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专题07 离心率的求值或取值范围问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)


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【高考地位】 圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点 ,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力 立意”的指导思想,离心率问题综合性较强 ,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能 力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度 ;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容 ,具有数学的实 用性和美学价值,也是以

后进一步学习的基础. 【方法点评】 方法 1 定义法 解题模板:第一步 根据题目条件求出 a, c 的值 第二步 代入公式 e ?

c ,求出离心率 e . a

[来源:学&科&网]

例 1. 若椭圆经过原点,且焦点为 F1 ?1,0 ? 、 F2 ?3,0 ? ,则其离心率为(
A.

) D.

3 4

B.

2 3

C.

1 2

1 4

【变式演练 1】点 P(-3,1)在 椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左准线上,过点 P 且方向为 a ? ?2,?5? 的 a2 b2


光线,经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(

A

3 3

B

1 3

C

2 2

D

1 2

方法 2

方程法

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解题模板:第一步 设出相关未知量; 第二步 根据题目条件列出关于 a, b, c 的方程; 第三步 化简,求解方程,得到离心率. 例 2. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 ,F2 ,P 是准线上一点, 且 PF1 ? PF2 , a 2 b2


PF1 PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是(
A. 2 B. 3 C. 2

D. 3

例 3. 已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点, b2
w.w.w.zxxk .

若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m





A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

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【变式演练 2】设双曲线 率等于( )

x2 y 2 - =1 ? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离心 a 2 b2

(A) 3

(B)2

(C) 5

(D) 6

[来源:学|科|网]

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【变式演练 3】如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, a 2 b2

F 为其右焦点,直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该
椭圆的离心率为 ▲ .

方法 3 解题模板:第一步

借助平面几何图形中的不等关系

根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对 称的性质中的最值等得到不等关系,

第二步 将这些量结合曲线的几何性质用 a, b, c 进行表示,进而得到不等式,

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第三步 解不等式,确定离心率的范围. 例 4 已知椭圆的中心在 O ,右焦点为 F ,右准线 为 l ,若在 l 上存 在点 M ,使线段 OM 的垂直平分线经过 点 F,则椭圆的离心率的取值范围是(
2 ? A. ? ,1? ? ? 2 ? ?
3? B. ? ? 0, ? ? ? 2 ?


2? D. ? ? 0, ? ? ?

3 ? C. ? ? ,1? ? 2

? ?

2 ?

【点评】离心率的范围实质 为一个不等式关系,如何构建 这种不等关系?可以利用方程和垂直平分线性质 构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化. 【变式演练 4】已知椭圆 C1 :
[

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上存在点 P,使得 2 a b


由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是( A. [ ,1)

1 2

B. [

2 3 , ] 2 2

C. [

2 ,1) 2

D. [

3 ,1) 2

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方法 4 借助题目中给出的不等信息 解题模板:第一步 找出试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,? 的 范围等; 第二步 列出不等式,化简得到离心率的不等关系式,从而求解. 例 5 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点 O 的对称点为 B, F 为其右焦点,若 AF ? BF , 设 a 2 b2
.

?? ? ? ?ABF ? ? , 且 ? ? ? , ? , 则椭圆离心率的取值范围是 ?12 4 ?

【答案】 [

2 6 , ] 2 3

[来源:Zxxk.Com]

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【变式演练 5】 【2014 江西赣州期末联考】过椭圆 C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线

1 1 交椭圆 C 于另 一个点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若 <k< , 则椭圆的离心率的取值范 2 3

围是

.

方法 5 借助函数的值域求解范围 解题模板:第一步 根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变 量的函数关 系式; 第二步 通过确定函数的定义域; 第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
[来源:Z#xx#k.Com]

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例 6.已知椭圆 C1 : 围为( A. ( )

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 ,则椭圆 C1 的离心率 e 的取值范 ? 1 与双曲线 C2 : ? m?2 n m n

2 ,1) 2

B. (0,

2 ) 2

C. (0,1)

D. (0, )

1 2

【答案】A

【变式演练 6】 已知两定点 A(?2,0) 和 B(2,0) , 动点 P( x, y) 在直线 l : y 为焦点且经过点 P ,则椭圆 C 的离心率的最大值为( A. )

? x ? 3 上移动,椭圆 C 以 A, B

2 26

B.

4 26

C.

2 13

D.

4 13

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【高考再现】

x y2 1.【2012 高考真题浙江理 8】如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a,b>0)的左、右焦点,B 是虚 a b
轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若 |MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )

2

A.

2 3 3

B.

6 2

C. 2

D.

3

【答案】B

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b ? y ? x ? b, ? ac b bc ? c , ) ,联立 【解析】由题意知直线 F1 B 的方程为: y ? x ? b ,联立方程组 ? 得点 Q ( c?a c?a c ?x ? y ? 0 ? ?a b

2.【2012 高考真题新课标理】设 F1 F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上 2 a b 2


一点, ?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【答案】C 【解析】

x2 y2 3.【2012 高考真题江西理】椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1, a b

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F2.若 AF1 , F1F2 , F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.

【答案】

5 5

【命题立意】本题考查椭圆的几何性质,等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率.

4【2013 年高考新课标 1(理) 】已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方 2 a b 2
( )

程为 A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

5【2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) 】如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的 4


公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(





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A. 2

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a.

x2 y 2 6【2013 年高考湖南卷(理) 】设 F1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的两 个焦点,P 是 C 上一点,若 a b

PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为___.

7.【2014 高考广东卷理第 4 题】若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k

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) A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等

8.【2014 高考湖北卷理第 9 题】已知 F1 , F2 是椭圆和双曲 线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且

?F1PF2 ?
A.

?
3

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(



4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

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9.【2014 江西高考理第 16 题】过点 M (1,1) 作斜率为 ?

x2 y 2 1 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 相交于 a b 2
.

A, B ,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为

10.【2014 山东高考理第 10 题】 已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,双曲线 C2 的方程为 a2 b2

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x2 y 2 3 ? 2 ? 1 , C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 a b 2
A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0



11.【2014 浙江高考理第 16 题】设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )两条渐近 a2 b2

线分别交于点 A, B ,若点 P(m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率是__________

x2 y2 12.【2014 重庆高考理第 8 题】设 F1,F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上 a b

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9 存在一点 P 使得 | PF1 | ? | PF2 |? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? ab, 则该双曲线的离心率为( 4 5 9 4 A. B. C. D.3 3 3 4



13.【2014 高考北京理第 19 题】已知椭圆 C : x ? 2 y ? 4 .
2 2

(1)求椭圆 C 的离心率; (2) 设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y ? 2 上, 且 OA ? OB , 试判断直线 AB 与圆 x ? y ? 2
2 2

的位置关系,并证明你的结论.

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考点:椭圆的性质,直线与圆的位置关系. 14.【2014 高考福建理第 19 题】已知双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别为 a2 b2

l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x .
(1)求双曲线 E 的离心率;

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(2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一, 四象限) ,且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

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若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为

x2 y2 ? ? 1 .以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时, 双曲线 E: 4 16

x2 y2 ? ? 1 也满足条件. 4 16

【反馈练习】 1.【广州市珠海区 2014 年高三 8 月摸底考试 7】已知抛物线 y ? 4 x 与 双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 有 a 2 b2

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相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为( A. 2 ? 2 B. 5 ? 1 C. 3 ? 1 D. 2+1

).

2 2 y2 2.【四川省成都市 2015 届高中毕业班摸底测试 10】如图,已知椭圆 C1 : x ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 : x 2 ? 2 ? 1 (a 11 a b

>0,b>0),若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A,B 两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线 段 AB 三等分,则 C2 的离心率为( A、5 C、 5 B、 17 D、 2 14 7 ).

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3.【河北省“五个一名校联盟” 2015 届高三教学质量监测(一)15】已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的右焦点为 F,由 F 向其渐近线引垂线,垂足为 P,若线段 PF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率 为 _______ .

所以双曲线的离心率为 2 . 考点:双曲线的性质,两直线的位置关系 4. 【湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高三起点考试 13】 过点 M(1 ,1) 作斜率为 ?
2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )相交于 A,B,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 2 2 a b

1 的直线与 椭 2
.
[

圆C :

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5.【福建省安溪一中、德化一中 2015 届高三 9 月摸底考试,理 9】已知 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,以 F1 F2 为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P ,若双 a 2 b2
曲线的离心率为 5,则 cos ?PF2 F1 等于( A. ). C.

3 5

B.

3 4

4 5

D.

5 6

6.【河南省开封市 20 15 届高三上学期定位考试模拟试题.理 3】已知双曲线方程 4 x ? 3 y ? 12 ,则双曲线
2 2

的离心率为(



Go the distance

A.

7 3

B.

21 3

C.

7 7

D.

7 2

[来源:Z|xx|k.Com]

考点:双曲线方程、离心率. 7.【云南省玉溪 一中 2015 届高三上学期第一次月考试卷,理 12】已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,以坐标原点 O 为圆心, OF1 为半径的圆与双曲线在第一象限的交 a 2 b2
点为 P ,则当 PF1 F2 的面积等于 a 时,双曲线的离心率为 ( A. 2 B. 3
2



C.

6 2

D.2

8.【冀州中学高三上学期第一次月考,理 11】已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2 , O 为双 a2 b2

曲线的中心, P 是双曲线右支上的点, ?PF1 F2 的内切圆的圆心为 I ,且圆 I 与 x 轴相切于点 A ,过 F2 作 直线 PI 的垂线,垂足为 B ,若 e 为双曲线的离心率,则 ( ).

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A. | OB |? e | OA |

B. | OA |? e | OB |

C. | OB |?| OA |

D. | OA | 与 | OB | 关系不确定

[

考点:1.双曲线定义;2.三角形内切圆.

x2 y 2 ? 1 的右焦点为(3,0) 9.【河南八校 2014-2015 学年上学期第一次联考,理 13】已知双曲线 2 ? ,,则该 a 5
双曲线的离心率等于 .

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10.【福建省安溪一中、德化一中 2015 届高三 9 月摸底考试,理 19】 (本小题满分 13 分) 如图,设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,点 B, F2 关于 F1 对称,且 a 2 b2

AB ? AF2
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) 已知 P 是过 A, B, F2 三点的圆上的点, 若 ?AF1 F2 的面积为 3 , 求点 P 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 距 离的最大值.

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→ → x2 y2 11.椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 M 上任一点,且|PF1|· |PF2|的最大 值的 a b 取值范围是[2c2,3c2],其中 c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是( A .[ C.[ 3 2 , ] 3 2 3 ,1] 3 B.[ ) 2 ,1] 2

1 1 D.[ , ] 3 2

x2 y2 12.已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 a b 于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( A.(1, 3) C.(1+ 2,+∞) B.( 3,2 2) D.(1,1+ 2) )

13.(2014 山东济南一模)已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点,设左右焦

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点分别为 F1,F2,P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点, ? PF1F2 是以 PF1 为底边 的等腰三角形,若椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1,e2,则 e1· e2 的取值范围是( (A)( ) (C) (

1 ,+ ? ) 9

(B)(

1 ,+ ? ) 5

1 ,+ ? ) 3

(D)(0,+ ? )

【答案】C 【解析】

14.已知 F1,F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左右两个焦点,过点 F1 作垂直于 x 轴的直线与双曲线的 a 2 b2


两条渐近线分别交于 A,B 两点,△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( (A)(1,2) (B)(1, 5 ) (C)(1 ,5) (D)(

5 ,+ ? )

15.从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一 椭圆离心率 e 的取值范围是________.

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x2 y2 16.F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a> b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点 P,使∠F1PF2=90° ,则椭圆的离心率 a b 的取值范围是________. 【 答案】 2 ≤e<1 2

17.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60° . (1)求椭圆离心率的范围;
[来源:Z§xx§k.Com]

(2)求 证: △PF1F2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

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18. 【广东省华附、省实、广雅、深中 2014 届联考】 在平面直角坐标系中,已知点 F ( 2, 2) 及直线

l : x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 C1 是满足下列两个条 件 的动点 P( x, y) 的轨迹:① PF ? 2d , 其中 d 是 P 到直
?x ? 0 ? . 线 l 的距离;② ? y ? 0 ?2 x ? 2 y ? 5 ?
(1) 求曲线 C1 的方程; (2) 若存在直线 m 与曲线 C1 、椭圆 C2 : 取值范围.

[

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 均相切于同一点,求椭圆 C2 离心率 e 的 a 2 b2

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a 2 ? b2 1 ? 1? 4 , 故e ? 2 a t
2

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得0 ? e ?
2

15 15 , 又 0 ? e ? 1, 故 0 ? e ? . 16 4

所以椭圆 C2 离心率 e 的取值范围是 (0,

15 ). 4

所以椭圆 C2 离心率 e 的取值范围是 (0,

15 ). 4

→ → x2 y2 19.椭圆 2+ 2=1(a>b>c)的两个焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点,且满足F1M· F2M=0. a b (1)求椭圆的离心率 e 的取值范围 ;
[来源:学&科&网]

(2)当离心率 e 取得最小值时,点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为 5 2,求此时椭圆的方程.

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x2 y2 20.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x+y=1 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,其中 O 为坐标原点. a b 1 1 (1)求 2+ 2的值; a b (2)若椭圆的离心率 e 满足 3 2 ≤e≤ ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2

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