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高二数学选修2-1试题(2013.12)


高二数学 2-1 试题(选修)
一.选择题 1.下列命题是真命题的是 A、 “若 x ? 0 ,则 xy ? 0 ”的逆命题; B、 “若 x ? 0 ,则 xy ? 0 ”的否命题; C、若 x ? 1 ,则 x ? 2 ; D、 “若 x ? 2 ,则 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ”的逆否命题 2.已知 p: 2 ? 2 ? 5 ,q: 3 ? 2 ,

则下列判断中,错误的是 .. A、p 或 q 为真,非 q 为假; C、p 且 q 为假,非 p 为假; B、p 且 q 为假,非 p 为真; D、p 且 q 为假,p 或 q 为真;

3.命题“ ?x ? R, x 2 ? 3 x ? 8 ? 0 ”的否定是 A、 ?x ? R, x 2 ? 3 x ? 8 ? 0 C、 ?x ? R, x 2 ? 3 x ? 8 ? 0 4.抛物线 y ? x2 的焦点坐标是 A. ?1,0 ? B、 ?x ? R, x 2 ? 3 x ? 8 ? 0 D、 ?x ? R, x 2 ? 3 x ? 8 ? 0

?1 ? B. ? , 0 ? ?4 ?

? 1? C. ? 0, ? ? 8?

? 1? D. ? 0, ? ? 4?

5.经过点 M (2 6,?2 6 ) 且与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同渐近线的双曲线方程为 4 3

A.

2 2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 ? ? 1 B. y ? x ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 6 8 8 6 8 6 6 8

x2 y3 ? ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 6.已知△ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 4 3

一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 A.2 3 B. 8 C. 4 3 D. 4
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? ? 7.三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c, 则A1B ?
1

A. a ? b ? c

B. a ? b ? c

C. ? a ? b ? c

D. ? a ? b ? c

8. 关于曲线 | x | ? | y | ? 1 所围成的图形,下列判断不正确的是 ... A.关于直线 y = x 对称 C.关于原点对称 B.关于 y 轴对称 D.关于 x 轴对称

9. 若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为 10 和 6,则该点横 坐标为 A.6 B.8 C.1 或 9 D.10 10.下列各组向量中不平行的是 ... ? ? ? ? A. a ? (1,2,?2),b ? (?2,?4,4) B. c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0)

? ? C. e ? (2,3,0), f ? (0,0,0)

? ? D. g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40)

11. 若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

1 12. 抛物线 y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,且 x1 ? x 2 ? ? , 2 则 m 等于 3 5 A. 2 B. C. D. 3 2 2 二.填空题 b 13. A : x1 , x2 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实数根; B : x1 ? x2 ? ? , a 则 A 是B 的 条件。

14.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为_____。

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

15、 “神舟七号” 飞船的运行轨道是以地球球心为一个焦点的椭圆。 设地球半径为 R, “神 且 舟七号”飞船离地面的最大距离和最小距离分别是 H 和 h,则“神舟七号”飞船的运行轨 道的离心率是 。 三.解答题(本大题共 6 小题,共 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 8 分) 已知下列三个方程:

x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x2 ? (a ?1) x ? a2 ? 0, x2 ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有实数根,求实数 a 的
2

取值范围。

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

18.(本小题满分 8 分) 一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成,如图所示.一辆卡车 运载一个长方形的集装箱,此箱平放在车上与车同宽,车与箱的高度共计 4.2 米,箱宽 3 米,若要求通过隧道时,车体不得超过中线.试问这辆卡车是否能通过此隧道,请说明理 由.

2m

3m

10m

19.(本小题满分 8 分) 如图,在平行六面体 ABCD-A1BC1D1 中,O 是 B1D1 的中点, 求证:B1C∥面 ODC1。
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

20.(本小题满分 8 分) 设 P 是椭圆
x2 ? y 2 ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,求 PQ 的最大值。 a2
3

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21.(本小题满分 10 分) 如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE和AD 的交点, AC ? BC ,且 AC ? BC 。 (1)求证: AM ? 平面EBC ;
E
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D

(2)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小; (3)求二面角 A ? EB ? C 的大小不。
A

M

C

B

22.(本小题满分 10 分) 已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切.
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; ??? ???? ? (2) 是否存在直线 l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

4

高二数学 2-1(选修)参考答案
一.选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C A D B B C A C D A B 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分。把答案填在横线上。 ) 13.充分条件 14. ?1 15.
H ?h 2R ? H ? h

16. 2, 6

三.解答题(本大题共 6 小题,共 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 8 分) 解:假设三个方程:

x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x2 ? (a?) x ? a2 ? 0, x2 ? 2ax ? 2a ? 0

















1 ? 3 ?? 2 ? a ? 2 ??1 ? (4a)2 ? 4(?4a ? 3) ? 0 ? ? 1 3 ? 2 2 ,即 ?a ? , 或a ? ?1 ,得 ? ? a ? ?1 ?? 2 ? (a ? 1) ? 4a ? 0 y 3 2 ? ? ?1 ? (2a)2 ? 4(?2a) ? 0 ??2 ? a ? 0 ? ? ?
3 ? a ? ? , 或a ? ?1。 2 18. (本小题满分 8 分) 解:建立如图所示的坐标系,
2m

O 3m
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x

则此隧道横截面的椭圆上半部分方程为:

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) . 25 4

10m

令 x ? 3 ,则代入椭圆方程,解得 y ? 1.6 ,因为 1.6 ? 3 ? 4.6 ? 4.2 , 所以,卡车能够通过此隧道. 19.(本小题满分 8 分)

? ? ? 证明:设 C1 B1 ? a,1 D1 ? b ,1C ? c ,则 C C
5

? ? 1 ? ? B1C ? c ? a,1O ? (a ? b ), C 2 ? ? 1 1 ? ? ? OD1 ? (b ? a), ? (b ? a) c。 OD ? 2 2

若存在实数x,y,使得B1C ? x OD1 ? yOC1 x,y ? R)成立, ( ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 1 ? ? ? ? 1 1 则c ? a ? x ? (b ? a) c ? ? y ?? (a ? b) ? ? (x ? y)a ? (x ? y)b ? xc ? ? 2 2 ?2 ? ? 2 ?

?1 ( ? ? 2 x ? y) 1 ? ?x ? 1 ? ? ? ?1 ? ∵ a,b ,c 不同面, ? (x ? y) 0即? ∴ ?y ?1 ?2 ? ?x ? 1 ?
∴ B1C ? OD ? OC1,

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∵ B1C, , 1为共面向量,且 1C不在OD OC1所确定的平面 ∴ OD OC B , ODC1内。

B1C // 平面ODC1,即B1C // 平面ODC1。
20. (本小题满分 8 分) 解: 依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x2+(y-1)2 ,又因为 Q 在椭圆上, 1 )2 1-a2

所以,x2=a2(1-y2) , |PQ|2= a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2=(1-a2)(y- 1 2 . 2+1+a 1-a



1 1 a2 a2-1 因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则| |≤1, 当 y= 时, |PQ|取最大值 2 ;若 1-a2 1-a2 a -1
z

1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2.

E

D

M
6

A x

y C

21. (本小题满分 10 分) 解: ∵四边形 ACDE 是正方形 ,
? EA ? AC, AM ? EC ,

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

∵平面 ACDE ? 平面 ABC , ? EA ? 平面 ABC , ∴可以以点 A 为原点, 以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴, 分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . 设 EA ? AC ? BC ? 2 ,则
A(0,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), E(0,0,2) ,
? M 是正方形 ACDE 的对角线的交点,

? M (0,1,1) .

(1) AM ? (0,1,1) , EC ? (0,2,0) ? (0,0,2) ? (0,2,?2) , CB ? (2,2,0) ? (0,2,0) ? (2,0,0) ,

? AM ? EC ? 0, AM ? CB ? 0 ,
? AM ? EC, AM ? CB
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? AM ? 平面 EBC . (2) ? AM ? 平面 EBC ,

? AM 为平面 EBC 的一个法向量,

? AM ? (0,1,1), AB ? (2,2,0) ,
? cos AB, AM ? 1 ? . AB ? AM 2 AB ? AM

? AB, AM ? 60? .
∴直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30 ? . (3) 设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? AE 且 n ? AB ,

7

? n ? AE ? 0 且 n ? AB ? 0 .

?(0,0,2) ? ( x, y, z) ? 0, ?? ?(2,2,0) ? ( x, y, z ) ? 0.

? z ? 0, 即? ? x ? y ? 0.

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取 y ? ?1 ,则 x ? 1 , 则 n ? (1,?1,0) . 又∵ AM 为平面 EBC 的一个法向量,且 AM ? (0,1,1) ,

? cos n, AM ?

1 ?? , 2 n ? AM
1 , 2

n ? AM

设二面角 A ? EB ? C 的平面角为 ? ,则 cos ? ? cos n, AM ?
?? ? 60? . ∴二面角 A ? EB ? C 等于 60 ? .
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22.(本小题满分 10 分) 解:(1)如图,设 M 为动圆圆心, F ?1,0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N , 由题意知: MF ? MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?1 的距离相等,由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为 抛物线,其中 F ?1,0 ? 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x (2)由题可设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1)(k ? 0) , ? x ? k ( y ? 1) 由? 2 得 y 2 ? 4ky ? 4k ? 0 ? y ? 4x △ ? 16k 2 ? 16 ? 0 , k ? ?1或k ? 1 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? 4k ??? ? ???? ??? ???? ? 由 OP ? OQ ? 0 ,即 OP ? ? x1 , y1 ? , OQ ? ? x2 , y2 ? ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

即 k 2 ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? 0 , (k 2 ?1) y1 y2 ? k 2 ( y1 ? y2 ) ? k 2 ? 0 ,

, 4k (k 2 ? 1) ? k 2 ? 4k ? k 2 ? 0 ,解得 k ? ?4 或 k ? 0 (舍去) 又 k ? ?4 ? ?1 , ∴ 直线 l 存在,其方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 .

N
A

M

x

o

F ?1,0 ?

8

x ? ?1


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