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圆.板块二.直线与圆的位置关系.学生版


典例分析
位置关系 【例1】 a 为何值时,直线 l : 3x ? y ? a ? 0 与圆 O : x2 ? y 2 ? 4 :⑴ 相交;⑵相切;⑶相 离.

【例2】 圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个

>) D.4 个

2 【例3】 判 断直 线 2 x ? y ? 1 ? 0 和 圆 x2 ? y 2 ? 2 mx ? 4 my? m ?1 ?0的 位置 关系 ,结 论为

( ) A.相交但直线不过圆心 C.相交或相切

B.相交且直线过圆心 D.相交、相切或相离

【例4】 自点 P ? 6 , 所得弦长为 6 2 , 则这条割线所在直线的 ? 4? 向圆 x2 ? y 2 ? 20 引割线, 方程是 .

【例5】 圆 x2 ? y 2 ? 1 与直线 y ? kx ? 2 没有 公共点的充要条件是( .. A. k ? (? 2 , 2) C. k ? (? 3 , 3) B. k ? (?? , ? 2) ? ( 2 , ? ?) D. k ? (?? , ? 3) ? ( 3 , ? ?)



【例6】 若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : y ? kx 的距离为 2 2 , 则 k 的取值范围是_________.

【例7】 圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个?

【例8】 点 M ( x0 , y0 ) 是圆 x2 ? y 2 ? a2 ( a ? 0) 内不为圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该 圆的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交

【例9】 圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 上与直线 x ? y ? 2 ? 0 距离最远的点的坐标是_________.
1

【例10】 圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差 是_________.

【例11】 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

) .

【例12】 已知 a ? b ,且 a2 sin ? ? a cos? ?

π π ? 0 , b2 sin ? ? b cos? ? ? 0 ,则连接 (a , a 2 ) , 4 4

(b , b2 ) 两点的直线与单位圆的位置关系是

A.相交

B.相切

C.相离

D.不能确定

【例13】 已知直线 l 方程为 x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 ,则 l ( ) A.恒过一个定点 B.恒平行于一条直线 C.恒与一个定圆相切 D.恒与两个坐标轴相交

圆的切线 【例14】 过 点 A( 4, 1)的 圆 C 与 直 线 x ? y ? 1 ? 0 相 切 于 点 B ( 2, 1). 则 圆 C 的 方 程





【例15】 圆心在 x 轴上,且与直线 y ? x 切于 ?1 , 1? 点的圆的方程为________.

【例16】 求过点 A(2 ,4) 向圆 x2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程.

【例17】 若直线 y ? x ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切,则 b 的值为 ( A. ?4 B. ?2 C. ? 2


D. ?2 2

,2 ) 【例18】 若 直 线 ax ? by ? 3 ? 0 与 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0 切 于 点 P(? 1 , 则 ab 的 积





【例19】 过点 ? 4, 4 ? 引圆 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 4 的切线,则切线长是
2 2





2

A.2

B. 10

C. 6

D. 14

【例20】 已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? ax ? 2 y ? a2 ? 0 , 一定点为 A(?1, ? 1) , 要使过定点 A 作

圆的切线有两条,求 a 的取值范围.

【例21】 求经过点 A(?2, ? 4) 且与直线 l : x ? 3 y ? 26 ? 0 相切于点 B (8, 6) 的圆的方程.

【例22】 从圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3, 2? 向这个圆作两条切线,则两切线夹角

的余弦值为___________.

【例23】 已知直线 ax ? by ? c ? 0( abc ? 0) 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切,则三条边长分别为 | a | ,
| b | , | c | 的三角形(


B.是直角三角形 D.不存在

A.是锐角三角形 C.是钝角三角形

【例24】 若圆 C 的半径为 1 ,圆心在第一象限,与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的

) 7 A. ( x ? 3)2 ? ( y ? )2 ? 1 3
C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1

标准方程是(

B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

3 D. ( x ? )2 ? ( y ? 1)2 ? 1 2

【例25】 直线 y ? 3x ? 2m 和圆 x 2 ? y 2 ? n2 相切,其中 m , n ? N ? , | m ? n |≤ 5 ,试写出所

有满足条件的有序实数对 (m , n) .

3) ,求圆的方程. 【例26】 半径为 2 的圆与直线 l : x ? y ? 7 相切,切点为 M (4 ,

【例27】 已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相

切.求圆 C 的方程.

【例28】 过直线 x ? 2 上一点 M 向圆 ? x ? 5? ? ? y ? 1? ? 1 作切线, 则 M 到切点的最小距离
2 2

3

为_

__.

【例29】 自点 A ? ?3, 3? 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆
C:x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求入射光线 l 和反射光线所在的直线方程,并

求光线自 A 到切点所经过的路程.
【例30】 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程. 【例31】 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA 、 PB 是圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0

的两条切线,A , B 是切点, 那么四边形 PACB 面积的最小值为_______, 此时 P 点的坐标为_____.
B 和内心 I 的坐标分别为 A(9 , 1) 、 B (3 , 4) 、 【例32】 如图所示,在 ?ABC 中,顶点 A , I (4 , 1) ,求顶点 C 的坐标.
y B I O C A x

【例33】 已知圆 O:x2 ? y 2 ? 4 ,过点 P (2 , 4) 与圆 O 相切的两条切线为 PA , PB ,其中
A、 B 为切点,求直线 AB 的方程.

【例34】 已 知 ?ABC 三 边 长 分 别 为 3 , 4 , 5 ,点 P 是它的内切圆上的一点,求以
PA , PB , PC 为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.

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