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A053=第八章


第 八 章

第 五 节

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

平 面 解 析 几 何

椭 圆

提 能 力

[备考方向要明了] 考 什 么 1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世

/>界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质.

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怎 么 考

1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点,而直
线和椭圆的位置关系是高考考查的热点. 2.定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形 式考查,而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、 不等式等的综合题常以解答题的形式考查,属中、高

档题目.

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一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离之 和 等于常数( 大于 |F1F2|) 的点的集合叫作椭圆,这两个定点F1,F2叫作椭圆的 焦点 , 两焦点F1,F2间的距离叫做椭圆的 焦距 .

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二、椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0

图形

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条件 标准方程 范围

2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2
|x|≤a;|y|≤b

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2
|x|≤b;|y|≤a 曲线关于 x轴 y轴、原点 对称

曲线关于 x轴
对称性 y轴、原点 对称

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条件

2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0 (0,a) 短轴 长轴顶点 (a,0) 短轴顶点 长轴顶点

顶点

(0,±b)
焦点 焦距 (±c,0)

顶点 (±b,0)
(0,±c)

| F1F2|= 2c (c2= a2-b2 )

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条件

2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0

离心率

e= c ∈ (0,1) ,其中c= a2-b2 a

通径

过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为

2b2 a

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x2 y2 1.(教材习题改编)椭圆 + =1的焦距为4,则m等于 10-m m-2 ( A.4 C.4或8 B.8 D.12 )

解析:由于焦点位置不确定,故10-m-(m-2)=4 或m-2-(10-m)=4.∴m=4或8. 答案: C

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2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该 椭圆的离心率是 4 A.5 2 C.5 3 B.5 1 D.5 ( )

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解析:由题意有2a+2c=2(2b),即a+c=2b,又c2=a2-b2, 3 消去b整理得5c2=3a2-2ac,即5e2+2e-3=0,∴e=5或 e=-1(舍去).

答案: B

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3.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12, 1 离心率为3,则椭圆方程为 x2 y2 A.144+128=1 x2 y2 C.32+36=1 x2 y2 B.36+20=1 x2 y2 D.36+32=1 ( )

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c 1 解析:2a=12,a=3,∴a=6,c=2. x2 y2 b =32,所以椭圆的方程为36+32=1.
2

答案: D

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x2 y2 10 4.(教材习题改编)已知椭圆 5 +m=1的离心率e= 5 ,则m的值 为________.
解析:当椭圆焦点在x轴上a2=5,b2=m,∴c2=5-m. ∴ 5-m 10 5-m 10 = 5 .∴ 5 =25. 5

∴m=3. m-5 10 焦点在y轴上时得 m =25. 25 25 ∴m= 3 .∴m的值为m=3或m= 3 .

25 答案:3或 3

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x2 y2 5.(教材习题改编)设P是椭圆25+16=1上的点,若F1,F2是椭圆 的两焦点,则△PF1F2的周长为________.

解析:l=|PF1|+|PF2|+|F1F2| =2a+2c=10+6=16. 答案:16

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1.椭圆的定义中若|F1F2|=2a时动点的轨迹是线段F1F2, |F1F2|>2a时动点的轨迹是不存在的.

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2.椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图), 它的三边长分别为a、b、c.易见c2=a2-b2,且 c 若记∠OF1B2=θ,则cosθ=a=e.

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[精析考题] x2 y2 1 [例1] (2011· 江西高考)若椭圆a2+b2=1的焦点在x轴上,过点(1,2)作圆 x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和 上顶点,则椭圆方程是________.

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[自主解答]

1 由题可设斜率存在的切线的方程为y-2=k(x-

|-2k+1| 1)(k为切线的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由 =1, 2 4k +4 3 解得k=-4,所以圆x2+y2=1的一条切线方程为3x+4y-5= 3 4 0,求得切点A(5,5),易知另一切点B(1,0),则直线AB的方程 为y=-2x+2.令y=0的右焦点为(1,0),令x=0得上顶点为 x2 y2 (0,2).∴a2=b2+c2=5,故得所求椭圆方程为 5 + 4 =1.
[答案] x2 y2 5 + 4 =1

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x2 y2 本例变为“若椭圆a2+b2=1的焦点在x轴上,过点P(4,4)作PF1与圆 C(x-m)2+y2=5(m<3)相切,且圆C与椭圆的一个公共点为A(3,1)”, 问题不变.

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[解析] ∵A点在圆上,∴(3-m)2+1=5. 又m<3,∴m=1. 设F1(-c,0),∵P(4,4), ∴PF1:4x-(4+c)y+4c=0.

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|4+4c| 又直线PF1与圆相切,∴ 2= 5. 16+?4+c? ∴c=4.① 9 1 又∵a2+b2=1,② 由①②得a2=18,b2=2. x2 y2 ∴椭圆方程为18+ 2 =1.

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
x2 y2 1.(2011· 温州三模)已知 F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P a b 1 为椭圆上的一个动点,若△PF1F2 的周长为 12,离心率 e= ,则此 2 椭圆的标准方程为________.

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c 解析:由于△PF1F2的周长为2a+2c=12,椭圆的离心率e=a 1 x2 y2 =2,故a=4,c=2,b2=12,椭圆的标准方程为16+12=1.
x 2 y2 答案:16+12=1

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2.(2012· 南通模拟)椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦 点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是 3,则这个 椭圆方程为________.

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?a-c= 3, ? 解析:由题意知?c 1 ?a=2, ?
?a=2 3, ? 解得? ?c= 3. ?

x2 y2 ∴椭圆方程为12+ 9 =1 y2 x2 或12+ 9 =1.
x2 y2 y2 x2 答案:12+ 9 =1或12+ 9 =1

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[冲关锦囊] 1.一般地,解决与到焦点的距离有关的问题时,首 先应考虑用定义来解题. 2.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是 在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.

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x2 y2 x2 y2 (2)设方程:根据上述判断设方程a2+b2=1(a>b>0)或b2+a2 =1(a>b>0). (3)找关系:根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组. (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. x2 y2 注意:当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时,可设为m+ n = 1(m>0,n>0,m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B).

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[精析考题] [例2] (2011· 新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为 2 原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为 2 .过F1的直线l交C于A,B两 点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________.

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[自主解答]

x2 y2 根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为a2+b2

2 c 2 =1(a>b>0),∵e= 2 ,∴a= 2 .根据△ABF2的周长为16得4a=16, x2 y2 因此a=4,b=2 2,∴椭圆方程为16+ 8 =1.
[答案] x2 y2 16+ 8 =1

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3 3.(2012· 宁波十校联考)已知椭圆的中心为原点,离心率e= 2 , 且它的一个焦点与抛物线x2=-4 3y的焦点重合,则此椭圆 方程为 y2 A.x + 4 =1
2

( x2 2 B. 4 +y =1 x2 y2 D. 4 +16=1

)

x2 y2 C.16+ 4 =1

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解析:抛物线的焦点为(0,- 3 ),椭圆的中心在原点,则所求椭圆 c 3 的一个焦点为(0,- 3 ),即半焦距c= 3 ,又离心率e= a = 2 ,所 y2 以a=2,b=1,故所求椭圆方程为x + 4 =1.
2

答案: A

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x2 4.(2011· 温州五校第二次联考)已知P是以F1,F2为焦点的椭圆a2

???? ???? y2 1 +b2=1(a>b>0)上的一点,若 PF1 · 2 =0,tan∠PF1F2=2,则 PF
此椭圆的离心率为 1 A.2 1 C.3 2 B.3 5 D. 3 ( )

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???? ???? 1 解析:由 PF1 · 2 =0,得△PF1F2为直角三角形,由tan∠PF1F2=2, PF
设|PF2|=s,则|PF1|=2s,又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c= a2-b2 ),即4c2= 5 3s c 5 5s ,c= 2 s,而|PF2|+|PF1|=2a=3s,∴a= 2 .∴离心率e=a= 3 .
2

答案: D

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[冲关锦囊]
x2 y2 1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆a2+b2=1, 有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等,在求与椭圆有关的一些量 的范围,或者求这些量的最大值或最小值时,经常用到这些不 等关系.

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2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行 分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图 形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基

本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间
的内在联系.

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3.求椭圆离心率问题,应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其 中的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范
2 2 c2 a -b b2 b 围.离心率e与a、b的关系:e2=a2= a2 =1-a2?a= 1-e2.

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[精析考题] x2 y2 [例3] (2011· 天津高考)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率e; (2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x+1)2+(y 5 - 3)2=16相交于M,N两点,且|MN|=8|AB|,求椭圆的方程.

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[自主解答]

(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),

因为|PF2|=|F1F2|,所以 ?a-c?2+b2=2c. c c 整理得2(a)2+a-1=0. c c 1 1 得a=-1(舍),或a=2.所以e=2.

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(2)由(1)知a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2, 直线PF2的方程为y= 3(x-c). A,B两点的坐标满足方程组
?3x2+4y2=12c2, ? ? ?y= 3?x-c?. ?

消去y并整理,得5x2-8cx=0.

8 解得x1=0,x2=5c.得方程组的解 8 ? x2=5c, ?x1=0, ? ? ? ? ?y=- 3c, ? ?y2=3 3c. 5 ?

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8 3 3 不妨设A(5c, 5 c),B(0,- 3c), 所以|AB|= 8 3 3 16 ?5c?2+? 5 c+ 3c?2= 5 c.

5 于是|MN|=8|AB|=2c.圆心(-1, 3)到直线PF2的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| d= = . 2 2 |MN| 3 因为d2+( 2 )2=42,所以4(2+c)2+c2=16.整理得7c2+12c-52 26 x2 y2 =0,得c=- 7 (舍),或c=2.所以椭圆方程为16+12=1.

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
5.(2012· 合肥模拟)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(- 3,0)和 3 F2( 3,0),且椭圆过点(1,- 2 ). (1)求椭圆方程; 6 (2)过点(-5,0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A 为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.

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x2 2 解:(1)由题意,即可得到 4 +y =1. 6 (2)设直线MN的方程为x=ky-5, 6 ? ?x=ky-5, 联立直线MN和曲线C的方程可得? 2 ?x +y2=1, ?4

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12 64 得(k +4)y - 5 ky-25=0,
2 2

设M(x1,y1),N(x2,y2),A(-2,0), 64 12k ,y1+y2= 2 , 25?k2+4? 5?k +4? ???? ???? ? 则 AM · =(x1+2,y1)· 2+2,y2) (x AN y1y2=- 4 16 =(k +1)y1y2+5k(y1+y2)+25=0,
2

π 即可得∠MAN=2.

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[冲关锦囊]
1.直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立,通过讨论此方程组 的实数解的组数来确定,即用消元后的关于x(或y)的 一元二次方程的判断式Δ的符号来确定:当Δ>0时, 直线和椭圆相交;当Δ=0时,直线和椭圆相切;当

Δ<0时,直线和椭圆相离.

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2.直线和椭圆相交的弦长公式: |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 或|AB|=
? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2]. k? ?

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3.直线与椭圆相交时的常见处理方法 当直线与椭圆相交时:涉及弦长问题,常用“根与系

数的关系”,设而不求计算弦长;涉及到求平行弦中
点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平 分的弦所在的直线方程问题,常用“差分法”设而不 求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点 坐标联系起来,相互转化.

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解题样板(十二)圆锥曲线解答题的步 骤规范

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[考题范例] x2 2 (14分)(2011· 北京高考)已知椭圆G: 4 +y =1.过点(m,0)作圆x2+y2 =1的切线l交椭圆G于A,B两点. (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.

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[步步满分] 解:(1)由已知得a=2,b=1, 所以c= a2-b2= 3.(2分) 所以椭圆G的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), c 3 离心率为e=a= 2 .(4分)

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(2)由题意知,|m|≥1. 当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为 3 3 (1, 2 ),(1,- 2 ),此时|AB|= 3.(5分) 当m=-1时,同理可得|AB|= 3.(6分) 当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m). ?y=k?x-m?, ? 2 由 ?x 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.(7分) 2 ? 4 +y =1, ?

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设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2-4 8k2m x1+x2= ,x1x2= .(8分) 1+4k2 1+4k2 |km| 又由l与圆x +y =1相切,得 2 =1,即m2k2=k2+1.(9分) k +1
2 2

所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]=
2 2 64k4m2 4?4k m -4? 4 3|m| ?1+k2?[ - ]= 2 .(11分) ?1+4k2?2 1+4k2 m +3

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由于当m=± 1时,|AB|= 3, 所以|AB|= 因为|AB|= 4 3|m| ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).(12分) m2+3 4 3|m| 4 3 = 2 3 ≤2,且当m=± 3时,|AB|=2, m +3 |m|+|m|

所以|AB|的最大值为2.(14分)

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[模板建构] 解答本题时易忽略的步骤 (1)对m的范围不作出判断. (2)判断出m的范围后不去分m=-1,m=1.|m|>1进行分类讨论. (3)化简|AB|= 4 3|m| 4 3m 时,易忽略m的范围而化简|AB|为 2 . m2+3 m +3

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(4)对|AB|的最值求法不会使用基本不等式变形,求最值.

对于直线与椭圆的综合问题,因为其综合性强,运算量大,
能力要求较强,注意平时训练要严谨,以提高综合 解题能力.

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