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2012安徽文数(解析完整版)


2012 安徽高考(文科数学)
第一部分 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (2012 全国理 1)复数 z 满足 ( z ? i )i ? 2 ? i ,则 z ? ( A. ?1 ? i 【答案】B 【解析】 ( z ? i )i ? 2 ? i ? z ? i ? B. 1 ? i C. ?1 ? 3i )

D. 1 ? 2i

2?i ? 1? i i

(2012 全国理 2) 设集合 A ? ? x | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3? , 集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域, 则 A? B ? ( A. ?1, 2? 【答案】D 【解析】 A ? {x ?3 ? 2 x ? 1 ? 3} ? [?1, 2] , B ? (1, ??) ? A ? B ? (1, 2] (2012 全国理 3) ? log 3 9 ? ? ? log 3 4 ? ? ( A. ) D.4 ) B. ?1, 2? C. ?1, 2? D. ?1, 2?

1 4

B.

1 2

C.2

【答案】D 【解析】 log 2 9 ? log 3 4 ?

lg 9 lg 4 2 lg 3 2 lg 2 ? ? ? ?4 lg 2 lg 3 lg 2 lg 3
) B.不存在实数 x , x ? 1 D.存在实数 x , x ? 1

(2012 全国理 4)命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是( A.对任意实数 x , 都有 x ? 1 C.对任意实数 x , 都有 x ? 1 【答案】C 【解析】存在任意, x ? 1 --- x ? 1

(2012 全国理 5)公比为 2 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 =( A.1 【答案】A 【解析】 a3 a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 2 ? a5 ? 1
2 2



B.2

C.4

D.8

(2012 全国理 6)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( A.3 B.4 C.5 D.8



【答案】B 【解析】 x y

1 1

2 2

4
3

8

4


(2012 全国理 7) 要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象, 只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 ( A.向左平移 1 个单位 C.向左平移 【答案】C 【解析】 y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+ 1 ,平移 B.向右平移 1 个单位 D.向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2

1 2


?x ? 0 ? (2012 全国理 8)若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最小值是( ?2 x ? y ? 3 ?
A. ?3 【答案】A 【解析】约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B (0, ), C (1,1) ,则 B.0 C.

3 2

D.3

3 2

t ? x ? y ? [?3, 0]
(2012 全国理 9)若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a ) 2 ? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围 是( ) B. ? ?1,3? C. ? ?3,1? D. ? ??, ?3? ??1, ???

A. ??3, ?1? 【答案】C

【解析】圆 ( x ? a ) 2 ? y 2 ? 2 的圆心 C (a, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d 则d ? r ?

2?

a ?1 2

? 2 ? a ? 1 ? 2 ? ?3 ? a ? 1

(2012 全国理 10)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( A. )

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

【答案】B 【解析】1 个红球,2 个白球和 3 个黑球记为 a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , c3

从袋中任取两球共有 a1, b1 ; a1 , b2 ; a1 , c1; a1, c2 ; a1, c3 ; b1, b2 ; b1, c1; b1, c2 ; b1, c3 ; b2 , c1; b2 , c2 ;

b2 , c3 ; c1 , c2 ; c1 , c3 ; c2 , c3 15 种;
满足两球颜色为一白一黑有 6 种,概率等于

6 2 ? 15 5

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

? b ,则 a ? _____. (2012 全国理 11) 设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m).若(a ? c)
【答案】 2

b ? 3(m ? 1) ? 3m ? 0 ? m ? ? 【解析】 a ? c ? (3,3m), ( a ? c)?

? ?

? ? ?

? 1 ?a ? 2 2

(2012 全国理 12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是______.

【答案】56 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱 几何体的体积是 V ?

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? 4 ? 56 2

(2012 全国理 13)若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3, ??) ,则 a =______. 【答案】 ?6 【解析】由对称性: ?

a ? 3 ? a ? ?6 2

(2012 全国理 14) 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, 若 | AF |? 3 , 则 | BF | =______. 【答案】

3 2

【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3

1 2 3 ? . 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2 (2012 全国理 15)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB ? CD , AC ? BD ,
得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

AD ? BC ,则________(写出所有正确结论编号). ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直

②四面体 ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90? 而小于 180? ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【答案】②④⑤ 【解析】②四面体 ABCD 每个面是全等三角形,面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180? ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (2012 全国理 16)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。
(Ⅰ)求角 A 的大小; (II)若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 【解析】 (I) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B ? cos A ?
(II) a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b ? a ? c ? B ?
2 2 2 2 2 2

?
2

1 ? ? A? 2 3

在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB 2 ? BD 2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 2 2
1 ? b(a ? 0) ax

(2012 全国理 17)设定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 【解析】 (I) f ( x) ? ax ?

3 x ,求 a, b 的值。 2

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 ax ax

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 a 3 1 3 (II)由题意得: f ?1? ? ? a ? ? b ? ① 2 a 2
当且仅当 ax ? 1( x ?

f ?( x) ? a ?

1 1 3 ? f ?(1) ? a ? ? 2 ax a 2



由①②得: a ? 2, b ? ?1 (2012 全国理 18)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 毫米时,则视为合格 品,否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取 5000 件进行检测,结果发现有 50 件不合格品。计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的 差(单位:毫米),将所得数据分组, 得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 0.1 8 0.5 10

??3, ?2?
??2, ?1?
?1, 2?

? 2,3? ? 3, 4?
合计

50

1

(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品直径长与标准值的差落在区间 ?1,3? 内的概率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品。据此估算这批 产品中的合格品的件数。 【解析】 (I) 分组 频数 频率 0.1

??3, ?2?
??2, ?1?
?1, 2? ? 2,3? ? 3, 4?
合计

5
8

0.16
0.5

25
10

0.2 0.4
1

2
50

(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间 ?1,3? 内的概率为 0.5 ? 0.2 ? 0.7

(Ⅲ)合格品的件数为 20 ?

5000 ? 20 ? 1980 (件) 50

(2012 全国理 19) 如图, 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 A1 B1C1 D1 是正方形, O 是 BD 的中点, E 是棱 AA1 上任意一点。 (Ⅰ)证明: BD ? EC1 ; (Ⅱ)如果 AB ? 2 , AE ? 【解析】 (I)连接 AC , AE / / CC1 ? E , A, C , C1 共面 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形

2 , OE ? EC1 ,,求 AA1 的长。

AC ? BD, EA ? BD, AC ? EA ? A ? BD ? 面 EACC1 ? BD ? EC1
(Ⅱ)在矩形 ACC1 A1 中, OE ? EC1 ? ?OAE ? ?EA1C1 得:

AE A1C1 ? ? AO EA1

2 AA1 ? 2 ? ? AA1 ? 3 2 2 2 2

(2012 全国理 20) 如图,F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 (a ? b ? 0) ? ?1 a 2 b2

的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交 点, ?F1 AF2 ? 60
?

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知 ?AF1 B 的面积为 40 3 ,求 a , b 的值. 【解析】 (I) ?F1 AF2 ? 60 ? a ? 2c ? e ? (Ⅱ)设 BF2 ? m ;则 BF1 ? 2a ? m 在 ?BF1 F2 中 BF1 ? BF2 ? F1 F2 ? 2 BF2 ? F1 F2 ? cos120
2 2 2

?

c 1 ? a 2

?

3 ? (2a ? m) 2 ? m 2 ? a 2 ? am ? m ? a 5

?AF1 B 面积 S ? 1 ? F2 F1 ? AB ? sin 60? ? 1 ? a ? (a ? 3 a ) ? 3 ? 40 3 2 2 5 2

? a ? 10, c ? 5, b ? 5 3
(2012 全国理 21)设函数 f ( x) ?

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 2

{xn } .
(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n . 【解析】

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值 得:当 x ? 2k? ? 3 2? 得: xn ? 2n? ? 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 3 2n? 2n? S n ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 3 3
(I) f ( x) ? 当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin S n ? sin( ?2k? ) ? 0 当 n ? 3k ? 1(k ? N * ) 时, sin S n ? sin

2? 3 ? 3 2 4? 3 ?? 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin S n ? sin 得: 当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin S n ? 0 当 n ? 3k ? 1(k ? N * ) 时, sin S n ?

3 2 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin S n ? ?


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