? 298

解得 x ? 96
5x ? 20 ? 5 ? 96 ? 20 ? 500 答:电气机车的速度为 96 千米/时,磁悬浮列车的速度为 500 千

米/例 1:甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行。如果两人都按原定速度行进, 那么 4 小时相遇;现在两人都比原计划每小时少走 1 千米,那么 5 小时相遇。A、B 两地相 距多少千米? 【分析】可以想象,如果甲、乙两人以现在的速度(比原计划每小时少走 1 千米)仍 然走 4 小时,那么他们不能相遇,而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢?就是两人 4 小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走,他们 5 小时相遇,换句话说,再行 1 小时,他们恰好共同行完这段相隔的路。这样,就能求出他们现在的速度和了。 【解】1×4×2÷(5-4)×5=40(千米)
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这道题属于相遇问题,它的基本关系式是:速度和×时间=(相隔的)路程。但只有符 合“同时出发,相向而行,经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。但在 实际问题中、 两人可能在不同的时间出发,或因题目的其他条件使一般的相遇问题变得非常 复杂,要小心审题,耐心推敲. 对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题,在分析其 中某两个的运动情况的同时,还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置,他与前两者 有什么关系。分析复杂的行程问题时,最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论,对 分析、解答复杂的行程问题是有好处的。 例 2:上午 9 时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动,小宇骑自行车,每分钟行 300 米; 弟弟步行、每分钟行 70 米.小宇到达学校后,呆了 30 分钟后立即返回家中、途中遇到正前 往学校的弟弟时是 10 时 10 分.你知道从家到学校有多远吗? 虽然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中 隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去,直到两人相遇.我们 可以用图示法将二人的行走路线表示出来,以便於理解.从图中可以看出两人共同走的路程 是从家到学校路程的 2 倍.那只需求出两人共走了多少路程,则从家到学校这段路程可求. 两人共走的路程,即小宇骑自行车的速度×所走的时间加上弟弟的步行速度×所走的时间 解 2 从 9 点到 10 点 10 分,共有 70 分钟,因为小宇呆了 30 分钟所以小宇走了分钟,弟弟一直 没停,则弟弟走了 70 分钟. 答:从家到学校距离 8450 米. 例 3 有甲,乙两列火车,甲车长 96 米,每秒钟行驶 26 米,乙车长 104 米,每秒钟行驶 24 米, 两车相向而行、 从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、 需要多少秒钟?假设乙列车停止不 动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长 200 米.而实际上乙列车没有停,它的速度是 24 米秒,也就相当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为 0.相当於甲车速度为 50 米秒,那从相遇到离开的时间=列车长度和/速度和. 例 4:田田坐在行驶的列车上,发现从迎面开来的货车用了 6 秒钟才通过他窗口,后来田田乘 坐的这列火车通过一座 234 米长的隧道用了 13 秒.已知货车车长 180 米,求货车的速度? 田田坐在列车上,货车用 6 秒通过他的窗口,这是一个相遇问题,是田田与货车相遇,因 此与列车车长无关.假设田田不动,则货车行驶了一个货车车长,用时 6 秒.由速度和=全程/ 相遇时间,可求田田与货车的速度和,田田的速度即列车的速度.那只需利用下一个过隧道 的条件求出列车的速度,此问题可解

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例 5(用比例关系)学校田径场的环形跑道周长为 400 米,甲、乙两人同时从跑道上的 A 点出发背向跑步, 两人第一次相遇后, 继续往前跑, 甲在跑 26 又 2/3 秒第一次回到 A 点, 乙再跑 1 分钟也第一次回到 A 点,求甲乙两人的速度。 设甲乙二人相遇的时间是 X 由题意得知,乙开始 X 秒所行的距离甲行了:26 又 2/3 秒 那么甲乙的速度比是:X:80/3=3X:80 甲开始 X 秒所行的距离乙行了 60 秒, 即甲乙的速度比也是:60:X 所以有:3X:80=60:X X=40 秒 那么甲乙的速度比是:60:40=3:2 又甲乙的速度和是:400/40=10 米/秒 所以甲的速度是:10*3/[3+2]=6 米/秒,乙的速度是:10*2/5=4 米/秒。 2:追及问题:两个速度不同的人或车,慢的先行(领先)一段,然后快的去追,经过一段 时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时,快的与慢的从同一地点同时出 发,同向而行,经过一段时间快的领先一段路程,我们也把它看作追及问题,因为这两种 情况都满足速度差× 时间=追及(或领先的)路程。追及问题的核心就是速度差。 二. 追及问题追及问题的基本题型 不同地点同时出发 同一地点不同时出发 追及问题的等量关系 1、追及时快者行驶的路程-慢者行驶的路程=相距的 路程 2、追及时快者行驶的路程=慢者行驶的路程或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间追击问题的等量关系: 1)同时不同地 : 慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离 2)同地不同时: 甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间

: 两地相距 28 公里, 1、 小明以 15 公里/小时的速度。 小亮以 30 公里/小时的速度, 分别骑自行车和开汽车从同一地 前往另一地,小明先出发 1 小时,小亮几小时后才能 追上小明?
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解:设小亮开车 x 小时后才能追上小明,则小亮所行路 程为 30x 公里,小明所行路程为 15(x+1) 依题意得:30x=15(x+1) x=1 则小明共走了 2 小时,共走了 2×15=30 公里 例 2. 跑得快的马每天走 240 里,跑得慢的马每天走 150 里,慢马先走 12 天,快马几天 可以追上慢马? 分析:从同一地方出发,追上的话二者所行路程相等,有以下相等关系:
s 快马 ? s 慢马

(作方程) (已知量)

v快马 ? 240里 / 天, v慢马 ? 150里 / 天

t 快马 ? 12 ? t 慢马

(作题设)

解:设快马 x 天可以追上慢马,依题意得
240 ? 150( x ? 12)

解得 x ? 20 答:快马 20 天可以追上慢马。 例 1:甲、乙两人联系跑步,若让乙先跑 12 米,则甲经 6 秒追上乙,若乙比甲先跑 2 秒,则甲要 5 秒追上乙,如果乙先跑 9 秒,甲再追乙,那么 10 秒后,两人相距多少米? A.15 B.20 C.25 D.30

【答案】C。解析:甲乙的速度差为 12÷ 6=2 米/秒,则乙的速度为 2× 2=5 米/秒,如果乙 5÷ 先跑 9 秒,甲再追乙,那么 10 秒后,两人相距 5× 9-2× 10=25 米。 例 2 小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过 船头时,水壶与船已经相距 2 千米,假定小船的速度是每小时 4 千米,水流速度是每小时 2 千米,那么他们追上水壶需要多少时间? 分析 此题是水中追及问题, 已知路程差是 2 千米, 船在 顺水中的速度是船速+水速. 水 壶飘流的速度只等于水速。 解:路程差÷ 船速=追及时间 2÷ 4=0.5(小时) . 答:他们二人追回水壶需用 0.5 小时。 四. 环形跑道问题注:同时同向出发:
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快车走的路程-环行跑道周长=慢车走的路程(第一次相遇) 同时反向出发: 甲走的路程+乙走的路程=环行周长(第一次相遇)

对于一个环形跑道问题的思考 .一个周长为 400 米的正方形 ABCD 跑道,甲在 B 点, 乙在 A 点, 甲的速度是每秒 25 米, 乙的速度是是每秒 5 米,问多长时间后甲乙第一次相遇? 分析:因为是环形跑道,所以方向为逆时针,还是顺时针,不知道,所以需要分类讨 论.(对于不确定的事情,又合理的问题需要分类讨论) 逆时针时:可以转化为一般形成问题中的相遇问题。 把 BC、CD、AD 拉直,问题转化为一般的行程问题: 转化为甲乙相向而行的相遇过程,其中相距的路程是 300 米. 等量关系:甲的路程+乙的路程=相距路 顺时针时: 分析:因为甲的速度快,乙的速度慢,乙是追不上甲的,要想相遇,必须是甲追上乙, 转化行程问题的追及问题: 依上图,问题可以转化为:甲在 A 点,乙在 B 点,同时向右跑的追及问题,开始甲乙 相距 300 米. 等量关系:甲的路程-乙行的路程=相距路程 转化为一般的行程问题后,问题可以迎刃而解。 这里体现了一个数学思想---转化思想, 把未知的知识转化为已知的知识, 把复杂的问 题,转化为简单的问题,是获得新知的一个很重要的手段。

例 4. 运动场的跑道一圈长 400m,甲练习骑自行车,平均每分骑 350m,乙练习跑步平 均每分跑 250m,两人从同一处同时同向出发,经过多长时间两人首次相遇? 分析:在环形跑道上两人同时同地同向出发,当两人第 1 次相遇时,快者比慢者刚好多
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跑一圈,故本题有如下相等关系: (1) s甲 ? s乙 ? 400 (作方程) (已知量)

(2) v甲 ? 350m / min,v乙 ? 250m / min (3) t甲 ? t乙 (作题设)

解:设 x 分钟后两人首次相遇,依题意得;
350x ? 250x ? 400

解得 x ? 4 答:4 分钟两人首次相遇。 火车过桥问题 1.某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒,通过 210 米的铁桥用 23 秒,该列车与另一列长 3 20 米,速度为每小时行 64.8 千米的火车错车时需要()秒。 2.一列火车长 160m,匀速行驶,首先用 26s 的时间通过甲隧道(即从车头进入口到车 尾离开口为止), 行驶了 100km 后又用 16s 的时间通过乙隧道, 到达了某车站, 总行程 100. 352km。求甲、乙隧道的长? 3.甲、乙两人分别沿铁轨反向而行,此时,一列火车匀速地向甲迎面驶来,列车在 甲身旁开过,用了 15 秒,然后在乙身旁开过,用了 17 秒,已知两人的步行速度都是 3.6 千米/小时,这列火车有多长? --------------------------------------------------------------------行程问题之火车过桥训练题答案 1、解:火车过桥问题 公式:(车长+桥长)/火车车速=火车过桥时间 速度为每小时行 64.8 千米的火车,每秒的速度为 18 米/秒, 某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒,通过 210 米的铁桥用 23 秒,则 该火车车速为:( 250-210)/(25-23)=20 米/秒 路程差除以时间差等于火车车速. 该火车车长为:20*25-250=250(米)
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或 20*23-210=250(米) 所以该列车与另一列长 320 米, 速度为每小时行 64.8 千米的火车错车时需要的时间为 (320+250)/(18+20)=15(秒) 2、解:设甲隧道的长度为 x m 那么乙隧道的长度是(100.352-100)(单位是千米!)*1000-x=(352-x) 那么 (x+160)/26=(352-x+160)/16 解出 x=256 那么乙隧道的长度是 352-256=96 火车过桥问题的基本公式 (火车的长度+桥的长度)/时间=速度 3、解:从题意得知,甲与火车是一个相遇问题,两者行驶路程的和是火车的长.乙与火车 是一个追及问题,两者行驶路程的差是火车的长,因此,先设这列火车的速度为 χ 米/秒, 两人的步行速度 3.6 千米/小时=1 米/秒,所以根据甲与火车相遇计算火车的长为(15χ +1 ×15)米, 根据乙与火车追及计算火车的长为(17χ -1×17)米, 两种运算结果火车的长不变, 列得方程为 15χ +1×15=17χ -1×17 解得:χ =16 故火车的长为 17×16-1×17=255 米 一、填空题 1.一列火车长 200 米,它以每秒 10 米的速度穿过 200 米长的隧道,从车头进入隧道到车 尾离开隧道共需要_______时间.
车长 200 米 隧道长 200 米

2.某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是 15 秒,客车 长 105 米,每小时速度为 28.8 千米,求步行人每小时行______千米?
车 15 秒钟行的距离

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人 15 秒钟走的距离

3.一人以每分钟 60 米的速度沿铁路步行,一列长 144 米的客车对面开来,从他身边通过 用了 8 秒钟,列车的速度是______米/秒.
车 8 秒钟行的距离

4.马路上有一辆车身为 15 米的公共汽车,由东向西行驶,车速为每小时 18 千米,马路一 旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑,甲由东向西跑,乙由西向东跑.某一时刻,汽 人 8 秒钟走的距离 车追上甲,6 秒钟后汽车离开了甲;半分钟之后汽车遇到迎面跑来的乙;又过了 2 秒钟,汽车 离开了乙.问再过_____秒后,甲、乙两人相遇. 5.一列火车长 700 米,以每分钟 400 米的速度通过一座长 900 米的大桥.从车头上桥到 车尾离要_____分钟. 6.一支队伍 1200 米长,以每分钟 80 米的速度行进.队伍前面的联络员用 6 分钟的时间 跑到队伍末尾传达命令.问联络员每分钟行_____米. 7.一列火车通过 530 米的桥需 40 秒钟,以同样的速度穿过 380 米的山洞需 30 秒钟.求 这列火车的速度是______米/秒,全长是_____米. 8.已知车长 182 米,每秒行 20 米,慢车长 1034 米,每秒行 18 米.两车同向而行,当快车 车尾接慢车车头时,称快车穿过慢车,则快车穿过慢车的时间是_____秒. 9.一座铁路桥全长 1200 米,一列火车开过大桥需花费 75 秒;火车开过路旁电杆,只要花 费 15 秒,那么火车全长是_______米. 10.铁路沿线的电杆间隔是 40 米,某旅客在运行的火车中,从看到第一根电线杆到看到 第 51 根电线杆正好是 2 分钟,火车每小时行______千米. 二、解答题 1.一个人站在铁道旁,听见行近来的火车鸣汽笛声后,再过 57 秒钟火车经过他面前.已知 火车汽笛时离他 1360 米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟 340 米,求火车的速度?(得数保 留整数) 2.某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是 15 秒钟, 客车长 105 米,每小时速度为 28.8 千米.求步行人每小时行多少千米? 3.一人以每分钟 60 米的速度沿铁路边步行, 一列长 144 米的客车对面而来, 从他身边 通过用了 8 秒钟,求列车的速度. 4.一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两 列火车同时从 A,E 两站相对开出,从 A 站开出的每小时行 60 千米,从 E 站开出的每小时行 50 千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车 站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这 一站的那一列火车至少需要停车多少分钟? 1. 火车拉汽笛时离这个人 1360 米.因为声速每秒种 340 米,所以这个人听见汽笛声时,经过 了(1360÷340=)4 秒.可见火车行 1360 米用了(57+4=)61 秒,将距离除以时间可求出火车的 速度. 1360÷(57+1360÷340)=1360÷61≈22(米) 2. 火车=28.8×1000÷3600=8(米/秒) 人步行 15 秒的距离=车行 15 秒的距离-车身长. (8×15-105)÷15=1(米/秒) 1×60×60=3600(米/小时)=3.6(千米/小时)
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答:人步行每小时 3.6 千米. 3. 人 8 秒走的距离=车身长-车 8 秒走的距离 (144-60÷60×8)÷8=17(米/秒) 答:列车速度是每秒 17 米. 4. 两列火车同时从 A,E 两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道 应在哪一个车站停车等待时间最短. 从图中可知,AE 的距离是:225+25+15+230=495(千米) 两车相遇所用的时间是:495÷(60+50)=4.5(小时) 相遇处距 A 站的距离是:60×4.5=270(千米) 而 A,D 两站的距离为:225+25+15=265(千米) 由于 270 千米>265 千米,因此从 A 站开出的火车应安排在 D 站相遇,才能使停车等待 的时间最短. 因为相遇处离 D 站距离为 270-265=5(千米),那么,先到达 D 站的火车至少需要等待: (小时) 小时=11 分钟 此题还有别的解法,同学们自己去想一想. 一、填空题 1. 火车过隧道,就是从车头进隧道到车尾离开隧道止.如图所示,火车通过隧道时所行的 总距离为:隧道长+车长. (200+200)÷10=40(秒) 答:从车头进入隧道到车尾离开共需 40 秒. 2. 根据题意,火车和人在同向前进,这是一个火车追人的“追及问题”. 由图示可知: 人步行 15 秒钟走的距离=车 15 秒钟走的距离-车身长. 所以,步行人速度×15=28.8×1000÷(60×60)×15-105 步行人速度=[28.8×1000÷ (60×60)-105]÷5=1(米/秒) =3.6(千米/小时) 答:步行人每小时行 3.6 千米. 3. 客车与人是相向行程问题,可以把人看作是有速度而无长度的火车,利用火车相遇问题: 两车身长÷两车速之和=时间,可知, 两车速之和=两车身长÷时间 =(144+0)÷8 =18. 人的速度=60 米/分 =1 米/秒. 车的速度=18-1 =17(米/秒). 答:客车速度是每秒 17 米. 4. (1)先把车速换算成每秒钟行多少米? 18×1000÷3600=5(米). (2)求甲的速度.汽车与甲同向而行,是追及问题.甲行 6 秒钟的距离=车行 6 秒钟的距离 -车身长. 所以,甲速×6=5×6-15, 甲速=(5×6-15)÷6=2.5(米/每秒). (3)求乙的速度.汽车与乙相向而行,是相向行程问题.乙行 2 秒的距离=车身长-车行 2
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秒钟的距离. 乙速×2=15-5×2, 乙速=(15-5×2)÷2=2.5(米/每秒). (4)汽车从离开甲到离开乙之间的时间是多少? 0.5×60+2=32 秒. (5)汽车离开乙时,甲、乙两人之间的距离是多少? (5-2.5)×(0.5×60+2)=80(米). (6)甲、乙两人相遇时间是多少? 80÷(2.5+2.5)=16(秒). 答:再过 16 秒钟以后,甲、乙两人相遇. 5. 从车头上桥到车尾离桥要 4 分钟. 6. 队伍 6 分钟向前进 80×6=480 米,队伍长 1200 米,6 分钟前进了 480 米,所以联络员 6 分钟走的路程是: 1200-480=720(米) 720÷6=120(米/分) 答:联络员每分钟行 120 米. 7. 火车的速度是每秒 15 米,车长 70 米. 8. 1034÷(20-18)=517(秒) 9. 火车速度是:1200÷60=20(米/秒) 火车全长是:20×15=300(米) 10. 40×(51-1)÷2×60÷1000=60(千米/小时) 二、解答题 11. 火车拉汽笛时离这个人 1360 米.因为声速每秒种 340 米,所以这个人听见汽笛声时, 经过了(1360÷340=)4 秒.可见火车行 1360 米用了(57+4=)61 秒,将距离除以时间可求出火 车的速度. 1360÷(57+1360÷340)=1360÷61≈22(米) 12. 火车=28.8×1000÷3600=8(米/秒) 人步行 15 秒的距离=车行 15 秒的距离-车身长. (8×15-105)÷15=1(米/秒) 1×60×60=3600(米/小时)=3.6(千米/小时) 答:人步行每小时 3.6 千米. 13. 人 8 秒走的距离=车身长-车 8 秒走的距离 (144-60÷60×8)÷8=17(米/秒) 答:列车速度是每秒 17 米. 14. 两列火车同时从 A,E 两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知 道应在哪一个车站停车等待时间最短. 从图中可知,AE 的距离是:225+25+15+230=495(千米) 两车相遇所用的时间是:495÷(60+50)=4.5(小时) 相遇处距 A 站的距离是:60×4.5=270(千米) 而 A,D 两站的距离为:225+25+15=265(千米) 由于 270 千米>265 千米,因此从 A 站开出的火车应安排在 D 站相遇,才能使停车等待 的时间最短. 因为相遇处离 D 站距离为 270-265=5(千米),那么,先到达 D 站的火车至少需要等 11 待: 5 ? 60 ? 5 ? 50 ? (小时) 60
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11 小时=11 分钟 60 此题还有别的解法,同学们自己去想一想.

3、流水问题。 船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶逆,在这种情况下计 算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水行船问题。流水行船问题,是行程问题 中的一种,因此行程问题中三个量(速度、时间、路程)的关系在这里将要反复用到.此外, 流水行船问题还有以下两个基本公式: 顺水速度=船速+水速, (1) 逆水速度=船速-水速.(2) 这里,船速是指船本身的速度,也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速,是指水在 单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时 间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系,由公式(l)可以得到: 水速=顺水速度-船速, 船速=顺水速度-水速。 由公式(2)可以得到: 水速=船速-逆水速度, 船速=逆水速度+水速。 这就是说,只要知道了船在静水中的速度,船的实际速度和水速这三个量中的任意两个, 就可以求出第三个量。 另外,已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式(1)和公式(2) ,相加和相减就可以得到: 船速=(顺水速度+逆水速度)÷ 2, 水速=(顺水速度-逆水速度)÷ 2。 三. 水(空)中航行问题顺水逆水的问题的等量关系: 1)顺水的路程 = 逆水的路程 2)顺速 – 逆速 = 2 水速;顺速 + 逆速 = 2 船速

例 3. 一艘轮船从甲地逆水航行到乙地,然后顺水航行返回甲地。已知水流速度是 2 千 米/时,回来时所需的时间是去时的时间的 4/5,求轮船在静水中的速度。 分析:把甲乙两地距离看作 1 有以下相等关系:
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(1) s 顺水 ? s 逆水

(已知量) (作题设)

(2) v 顺水 ? v 静 ? v 水 , v 逆水 ? v 静 ? v 水 (3) t 顺水 ? t 逆水
4 3

(作方程)

解:设船在静水中速度为 x 千米/时,则在顺水中的速度为 ( x ? 2) 千米/时,在逆水中的 速度为 ( x ? 2) 千米/时。 依题意得
1 4 1 , ? ? x?2 5 x?2

解得 x ? 18 。 经检验 x ? 18 是原方程的解。 答:轮船在静水中的速度为 18 千米/时。 例 1 甲、乙两港间的水路长 208 千米,一只船从甲港开往乙港,顺水 8 小时到达,从 乙港返回甲港,逆水 13 小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。 分析 根据题意, 要想求出船速和水速, 需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和 逆水速度,而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系,用路程分别除以顺水、 逆水所行时间求出。 解: 顺水速度:208÷ 8=26(千米/小时) 逆水速度:208÷ 13=16(千米/小时) 船速: (26+16)÷ 2=21(千米/小时) 水速: (26—16)÷ 2=5(千米/小时) 答:船在静水中的速度为每小时 21 千米,水流速度每小时 5 千米。 例 2 某船在静水中的速度是每小时 15 千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了 8 小时,水速每小时 3 千米,问从乙地返回甲地需要多少时间? 分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间, 只要分别求出甲、 乙两地之间的路程和逆 水速度。 解: 从甲地到乙地,顺水速度:15+3=18(千米/小时) , 甲乙两地路程:18× 8=144(千米) ,
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从乙地到甲地的逆水速度:15—3=12(千米/小时) , 返回时逆行用的时间:144÷ 12=12(小时) 。 答:从乙地返回甲地需要 12 小时。 例 3 甲、乙两港相距 360 千米,一轮船往返两港需 35 小时,逆流航行比顺流航行多 花了 5 小时.现在有一机帆船,静水中速度是每小时 12 千米,这机帆船往返两港要多少小 时? 分析 要求帆船往返两港的时间,就要先求出水速.由题意可以知道,轮船逆流航行与 顺流航行的时间和与时间差分别是 35 小时与 5 小时, 用和差问题解法可以求出逆流航行和 顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解 法求出水速。 解: 轮船逆流航行的时间: (35+5)÷ 2=20(小时) , 顺流航行的时间: (35—5)÷ 2=15(小时) , 轮船逆流速度:360÷ 20=18(千米/小时) , 顺流速度:360÷ 15=24(千米/小时) , 水速: (24—18)÷ 2=3(千米/小时) , 帆船的顺流速度:12+3=15(千米/小时) , 帆船的逆水速度:12—3=9(千米/小时) , 帆船往返两港所用时间: 360÷ 15+360÷ 9=24+40=64(小时) 。

例 4 某船第一次顺流航行 21 千米又逆流航行 4 千米,第二天在同一河道中顺流航行 12 千米,逆流航行 7 千米,结果两次所用的时间相等,假设船本身速度及水流速度保持不 变,则顺水船速与逆水船速之比是: A.2.5:1 题) 解析 1:典型流水问题。如果设逆水速度为 V,设顺水速度是逆水速度的 K 倍, 则可列如下方程: 21/KV+4 =12/KV+7 将 V 约掉,解得 K=3 解析 2,推荐。注意一个关系量,两次时间相等,也就是说,第二天虽然顺流少行了 9km
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B.3:1

C.3.5:1

D.4:1

(2005 年中央真

而节约的时间与逆流多行的 3km 所花的时间抵消了。两者时间相等。时间一定,速度比等 于路程比,故顺逆比为 21-12/7-4=3:1 :追及问题:两个速度不同的人或车,慢的先行(领先)一段,然后快的去追,经过一段时 间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时,快的与慢的从同一地点同时出发, 同向而行,经过一段时间快的领先一段路程,我们也把它看作追及问题,因为这两种情况 都满足速度差×时间=追及(或领先的)路程。追及问题的核心就是速度差。 例 1:甲、乙两人联系跑步,若让乙先跑 12 米,则甲经 6 秒追上乙,若乙比甲先跑 2 秒, 则甲要 5 秒追上乙,如果乙先跑 9 秒,甲再追乙,那么 10 秒后,两人相距多少米? A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】C 。解析:甲乙的速度差为 12÷6=2 米/秒,则乙的速度为 2×5÷2=5 米/秒,如果乙先跑 9 秒,甲再追乙,那么 10 秒后,两人相距 5×9-2×10=25 米。 例 2 小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头 时,水壶与船已经相距 2 千米,假定小船的速度是每小时 4 千米,水流速度是每小时 2 千 米,那么他们追上水壶需要多少时间? 分析此题是水中追及问题,已知路程差是 2 千米,船在顺水中的速度是船速+水速.水壶 飘流的速度只等于水速。 解:路程差÷船速=追及时间 2÷4=0.5(小时) . 答:他们二人追回水壶需用 0.5 小时。 3、流水问题。船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶逆, 在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水行船问题。 流水行船问题,是行程问题中的一种,因此行程问题中三个量(速度、时间、路程)的关 系在这里将要反复用到.此外,流水行船问题还有以下两个基本公式: 顺水速度=船速+水速, (1) 逆水速度=船速-水速.( 2)这里,船速是指船本身的速度,也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速,是指 水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单 位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系, 由公式 (l) 可以得到: 水速=顺水速度-船速, 船 速=顺水速度-水速。 由公式(2)可以得到: 水速=船速-逆水速度, 船速=逆水速度+水速。这就 是说,只要知道了船在静水中的速度,船的实际速度和水速这三个量中的任意两个,就可 以求出第三个量。 另外,已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式(1)和公式(2) ,相加和相减就可以 得到: 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2, 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2。 例 1 甲、乙两港间的水路长 208 千米,一只船从甲港开往乙港,顺水 8 小时到达,从 乙港返回甲港,逆水 13 小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。 分析 根据题意,要想求出船速和水速,需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和 逆水速度,而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系,用路程分别除以顺水、 逆水所行时间求出。 解: 顺水速度:208÷8=26(千米/小时) 逆水速度:208÷13=16(千米/小时) 船速: (26+16)÷2=21(千米/小时) 水速: (26—16)÷2=5(千米/小时) 答:船在静水中的速度为每小时 21 千米, 水流速度每小时 5 千米。例 2 某船在静水中的速度是每小时 15 千米,它从上游甲地开 往下游乙地共花去了 8 小时,水速每小时 3 千米,问从乙地返回甲地需要多少时间?
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分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间,只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆 水速度。 解: 从甲地到乙地,顺水速度:15+3=18(千米/小时) , 甲乙两地路程:18×8=144(千米) , 从乙地到甲地的逆水速度:15—3=12(千米/小时) , 返回时逆行用的时间:144÷12=12(小时) 。 答:从乙地返回甲地需要 12 小时。 例 3 甲、乙两港相距 360 千米,一轮船往返两港需 35 小时,逆流航行比顺流航行多花 了 5 小时.现在有一机帆船, 静水中速度是每小时 12 千米, 这机帆船往返两港要多少小时? 分析 要求帆船往返两港的时间,就要先求出水速.由题意可以知道,轮船逆流航行与顺流 航行的时间和与时间差分别是 35 小时与 5 小时, 用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流 航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求 出水速。 解: 轮船逆流航行的时间: (35+5)÷2=20(小时) , 顺流航行的时间: (35—5)÷2=15(小时) , 轮船逆流速度:360÷20=18(千米/小时) , 顺流速度: 360÷15=24(千米/小时) , 水速: (24—18)÷2=3(千米/小时) , 帆船的顺流速 度:12+3=15(千米/小时) , 帆船的逆水速度:12—3=9(千米/小时) , 帆船往 返两港所用时间: 360÷15+360÷9=24+40=64(小时) 。 例 4 某船第一次顺流航行 21 千米又逆流航行 4 千米, 第二天在同一河道中顺流航行 12 千米,逆流航行 7 千米,结果两次所用的时间相等,假设船本身速度及水流速度保持不变, 则顺水船速与逆水船速之比是: A. 1 2.5: B. 1 C. 1 3: 3.5: D. 1 4: (2005 年中央真题) 解析 1:典型流水问题。如果设逆水速度为 V,设顺水速度是逆水速度的 K 倍,则可 列如下方程: 21/KV+4 =12/KV+7 将 V 约掉,解得 K=3 解析 2,推荐。注意一个 关系量,两次时间相等,也就是说,第二天虽然顺流少行了 9km 而节约的时间与逆流多行 的 3km 所花的时间抵消了。两者时间相等。时间一定,速度比等于路程比,故顺逆比为 21-12/7-4=3:1 1.从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用 3.6 小时,已知步行速度为每小时 8 千米,公 交车的速度为每小时 40 千米,设甲乙两地相距 x 千米,则列方程为________________。 2.甲、乙两人在相距 18 千米的两地同时出发,相向而行,1 小时 48 分相遇,如果甲比乙 早出发 40 分钟,那么在乙出发 1 小时 30 分时两人相遇,求甲、乙两人的速度。 3. 某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米,可比预定的时间早到 15 分钟;若每 小时行 9 千米,可比预定的时间晚到 15 分钟;求从家里到学校的路程有多少千米? 4.在 800 米跑道上有两人练中长路,甲每分钟跑 320 米,乙每分钟跑 280 米,?两人同时同 地同向起跑,t 分钟后第一次相遇,t 等于 分钟. 5.一列客车长 200 m,一列货车长 280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾 相离经过 16 秒,已知客车与货车的速度之比是 3∶2,问两车每秒各行驶多少米? 6.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时 3.6Km,骑自行车的人的速度是每小时 10.8Km。如果一列火车从他们背后开来,它通过行 人的时间是 22 秒,通过骑自行车人的时间是 26 秒。 (1)行人的速度为每秒多少米;(2)求这列火车的身长是多少米。 7.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了 1 小时后,爸爸发现带给外婆的礼 品忘在家里, 便立刻带上礼品以每小时 6 千米的速度去追, 如果我和妈妈每小时行 2 千米, 从家里到外婆家需要 1 小时 45 分钟,问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗? 行船问题:
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12. 一艘船在两个码头之间航行,水流速度是 3 千米每小时,顺水航行需要 2 小时,逆水 航行需要 3 小时,求两码头的之间的距离? 13.一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时 24 千米,顺风飞行需要 2 小时 50 分钟, 逆风飞行需要 3 小时,求两城市间距离。 (二)工程问题: 工程问题:一般情况下把工作总量看成单位 1,公式:工作时间×工作效率=工作总量(单 位 1) 1 1 如:一项工程甲队需 30 天完成任务,则甲每天完成工作量的 ,则工作效率为 ;如果 30 30 1 1 乙队需要 20 天完成任务,则甲每天完成工作量的 ,则工作效率为 ,两人一起可以 20 20 1 1 完成 ( ? ) ——工作效率之和 20 30 39、 某件文件需要打印,小李独立完成需要 6 个小时,小王独立完成需要 8 个小时,如果 两人合作的话,需要多少时间可以完成。设需要 x 小时两人合作可以完成,则可列方程: 40、一项工作甲工程队单独施工需要 30 天才能完成,乙队单独需要 20 天才能完成。现在 由甲队单独工作 5 天之后,剩下的工作再由两队合作完成,问他们需要合作多少天? 1.一项工程,甲单独做需要10天完成,乙单独做需要15天完成,两人合作4天后,剩下的部 分由乙单独做,需要几天完成? 2.某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需16天,乙队单独完成需12天。如先由甲队做4 天,然后两队合做,问再做几天后可完成工程的六分之五? 3.已知某水池有进水管与出水管一根,进水管工作15小时可以将空水池放满,出水管工作 24小时可以将满池的水放完; (1)如果单独打开进水管,每小时可以注入的水占水池的几分之几? (2)如果单独打开出水管,每小时可以放出的水占水池的几分之几? (3)如果将两管同时打开,每小时的效果如何?如何列式? (4)对于空的水池,如果进水管先打开2小时,再同时打开两管,问注满水池还需要多少 时间? 4.有一个水池,用两个水管注水。如果单开甲管,2小时30分注满水池,如果单开 乙管,5小时注满水池。 ① 如果甲、乙两管先同时注水20分钟,然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把 水池注满? ② 假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三 管同时开放,多少小时才能把一空池注满水? 1 1 1、一条铁路,甲队单独修 5 天完成总工程量的 ,乙队单独修 6 天完成总工程量的 。 8 10 两队合修,需要多少天完成? 4 2、甲、乙两个打字员合打一份稿件,完成时,甲打了这份稿件的 。甲单独打 8 小时完成 9 这份稿件,乙单独打几小时完成? 3、一项工程,甲队独做要 120 天完成,如果甲队先做 10 天,乙队再做 5 天,就可以完成
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这项工程的

5 ,乙队单独做这项工程需要多少天? 24
3 。甲队做一天后,乙队参 4

4、一项工程,甲队独做要 8 天完成,乙队独做所需时间是甲的

加一起做,还需要几天才能完成? 5、一项工程,如果甲队独做,可 6 天完成,甲队 3 天的工作,乙要 4 天完成,两队合做了 2 天后由乙队独做,乙队还需要多少天才能完成? 6、一项工程,甲队单独做需 30 天完成,乙队单独做需要 40 天完天,甲队先做若干天后, 由乙队接着做,共用 35 天完成了任务,甲、乙两队各做了几天? 7、加工一批零件,甲单独做要 6 天完成,乙单独做要 5 天完成,现在甲、乙、丙、丁四人 合做一天就完成了任务。已知丙、丁两人比甲、乙两人多做 48 个。这批零件一共有多 少个? 5 8、一项工程, 由甲、 乙两队合做需要 5 天完成,由乙、丙两队合做需要 6 天完成,由甲、 11 2 丙两队合做需要 6 天完成,现在由甲、乙、丙三队合做,需要几天完成? 3 9、修一条公路,甲队单独修 20 天可以修完,乙队单独修 30 天可以修完,现在两队合修, 中途甲休息 2.5 天,乙队休息若干天,这样一来 14 天才修完,乙队休息了几天? 10、 一项工程,甲队单独做要 20 天完成,乙队单独做要 12 天完成,已知这项工程先由 甲队做了若干天后,然后由乙队继续完成,从开始到完成共用了 14 天,那么甲队先做 了多少天?乙队又做了多少天? 11、 有一个水池,单开甲管 1 小时可以将水池的水注满,单开乙管 40 分钟可以将水池 2 1 的水注满,两管同时开 10 分钟后,共注水 4 吨,水池能装水多少吨? 5 3 12、 一件工作,甲独做 15 小时完成,乙独做 10 小时完成。现由两人合做若干小时后, 余下的由乙单独做还要 5 小时才能完成。两人合做了多少小时? 13、 一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两站相对开出,经过 6 小时相遇,相遇后两车各 自以原速度继续前进,客车又行了 4 小时才到达乙地,问:相遇后货车还要行多少小时 才能到达甲地? 1.一项工程,甲单独做需要 10 天完成,乙单独做需要 15 天完成,两人合作 4 天后,剩下 的部分由乙单独做,需要几天完成? 4.有一个水池,用两个水管注水。如果单开甲管,2 小时 30 分注满水池,如果单开 乙管,5 小时注满水池。 ① 如果甲、乙两管先同时注水 20 分钟,然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把 水池注满? ② 假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管 3 小时可以把一满池水放完。如果三 管同时开放,多少小时才能把一空池注满水? (三)和差倍分问题(生产、做工等各类问题): 1.整理一批图书,由一个人做要 40 小时完成。现计划由一部分人先做 4 小时,再增加 2 人和他们一起做 8 小时,完成这项工作。假设这些人的工作效率相同,具体先安排多少人 工作。 3.已知:我市出租车收费标准如下: 乘车里程不超过 2 公里的一律收费 2 元; 乘车里程超过 2 公里的,除了收费 2 元外超过部分按每公里 1.4 元计费. (1)如果有人乘出租车行驶了 x 公里 (x>2),那么他应付多少车费?(列代数式,不化简) (8 分)
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(2)某游客乘出租车从客运中心到三星堆,付了车费 10.4 元,试估算从客运中心到三星 堆大约有多少公里? 5.已知购买甲种物品比乙种物品贵 5 元, 某人用款 300 元买到甲种物品 10 件和乙种物品若 干件,这时,它每到甲、乙物品的总件数,比把这笔款全都购买甲种物品的件数多 5 件, 问甲、乙物品每件各是多少元? 9.今年某校积极组织捐款支援灾区,某班 55 名同学共捐款 500 元,捐款情况如下表: 捐款(元) 5 8 10 12 人数 6 ■ ■ 7 表中有两处看不清楚,请你帮助确定表中数据。 年龄问题: 12.甲比乙大 15 岁,5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是________. 13.小华的爸爸现在的年龄比小华大 25 岁,8 年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多 5 岁, 求小华现在的年龄 比值问题:技巧在于根据比值来设未知数 . 4. 比例分配问题: 这类问题的一般思路为:设其中一份为 x,利用已知的比,写出相应的代数式。 常用等量关系:各部分之和=总量。 例 4. 三个正整数的比为 1:2:4,它们的和是 84,那么这三个数中最大的数是几? 解:设一份为 x,则三个数分别为 x,2x,4x 分析:等量关系:三个数的和是 84 32、 如果两个课外兴趣小组共有人数 54 人,两个小数的人数之比是 4:5;如果设人 数少的一组有 4x 人, 那么人数多的一组有________人,可列方程为: ______________________ 33、 甲乙两人身上的钱数之比为 7:6,两人去商店买东西后,甲花去 50 元,乙花去 60 时, 此时他们身上的钱数之比为 3:2,则他们身上余下的钱数分别是多少? 设甲余钱 元,乙余钱 元 ,列方程为 1 比赛积分问题: 10.某企业对应聘人员进行英语考试,试题由 50 道选择题组成,评分标准规定:每道题的 答案选对得 3 分,不选得 0 分,选错倒扣 1 分。已知某人有 5 道题未作,得了 103 分,则 这个人选错了 道题。 11.某学校七年级 8 个班进行足球友谊赛,采用胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分的记分制。某班与其他 7 个队各赛 1 场后,以不败的战绩积 17 分,那么该班共胜了几场 比赛? 某校初一年级在学校团委的组织下, 围绕“八荣八耻”开展了一次知识竞赛活动, 竞赛 规则是:每班代表队都必须回答 27 道题,答对一题得 5 分,答错或不答倒扣 1 分,在比赛到第 18 题结束时,初一(12)班了 78 分,初一(12)班答对了多少道题? 某市举办中学生足球比赛,规定胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场不得分,市第 二中学足球队比赛 11 场,没有输过一场,共得 27 分,试问该队胜几场,平几场? (四)调配问题 甲车间与乙车间总人数为 150 人,将甲车间的 15 名工人调动到乙车间,两车间人数相等, 求两个车间人数各多少?
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甲车队有 50 辆汽车,乙车队有 41 辆汽车,如果要使乙车队数比甲车队车数的 2 倍还多 1 辆,应从甲车队调多少辆车到乙车队? 某服装厂加工车间有工人 54 人,每人每天可加工上衣 8 件或裤子 10 条,应怎样合理分配 人数,才能使每天生产的上衣和裤子配套? 5、某班级开展活动而分为甲乙两个小组,甲队 29 人,乙队 19 人: (1) 若从甲组调 x 名学生到乙组,使得两组人数相等,则可列方程: ; (2) 若 从 乙 组 调 y 名 学 生 到 甲 组 , 使 得 甲 组 人 数 是 乙 组 人 数 的 两 倍 , 则 可 列 方 程: 。 26、如果甲、乙两班共有 90 人,如果从甲班抽调 3 人到乙班,则甲乙两班的人数相等,则 甲班原有多少人? 解:设甲班原有 x 人,则乙班原有 人,由题意可得方程 27、某班级开展植树活动而分为甲乙两个小组,甲队 29 人,乙队 19 人,后来发现任务比 较重,人手不够,从另外一个班调来 12 个人分配给两个队,怎样分配才能使甲对人数是 乙队的 2 倍 28、温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台,温州厂可支援外地 10 台,杭州厂可 支援外地 4 台。现在决定给武汉 8 台,南昌 6 台。每台机器的运费如表 1。设杭州运往南 昌的机器为 x 台。 (1) 把表 2 填写完整(单位:百元) ; 起点到终点的运费情况 起点到终点机器分配情况 终点 起点 温州厂 杭州厂 南昌 4 百元/台 3 百元/台 武汉 8 百元/台 5 百元/台 终点 南昌(6 台) 武汉(8 台) 起点 温州厂(10 台) 杭州厂(4 台) X

表 1 表2 (2)若总运费为 8400 元,则杭州运往南昌的机器应为多少台? 29、学校分配学生住宿,如果每室住 8 人,还少 12 个床位,如果每室住 9 人,则空出两个 房间。求房间的个数和学生的人数。 30、学校春游,如果每辆汽车坐 45 人,则有 28 人没有上车;如果每辆坐 50 人,则空出一 辆汽车,并且有一辆车还可以坐 12 人,问共有多少学生,多少汽车? 31、小明看书若干日,若每日读书 32 页,尚余 31 页;若每日读 36 页,则最后一日需要读 39 页,才能 1.某厂一车间有 64 人,二车间有 56 人。现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人 数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间? 2.甲队人数是乙队人数的 2 倍, 从甲队调 12 人到乙队后, 甲队剩下来的人数是原乙队人数 的一半还多 15 人。求甲、乙两队原有人数各多少人? 3.甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调 100 人到甲车间,那么甲车间的人数是乙 车间剩余人数的 6 倍;如果从甲车间调 100 人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来 甲乙车间的人数。 (五)分配问题:
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思路:此类问题中,一般都存在两个等量关系,选择一个关系来设未知数,并表示出其他 量,再利用另一个关系来列方程(通常用可列表的方法)。 34、学校团委组织 65 名团员为学校建花坛搬砖,初一同学每人搬 6 块砖,其他年级同学每 人搬 8 块,总共搬了 400 块砖,问初一同学有 参加年级 初一学生 其他年级学生 多少人参加搬砖? 参加人数 x 分析: 设初一同学有 x 人参加搬砖, 列表如 每人搬砖 6 8 下 共搬砖 可 列 出 方 程 : _________________________________________ 35、如果买 1 本笔记本和 1 支钢笔刚好需要 6 元钱,买 1 本笔记本和 4 支钢笔,共需 18 元,那么两种笔的价格分别是多少? 36、某车间加工机轴和轴承,一个工人每天平均可加工 15 个机轴或 10 个轴承。该车间共 有 80 人,一根机轴和两个轴承配成一套,问应分配多少个工人加工机轴或轴承,才能使每 天生产的机轴和轴承正好配套。 37、某厂生产一批西装,每 2 米布可以裁上衣 3 件,或裁裤子 4 条,现有花呢 240 米,为 了使上衣和裤子配套,裁上衣和裤子应该各用花呢多少米? 38、某部队派出一支有 25 人组织的小分队参加防汛抗洪斗争,若每人每小时可装泥土 18 袋或每 2 人每小时可抬泥土 14 袋,如何安排好人力,才能使装泥和抬泥密切配合,而正好 清场干净。 4.学校分配学生住宿,如果每室住 8 人,还少 12 个床位,如果每室住 9 人,则空出两个房 间。求房间的个数和学生的人数。 5.学校春游,如果每辆汽车坐 45 人,则有 28 人没有上车;如果每辆坐 50 人,则空出一辆 汽车,并且有一辆车还可以坐 12 人,问共有多少学生,多少汽车? 6.小明看书若干日,若每日读书 32 页,尚余 31 页;若每日读 36 页,则最后一日需要读 39 页,才能读完,求书的页数。 配套问题: (六)例 3. 机械厂加工车间有 85 名工人,平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个,已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮, 才能使每天加工的大小齿轮刚好配套? 分析:列表法。 每人每天 人数 数量 大齿轮 16 个 x 人 16x 小齿轮 10 个 人 等量关系:小齿轮数量的 2 倍=大齿轮数量的 3 倍 解:设分别安排 x 名、 名工人加工大、小齿轮 某车间有工人 85 人, 平均每人每天可加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个,又知 2 个大 齿轮和 3 个小齿轮配套,问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套? 解:设加工大齿轮的有 x 人,加工小齿轮的有 85-x 人。才能使生产的产品刚好成套。 (3x 16)x = (85-x)10x2

48x=1700-20x
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68x=1700 x=25 加工小齿轮的有 85-25=60(人)

某车间有 22 人, 加工生产一种螺栓和螺母。 每人每天平均生产螺栓 120 个或螺母 200 个, 一个螺栓要配两个螺母,应该分配多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能每天 生产的产品刚好配套? 解:设应该分配 x 名工人生产螺栓,22-x 名工人生产螺母,才能每天生产的产品刚好配套. (2x120)x = (22-x)200

240x=4400-200x 440x=4400 x=10 生产螺母的人数:22-10=12(人) 某队有 55 人,每人每天平均挖土 2.5 方或运土 3 方,为合理安排劳力使挖出的土及时运 走,应如何分配挖土和运土的人数。 解:设有 x 人挖土,有 55-x 人运土才能使挖出的土及时运走。 2.5x=(55-x)3 2.5x=165-3x 5.5x=165 x=30 运土的人数:55-30=25(人) 某工程每天安排 120 个工人修建水库,平均每天每个工人能挖土 5 立方或运土 3 立方。 为了使挖出的土及时被运走,应如何安排挖土和运土的人数? 解:设有 x 人挖土,有 120-x 人运土才能使挖出的土及时运走。 5x=(120-x)3 5x=360-3x 8x=360 x=45
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答;有 45 人挖土,120-45=75 人运土。 一张方桌又一个桌面和四条腿组成。用 1 立方米木料可制作 50 个方桌桌面或制作 300 条 桌子腿,现有 5 立方米木料。若做成的桌腿和桌面恰好配套。能做成方桌多少张? 解:设 x 立方米做方桌面,5-x 立方米做桌子腿,正好配套。 (4x50)=300(5-x) 200x=1500-300x 500x=1500 x=3 能做成方桌:50x3=150(张) 某车间一共有 59 个工人,已知每个工人平均每天可以加工甲种零件 15 个,或乙种零件 12 个或丙种零件 8 个· 问如何安排每天的生产,才能使每天· 产品配套· 的· ?(3 个甲,2 个 乙,1 个丙为 1 套) 工厂有 86 个工人。如每人每天加工甲零件 15 个或乙零件 12 个。又或丙零件 9 个,而 3 个甲种部件,2 个乙种零件,1 个丙种零件正好配成一套,问怎样安排工人才使加工好的零 件配套?(20:56:11) 解:设零件总数为 x 个。 (3/15)x+(2/12)x+(1/9)x=86 1/5x+1/6x+1/9x=86 (43/90)x=86 x=180 甲种需要:180×3/15=36(人) 乙种需要:180×2/12=30 人) 丙种需要:180×1/9=20(人) 生产车间每天能生产甲种零件 450 个或乙种零件 300 个,已知 3 个甲种零件与 5 个乙种零 件刚好配套,现在在 21 天中使所生产的零件全部配套,那么应该如何安排生产?[【培优】 潇 潇(48910649)发布]

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解:设 x 天生产甲种零件,21-x 天生产乙种零件使所生产的零件全部配套。 (5x450)x=3x300(21-x) 2250x=18900-900x x=6 6 天生产甲种零件,21-6=15 天生产乙种零件,使所生产的零件全部配套。 蓝天木器加工厂有 56 个工人。每个工人平均每天能加工 10 张课桌或 15 张方凳。为了供 应市场,必须 1 长课桌与 2 张方凳配成一套发货。怎样安排加工课桌和方凳的人数,才不 会造成浪费,又能尽量满足供货? 解:设有 x 人生产课桌,56-x 人生产方凳。才不会造成浪费,又能尽量满足供货。 2x10x =15(56-x) 20x=840-15x 35x=840 x=24 有 24 人生产课桌,56-24=32 人生产方凳。才不会造成浪费, 又能尽量满足供货。 用铝片做听装饮料瓶。每张铝片可制 16 个瓶身或制 43 个瓶底,一个瓶身与两个瓶底配成 一套。现有 150 张铝片,用多少张制瓶身,多少张制瓶底,才能正好制成整套的饮料瓶? 解:设用 x 张铝片制瓶身,150-x 张铝片制瓶底,才能正好制成整套的饮料瓶。 2x16x=(150-x)43 32x=6450-43x 75x=6450 x=86 用 86 张铝片制瓶身,150-86=64 张铝片制瓶底,才能正好制成整套的饮料瓶。 用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身 16 个或制盒底 43 个,一个盒身与 2 个盒底配成一 套罐头盒。现有 100 张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底,可以即使做出的盒身和 盒底配套,又能充分的利用白铁皮? 解:设用 x 张制盒身,100-x 张制盒底。 (2x16)x=(100-x)43 32x=4300-43x 75x=4300
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x=57 现有 100 张白铁皮,用 57 张制盒身,100-57=43 张制盒底,可以即使做出的盒身和盒底 配套,又能充分的利用白铁皮. 某厂一个车间有 51 人,加工两种汽车零件,每人每天能加工甲种零件 16 个或一种零件 21 个 而一辆车需甲种零件 5 个已种零件 3 个,为了每天能配套生产,应如何安排工人? 解:设生产甲零件 x 人,生产乙零件 51-x 人才能配套生产。 (3x16)x=5x21(51-x) 48x=5355-105x 153x=5355 x=35 答:生产甲零件 35 人,生产乙零件 51-35=16 人才能配套生产. 变式 1 某车间有 28 名工人,生产一种螺栓和螺母,每人每天平均能生产螺栓 12 个或螺 母 18 个,一个螺栓要配两个螺母。第一天安排 14 名工人生产螺栓,14 名工人生产螺母, 问第二天应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺母,才能使两天总的生产效率最高? 解法 1 第一天生产后,螺栓、螺母不能刚好配套,螺栓应有剩余,不难计算螺栓剩余的数 量为 42 个,(∵14?12?14?18÷2=42)然后设第二天要安排 x 人生产螺栓,(28?x)人生产螺 母, 由题意,得:2?(12x+42)=18(28?x) 解得 x=10.

解法 2 整体思考, 设第二天安排 x 人生产螺栓, 则(28?x)人生产螺母. 所以两天中共有(14+x) 人生产螺栓,14+(28?x)人生产螺母,由题意,得 2?12(14+x)=18[14+(28?x)] 解法 3 整体思考,每天都有 28 名工人,工作了两天,那么就等价于一天内有 56 名工人工 作,所以设第二天应安排 x 人生产螺栓,则共有(14+x)人生产螺栓,即应有[56?(14+x)]人 生产螺母,由题意得:2?12(14+x)=18[56?(14+x)] (这些做法都应由学生充分思考、积极讨论后得出) 问:若此类问题答案不是整数,那又说明了什么呢? 变式 2 某车间有 27 名工人,生产一种螺栓和螺母,每人每天平均能生产螺栓 12 个或螺 母 18 个,一个螺栓要配两个螺母,应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺母,才能使当天 生产的螺栓和螺母刚好配套?
4 x=11 ) 7 问:对于这个答案,我们应如何理解,人员又该如何分配呢? 教师引导:受例 2 的启发,教师提出当天生产的零件不能配套,可否从长计议,确定 几天为一个生产周期,在这个生产周期内,怎样科学安排,使所加工的零件能够配套.于 是提出下面的变式题.

(设应分配 x 人生产螺栓,解得

变式 3 某车间有 27 名工人,生产一种螺栓和螺母,每人每天平均能生产螺拴 12 个或螺 母 18 个,一个螺栓要配两个螺母,假设 y 天为一个生产周期,在这个生产周期内,怎样安 排就能使所生产的螺栓和螺母刚好配套? 分析:在平均劳动生产效率不变的前提下,一个生产周期为 y 天,且每天有 27 名工人参加 工作的总工作量就相当于一天内有 27y 名工人参加工作的总工作量,这样问题就化归为引 例的情形。
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问题探索到这里基本上是圆满解决了, 但其中还有许多规律性的东西可以留待学生课后 思考,如:要使这类“配套”型应用题有正整数解,题中已知数据是怎样编出的,它有什 么规律? 小结: “配套”型应用题中有三组数据: (1)车间工人的人数; (2)每人每天平均能生产的不同的零件数; (3)不同零件的配套比. (利用(1)(3)得到等量关系,构造方程) 1.某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母, 每人每小时平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个, 应 如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)? 2.包装厂有工人 42 人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片 120 片,或长方形铁片 80 片,将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶,问如何安排工人生产圆形或长方形 铁片能合理地将铁片配套? 3.某部队派出一支有 25 人组织的小分队参加防汛抗洪斗争,若每人每小时可装泥土 18 袋 或每 2 人每小时可抬泥土 14 袋,如何安排好人力,才能使装泥和抬泥密切配合,而正好清 场干净。 4.某车间加工机轴和轴承,一个工人每天平均可加工 15 个机轴或 10 个轴承。该车间共有 80 人,一根机轴和两个轴承配成一套,问应分配多少个工人加工机轴或轴承,才能使每天 生产的机轴和轴承正好配套。 5.某厂生产一批西装,每 2 米布可以裁上衣 3 件,或裁裤子 4 条,现有花呢 240 米,为了 使上衣和裤子配套,裁上衣和裤子应该各用花呢多少米? (七)增长率问题: 44、某化肥厂去年生产化肥 3200 吨,今年计划生产 3600 吨,今年计划比去年增产 % 45、某加工厂有出米率为 70%的稻谷加工大米,现在加工大米 100 公斤,设要这种大米 x 公斤,则列出的正确的方程是 。 。 46、某印刷厂第三季度印刷了科技书籍 50 万册,而第四季度印刷了 58 万册,求季度的增 长率是多少? 47、甲、乙两厂去年完成任务的 112%和 110%,共生产机床 4000 台,比原来两厂任务之和 超产 400 台,问甲厂原来的生产任务是多少台? 48、某村去年种植的油菜籽亩产量达 150 千克,含油率为 40﹪。今年改种新选育的油菜籽 后亩产量提高了 30 千克,含油率提高了 10 百分点。今年与去年相比,油菜的种植面积减 少了 40 亩,而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高了 20﹪。 (1)求今年油菜的种植 面积。 设今年油菜的种植面积是 x 亩。完成下表后再列方程解答。 亩产量 种植面积 油菜籽总产量 含油率 产油量 (千克/亩) (亩) (千克) (千克) 去年 150 40﹪ 今年 x (2)已知油菜种植成本为 200 元/亩,菜油收购价为 6 元/千克。试比较这个村去今两年种 植油菜的纯收入。
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49、民航规定:乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带 20 千克行李,超过部分每千克按 飞机票价的 1.5%购买行李票。 一名旅客带了 35 千克行李乘机, 机票连同行李费共付了 1323 元,求该旅客的机票票价。 1.某化肥厂去年生产化肥 3200 吨,今年计划生产 3600 吨,今年计划比去年增产 % 2.某加工厂有出米率为 70%的稻谷加工大米,现在加工大米 100 公斤,设要这种大米 x 公 斤,则列出的正确的方程是 。。 3.某印刷厂第三季度印刷了科技书籍 50 万册,而第四季度印刷了 58 万册,求季度的增长 率是多少? 6.民航规定: 乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带 20 千克行李, 超过部分每千克按飞 机票价的 1.5%购买行李票。 一名旅客带了 35 千克行李乘机, 机票连同行李费共付了 1323 元,求该旅客的机票票价。 打折销售:公式:利润=售出价-进货价(成本价) 利润与利润率: 利润赢亏问题 (1)销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等 (2)有关关系式: 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价×折扣率 例 8. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价,又以 8 折优惠卖出,结果每件仍获利 15 元,这种服装每件的进价是多少? 分析:探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为 X 元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 x 元 8 折 (1+40%)x 元 80%(1+40%)x 15 元 等量关系:(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15 解:设进价为 X 元,80%X(1+40%)—X=15,X=125 答:略. 12、 一只钢笔原价 30 元,现打 8 折出售,现售价是 元;如果这支钢笔的成本价 为 12 元,那么不打折前商家每支可以获利 元,打折之后,商家每支还可以获利 元 13、 一件服装标价 200 元, ①按标价的 8 折销售, 仍可获利 20 元, 该服装的进价是 元; ②按标价的 8 折销售,仍可获利 10%, 该服装的标价是 元 15、一件商品在进价基础上提价 20%后,又以 9 折销售,获利 20 元,则进价是______元. 设进价 x 元,根据题意列方程得 16、服装店将某种服装按成本提高 40%标价,又以八折优惠卖出,每件仍获利 15 元,则每 件的成本为_________. 17、某件商品 9 折降价销售后每件商品售价为 a 元,则该商品每件原价为________。 18、一种药物涨价 25%的价格是 50 元,那么涨价前的价格 x 满足的方程是____________。 18、某商品的销售价格每件 900 元,为了参加市场竞争,商店按售价的九折再让利 40 元销 售,些时仍可获利 10%,此商品的进价为______. 19、某商场出售某种文具,每件可盈利 2 元,为支援贫困山区的小朋友,按 7 折收给某山 区学校,结果每件盈利 0.20 元。问该文具的进价是每件多少元? 20、杉杉打火机厂生产某种型号的打火机.每只的成本为 2 元,毛利率为 25%.工厂通过 改进工艺,降低了成本,在售价不变的情况下,毛利率增加了 15%.则这种打火机每只
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利润率= 商品利润 × 100%
商品进价

售价 ? 成本

0 的成本降低了 . (精确到 0.01 元.毛利率= 成本 ) 21、某商品进价 1500 元,提高 40%后标价,若打折销售,使其利润率为 20%,则此商品是 按几折销售的?

?100 0

23、某种商品的市场需求量 D(千件)与单价 p(元/件)服从需求关系:

1 17 D?P? ?0 3 3 .问:

(1)当单价为 4 元时,市场需求量是多少? (2)若单价在 4 元基础上又涨价 1 元,则需求量发生了怎样的变化? 24、八一体育馆设计一个由相同的正方体搭成的标志物(如图所示) ,每个正方体的棱长为 1 米,其暴露在外面的面(不包括最底层的面)用五夹板钉制而成,然后刷漆。每张 五夹板可做两个面,每平方米用漆 500 克. (1)建材商店将一张五夹板按成本价提高 40%后标价,又以 8 折优惠卖出,结果每 张仍获利 4.8 元(五夹板必须整张购买) : (2)油漆店开展“满 100 送 20,多买多送的酬宾活动” ,所购漆的售价为每千克 34 元.试问购买五夹板和油漆共需多少钱? 9. 储蓄问题 ⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存 入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 ⑵ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率(20%) 例 9. 某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元, 求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税) 分析:等量关系:本息和=本金×(1+利率) 解:设半年期的实际利率为 x, 250(1+x)=252.7, x=0.0108 所以年利率为 0.0108×2=0.0216 ⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存 入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 ⑵ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率(20%) 例 9. 某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元, 求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税) 分析:等量关系:本息和=本金×(1+利率) 解:设半年期的实际利率为 x, 250(1+x)=252.7, x=0.0108 所以年利率为 0.0108×2=0.0216 7.一家服装店将某种服装按成本提高 40%后标价, 又以八折优惠卖出, ?结果每件仍获利 15 元,这种服装每件的成本为_________. 8.某件商品 9 折降价销售后每件商品售价为 a 元,则该商品每件原价为( ) 一种药物涨价 25%的价格是 50 元,那么涨价前的价格 x 满足的方程是____________。 9.某商场将进价为每件 X 元的上衣标价为 m 元,在此基础上再降价 10%,顾客需付款 270 元。已知进价 x 元时标价 m 元的 60%,则 x 的值是( )
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10.某商品的销售价格每件 900 元,为了参加市场竞争,商店按售价的九折再让利 40 元销 售,些时仍可获利 10%,此商品的进价为______. 11.如果某商品进价的降低 5%,而售价不变,利润率可提高 15 个百分点,求此商品的原来 的利润率 12.某商场出售某种文具,每件可盈利 2 元,为支援贫困山区的小朋友,按 7 折收给某山区 学校,结果每件盈利 0.20 元。问该文具的进价是每件多少元? 14.某商品进价 1500 元,提高 40%后标价,若打折销售,使其利润率为 20%,则此商品是按 几折销售的? 15.某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利 25%,另一件亏损 25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏? (八)数字问题: 二、数字问题 数字问题 (1)要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为 a,十位数字是 b,个位数字 为 c 其中 a、 c 均为整数, 1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9) ( b、 且 则这个三位数表示为: 100a+10b+c。 (2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大 1;偶数用 2N 表示,连续的偶数用 2n+2 或 2n—2 表示;奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。 例 5. 一个两位数,个位上的数是十位上的数的 2 倍,如果把十位与个位上的数对调,那 么所得的两位数比原两位数大 36,求原来的两位数 等量关系:原两位数+36=对调后新两位数 解:设十位上的数字 X,则个位上的数是 2x, 10×2x+x=(10x+2x)+36 解得 x=4,2x=8. 2.一个两位数它的个位数字比十位数字大 3,那么这个两位数可以表示为什么? 如果把个位数字和十位数字对调, 新的两位数可以表示为什么? (添表格并完成解答过程) 解:设这个数的十位数字是 x,根据题 个位 十位 表示为 意得 原数 对调后的新数 解方程得: 答 3.两个连续奇数的和为 156,求这两个奇数,设最小的数为 x,列方程得 4.一个五位数最高位上的数字是 2,如果把这个数字移到个位数字的右边,那么所得的数 比原来的数的 3 倍多 489,求原数。 5.将连续的奇数 1,3,5,7,9?,排成如下的数表: (1)十字框中的五个数的平均数与 15 有什么关系? (2)若将十字框上下左右平移,可框住另外的五个数,这五个数的和能等于 315 吗? 若能,请求出这五个数;若不能,请说明理由.
1 3 5 7 9

11 13 21 23 31 33

15 17 19 25 27 29 35 37 39

三、日历时钟问题 6、你能在日历中圈出 2× 的一个正方形,使得圈出的 4 个数之和是 77 吗? 2 如果能,求出这四天分别是几号?如果不能,请说明理由.
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7、在 6 点和 7 点间,时钟分针和时针重合? 1.有一个三位数,个位数字为百位数字的 2 倍,十位数字比百位数字大 1,若将此数个位 与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的 2 倍少 49,求原数。 2.一个五位数最高位上的数字是 2,如果把这个数字移到个位数字的右边,那么所得的数 比原来的数的 3 倍多 489,求原数。 (九)几何问题: 等积变形问题: “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为: ①形状面积变了,周长没变; ②原料体积=成品体积。 例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯(已装满水)向一个由底面积为 内高为 81mm 的 长方体铁盒倒水时,玻璃杯中的水的高度下降多少 mm?(结果保留整数 ) 分析:等量关系为:圆柱形玻璃杯体积=长方体铁盒的体积 下降的高度就是倒出水的高度 解:设玻璃杯中的水高下降 xmm 1.一个长方形的周长长为 26cm,这个长方形的长减少 1cm,宽增加 2cm,就可成为一 个正方形,设长方形的长为 x cm,可列方程是 2.在一只底面直径为 30 厘米, 高为 8 厘米的圆锥形容器中倒满水, 然后将水倒入一只底面 直径为 10 厘米的圆柱形空容器里,圆柱形容器中的水有多高? 3.将棱长为 20cm 的正方体铁块锻造成一个长为 100cm,宽为 5cm 的长方体铁块,求长方体 铁块的高度。 4.将棱长为 20cm 的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒底面积为 12cm2,问量筒中水面 升高了多少 cm? 几何等量变化问题(等周长变化,等体积变化) 常用公式:三角行面积= ,正方形面积 圆的面积 , 梯形面积 矩形面积 柱体体积 椎体体积 球体体积 8、已知一个用铁丝折成的长方形,它的长为 9cm,宽为 6cm,把它重新折成一个宽为 5cm 的长方形, 则新的长方形的宽是多少? 设新长方形长为 xcm,列方程为 9、将棱长为 20cm 的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒底面积为 12cm2,问量筒中水面 升高了多少 cm? 10、如图所示,两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一,相当于小长 方形面积的四分之一,阴影部分的面积为 224cm2,求重叠部分面积。

11、如图是两个圆柱体的容器,它们的半径分别是 4cm 和 8cm,高分别为 16cm 和 10cm, 先在第一个容器中倒满水,然后将其全部倒入第二个容器中。 (1)问倒完后,第二个容 器水面的高度是多少? (2)如右图把容器 1 口朝上插入容器 2 水位又升高多少?

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容器 2 容器 1

(十)方案设计与成本分析: 55、我省某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为 1000 元,经粗加工 后销售,每吨利润可达 4500 元,经精加工后销售每吨获利 7500 元。 当地一家农工商企业收购这种蔬菜 140 吨,该企业加工厂的生产能力是:如果对蔬菜 进行粗加工,每天可以加工 16 吨,如果进行细加工,每天可以加工 6 吨,但两种加工方式 不能同时进行。 受季节条件限制, 企业必须在 15 天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕, 企业研制了三种可行方案。 方案一:将蔬菜全部进行粗加工; 方案二: 尽可能多的对蔬菜进行精加工, 来不及进行加工的蔬菜, 在市场上直接销售; 方案三:将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用 15 天。 你认为哪种方案获利最多?为什么 56、牛奶加工厂现有鲜奶 8 吨,若在市场上直接销售鲜奶(每天可销售 8 吨) ,每吨可获利 润 500 元;制成酸奶销售,每加工 1 吨鲜奶可获利润 1200 元;制成奶片销售,每加工 1 吨鲜奶可获利润 2000 元. 该厂的生产能力是: 若制酸奶, 每天可加工 3 吨鲜奶; 若制奶片, 每天可加工 1 吨鲜奶;受人员和设备限制,两种加工方式不可同时进行,受气温条件限制, 这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕. 请你帮牛奶加工厂设计一种方案,使这 8 吨鲜奶既能在 4 天内全部销售或加工完毕, 又能获得你认为最多的利润. 57、某市剧院举办大型文艺演出,其门票价格为:一等席 300 元/人,二等席 200 元/人, 三等席 150 元/人,某公司组织员工 36 人去观看,计划用 5850 元购买 2 种门票,请你帮助公 司设计可能的购票方案。 59、 《楚天都市报》 据 消息, 武汉市居民生活用水价格将进行自 1999 年以来的第四次调整, 试行居民生活用水阶梯式计量水价.拟定城市居民用水户 (户籍人口 4 人及以内) 每月用水 量在 22 立方米及以内的,为第一级水量基数,按调整后的居民生活用水价格收取;超过 22 立方米且低于 30 立方米 (含 30 立方米) 的部分为第二级水量基数, 按调整后价格的 1.5 倍收取;超过 30 立方米的部分为第三级水量基数,按调整后价格的 2 倍收取.已知调整后 居民生活用水价格由现行的每立方米 1.51 元拟上涨到 1.96 元.市民张先生一家三口人,他 按自己家庭月均用水量计算了一下,按目前新价格,他一个月要缴纳 74.48 元水费.请问张 先生一家月均用水量是多少立方米?和调整前比较,他家每月平均多缴纳多少元水费? 60、小明家搬了新居要购买新冰箱,小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱.其中,甲 冰箱的价格为 2100 元,日耗电量为 1 度;乙冰箱是节能型新产品,价格为 2220 元,日耗 电量为 0.5 度, 并且两种冰箱的效果是相同的.老板说甲冰箱可以打折, 但是乙冰箱不能打 折,请你就价格方面计算说明,甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算?(每度电 0.5 元,两种冰箱的使用寿命均为 10 年,平均每年使用 300 天) 62、某单位急需用车,但又不需买车,他们准备和一个个体车或一国营出租公司中的一家 鉴定月租车合同,个体车主的收费是3元/千米,国营出租公司的月租费为2000元,另外每 行驶1千米收2元,试根据形式的路程的多少讨论用哪个公司的车比较合算?
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63、某农户 2000 年承包荒山若干公顷,投资 7800 元改造后,种果树 2000 棵,今年水果总 产量为 18000kg,此水果在市场上每千克售 a 元,在果园每千克售 b 元(b<a) ,该农户将 水果运到市场出售,平均每天出售 1000kg,需 8 人帮助,每人每天付工资 25 元,汽车运 费及其它各项税费平均每天 100 元。 ①分别用 a、b 表示用两种方式出售水果的收入。 ②若 a=1.3 元,b=1.1 元,且两种出售水果方式都在相同时间内售完全部水果,请通过计 算说明,选择哪种出售方式较好? 64、 育才中学需要添置某种教学仪器, 方案 1: 到商家购买, 每件需要 8 元; 方案 2: 学校 自己制作, 每件 4 元, 另外需要制作工具的月租费 120 元, 设需要仪器 x 件. (1)试用含 x 的代数式表示出两种方案所需的费用; (2)当所需仪器为多少件时, 两种方 案所需费用一样多?(3) 当所需仪器为多少件时, 选择哪种方案所需费用较少? 说明理由. 65、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务。甲种使用者每月需缴 15 元月租费, 然后每通话 1 分钟, 再付话费 0.3 元; 乙种使用者不缴月租费, 每通话 1 分钟, 付话费 0.6 元。若一个月内通话时间为 x 分钟, 甲、乙两种的费用分别为 y1 和 y2 元。 (1)、试求一个人要打电话 30 分钟,他应该选择那种通信业务? (2) 、根据一个月通话时间,你认为选用哪种通信业务更优惠? 66、某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游,甲旅行社说“如果校长买一 张票, 则其余学生可享受半价优惠” 乙旅行社说 , “包括校长在内全部按票价的 6 折优惠” (即按票的 60%收费) 现在全票价为 240 元, 。 学生数为 5 人, 请算一下哪家旅行社优惠? 你喜欢哪家旅行社?如果是一位校长,两名学生呢? 71、电信部门推出两种电话计费方式如下表: A B 月租费(元/月) 30 0 通话费(元/分钟) 0.40 0.5 (1) 当通话时间是多少分钟时两种方式收费一样多? 解:设当通话时间是 x 分钟时两种方式收费一样多,根据题意得: 解方程得:x= (2) 当通话时间 时,A 种收费方式省钱;当通话时间 时,B 种收费 方式省钱. 67、据电力部门统计,每天 8︰00 至 21︰00 是用点高峰期,简称“峰时” ,21︰00 至次日 8︰00 是用电低谷期,简称“谷时” 。为了缓解供电需求紧张的矛盾,我市电力部门拟逐步 统一换装“峰谷分时”电表,对用电实行“峰谷分时电价”新政策,具体见下表: 换表后 峰时(8︰00—21︰00) 谷时(21︰00—8︰00) 电价 每度 0.52 元 每度 0.55 元 每度 0.30 元 小明家对换表后最初使用的 95 度电进行测算, 经测算比换表前使用 95 度电节约了 5.9 元, 问小明家使用“峰时” 电和“谷时” 电分别是多少度? 68、小明想在两种灯中选购一种,其中一种是 10 瓦(即 0.01 千瓦)的节能灯,售价 50 元,另一种是 100 瓦(即 0.1 千瓦)的白炽灯,售价 5 元,两种灯的照明效果一样,使用 寿命也相同(3000 小时内)节能灯售价高,但较省电,白炽灯售价低,但用电多,电费 0.5 元/千瓦·时 (1)照明时间 500 小时选哪一种灯省钱?(2)照明时间 1500 小时选哪一种灯省钱? (3)照明多少时间用两种灯费用相等? 69、有一些相同的房间需要粉刷,一天 3 名师傅去粉刷 8 个房间,结果其中有 40m2 墙面未 来得及刷;同样的时间内 5 名徒弟粉刷了 9 个房间的墙面。每名师傅比徒弟一天多刷 30m2 时间 换表前
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的墙面。 (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积; (2) 张老板现有 36 个这样的房间需要粉刷, 若请 1 名师傅带 2 名徒弟去, 需要几天完成? (3)已知每名师傅,徒弟每天的工资分别是 85 元,65 元,张老板要求在 3 天内完成,问 如何在这 8 个人中雇用人员,才合算呢? 8.某单位急需用车,但又不需买车,他们准备和一个个体车或一国营出租公司中的一家鉴 定月租车合同,个体车主的收费是3元/千米,国营出租公司的月租费为2000元,另外每行 驶1千米收2元,试根据形式的路程的多少讨论用哪个公司的车比较合算? 9.某农户 2000 年承包荒山若干公顷,投资 7800 元改造后,种果树 2000 棵,今年水果总产 量为 18000kg,此水果在市场上每千克售 a 元,在果园每千克售 b 元(b<a),该农户将水 果运到市场出售,平均每天出售 1000kg,需 8 人帮助,每人每天付工资 25 元,汽车运费 及其它各项税费平均每天 100 元。 ①分别用 a、b 表示用两种方式出售水果的收入。 ②若 a=1.3 元,b=1.1 元,且两种出售水果方式都在相同时间内售完全部水果,请通过计 算说明,选择哪种出售方式较好? 11.某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务。甲种使用者每月需缴 15 元月租费, 然后每通话 1 分钟, 再付话费 0.3 元; 乙种使用者不缴月租费, 每通话 1 分钟, 付话费 0.6 元。若一个月内通话时间为 x 分钟, 甲、乙两种的费用分别为 y1 和 y2 元。 (1)、试求一个人要打电话 30 分钟,他应该选择那种通信业务? (2)、根据一个月通话时间,你认为选用哪种通信业务更优惠? 12.某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游,甲旅行社说“如果校长买一张 票,则其余学生可享受半价优惠”,乙旅行社说“包括校长在内全部按票价的 6 折优惠” (即按票的 60%收费)。现在全票价为 240 元,学生数为 5 人,请算一下哪家旅行社优 惠?你喜欢哪家旅行社?如果是一位校长,两名学生呢? 14.小明想在两种灯中选购一种,其中一种是 10 瓦(即 0.01 千瓦)的节能灯,售价 50 元, 另一种是 100 瓦(即 0.1 千瓦)的白炽灯,售价 5 元,两种灯的照明效果一样,使用寿命 也相同(3000 小时内)节能灯售价高,但较省电,白炽灯售价低,但用电多,电费 0.5 元 /千瓦·时 (1)照明时间 500 小时选哪一种灯省钱?(2)照明时间 1500 小时选哪一种灯省钱? (3)照明多少时间用两种灯费用相等? (十二)浓度问题: 1.有含盐 20%的盐水 5 千克,要配制成含盐 8%的盐水,需加水______________千克。 某化工厂现有浓度为 15%的稀硫酸 175 千克, 要把它配成浓度为 25%的硫酸, 需要加入浓度 为 50%的硫酸多少千克? 2.今需将浓度为 80%和 15%的两种农药配制成浓度为 20%的农药 4 千克,问两种农药应 各取多少千克? 3.甲、乙两块合金,含银和铜的比分别是甲为 4:3,乙为 7:9,今从两块合金中各取多少 千克,能得到含银 84 千克、含铜 82 千克的新合金? 4.有甲、乙两种铜和银的合金,甲种合金含银 25%,乙种合金含银 37.5%,现在要熔制含银 30%的合金 100 千克,两种合金应各取多少?
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