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椭圆常见性质


椭圆常见性质 1.

| PF1 | ? e ?1 d1

2.PT 平分 ?PF 1F 2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切. 5.设 A 1, A 2 为椭圆

的左 ,右顶点,则 ?PF 1F 2 在边 PF2 (或 PF 1 )上的旁切圆,必与 A 1 A2 所在的直 线切与 A2 (或 A1 ). 6.椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 7.椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 8.椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 9.椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 c. 10.椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 ,则椭圆中心与垂足连线 必与另一焦半径所在直线平行. 11.椭圆焦三角形中 ,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线 ,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆 长半轴的长. 12.椭圆焦三角形中 ,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线 ,垂足就是垂足同侧焦半径为直径 的圆的和椭圆长轴为直径的圆的切点. 13.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦半径公式: a 2 b2

| PF1 |? a ? ex0 ,| PF2 |? a ? ex0 . ( x0 是 P 点横坐标).
x2 y 2 14. 设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上异于长轴端点的任一点 , F1 , F2 为其焦点 . 记 a b

?F1PF2 ? ? ,则 (1) | PF1 || PF2 |?

2b 2 ? ;(2) S?PF1F2 ? b 2 tan . 1 ? cos ? 2

15. 若 P 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 , F1 , F2 为 其 焦 点 , a 2 b2
a?c ? ? ? tan tan . a?c 2 2

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则
16.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点, a 2 b2

在 ?PF 1PF 2 ? ? , ?PF 1F 2 ? ? , ?F 1F 2 P ? ? , 则有 1F 2 中,记 ?F

sin ? ?e. sin ? ? sin ?

17.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个顶点 A1 (?a,0), A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 a 2 b2

P 1P 1 与 A2 P 1, P 2 时, A 2 交点的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

xx yy x2 y 2 18.若 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 点的椭圆的切线方程是 20 ? 20 ? 1 . a b a b
19.AB 是椭圆

x2 y 2 b2 k ? k ? ? ? ? 1 的不平行于对称轴的弦 ,M 为 AB 的中点 , 则 . OM AB a2 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 内 , 则 被 P 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

20. 若 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆
2 2 xx0 yy0 x0 y0 ? 2 ? 2? 2. a2 b a b

21.若 P( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x 2 y 2 xx0 yy0 ? ? ? 2 . ? ? 1 内 , 则过 P 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a 2 b a 2 b2

22.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,O 为坐标原点,P,Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ , a 2 b2

4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ; (1) (2) | OP | ? | OQ | 的最大值为 2 ; | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 a ? b2
(3) S?OPQ 的最小值是

a 2b 2 . a 2 ? b2

23.若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 左准线为 l, 则当 2 ?1 ? e ? 1 a 2 b2

时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离的 d 与 PF2 的比例中项。

x2 y 2 24.P 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任一点, F1 , F2 为左右焦点,A 为椭圆内一定点,则 a b

2a? | AF2 |?| PA |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立。

25. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上存在两点关于直线 l : y ? k ( x ? x0 ) 对称的充要条件是 a 2 b2

2 x0 ?

(a 2 ? b 2 )2 . a 2 ? b2k 2
x2 y 2 x2 y 2 ? ? k ( k ? 0, k ? 1) ? ? 1 相交 上两点 , 其直线 AB 与椭圆 a 2 b2 a 2 b2

26.设 A,B 为椭圆椭圆 于 P,Q,则 AP=BQ. 27. 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 A x? B y ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a 2 b2
C . 2

2 A2 a 2? B 2 b ?

28.MN 是过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦点的任意弦.若 AB 是经过椭圆中心且平行于 MN a 2 b2

的弦,则 | AB |2 ? 2a | MN | .

29. .MN 是过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦点的任意弦.若过椭圆中心 O 的半弦 OP ? MN , a 2 b2



2 1 1 1 ? ? 2? 2. 2 a | MN | | OP | a b

x2 y 2 b 2 x1 ? ? 1( a ? b ? 0) 30.设 A( x1 , y1 ) 是椭圆 2 上任一点,过 A 作一条斜率为 ? 2 的直线 l, a b2 a y1
又设 d 是原点到直线 l 的距离, r 1 , r2 分别是 A 到椭圆两焦点的距离,则 r 1r2 d ? ab . 31.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,A,B 是椭圆上两点,线段 AB 的垂直平分线与想轴相交于点 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

P( x0 ,0) ,则 ?

32. 过 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 焦 点 F 作 互 相 垂 直 的 两 条 弦 AB,CD, 则 a 2 b2

8ab2 2(a 2 ? b 2 ) ? | AB | ? | CD | ? . a 2 ? b2 a

33.已知椭圆

x2 y 2 b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) (包括圆在内)上有一点 P,过 P 点分别作直线 y ? x 及 2 a a b

y??

b x 的平行线,分别交 x 轴于 M,N,交 y 轴与 R,Q.则: a

(1) | OM |2 ? | ON |2 ? 2a2 ;(2) | OR |2 ? | OQ |2 ? 2b2 34.过平面上的 P 点作直线 l1 : y ?
2 2 2

b b x 及 l2 : y ? ? x 的平行线,分别交 x 轴于 M,N,交 y 轴与 a a

x2 y 2 R,Q.(1) 若 | OM | ? | ON | ? 2a , 则 P 的 轨 迹 方 程 是 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) .(2) 若 a b

| OR |2 ? | OQ |2 ? 2b2 ,则 P 的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2


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