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函数的周期性及其应用解题方法


函数的周期性及其应用解题方法
方法提炼 抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形: (1)若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期; (2)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数 的一个周期; (3)若满足 f(x+a)=1/f(x), 则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=1/f(x+a)=f(x), 所以 2a 是函数的 一个周期; (4)若函数满足 f(x+a)=-1/f(x),同理可得 2a 是函数的一个周期; (5)如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则①kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期,即 f(x+kT) =f(x);②若已知区间[m,n](m<n)的图象,则可画出区间[m+kT,n+kT](k∈Z 且 k≠0)上的 图象. 没有等价变形而致误 【典例】 函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1) +f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明; (3)如果 f(4)=1, f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 且 f(x)在(0, +∞)上是增函数, 求 x 的取值范围. 错解:(1)令 x1=x2=1,有 f(1× 1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1,有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4× 4)=f(4)+f(4)=2, f(16× 4)=f(16)+f(4)=3, 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 得 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(3x+1)(2x-6)≤64. ∴-7/3≤x≤5. 分析:(1)从 f(1)联想自变量的值为 1,进而想到赋值 x1=x2=1.(2)判断 f(x)的奇偶性,就 是研究 f(x),f(-x)的关系,从而想到赋值 x1=-1,x2=x.即 f(-x)=f(-1)+f(x).(3)就是要 出现 f(M)<f(N)的形式,再结合单调性转化为 M<N 或 M>N 的形式求解. 正解:(1)令 x1=x2=1, 有 f(1× 1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1), 解得 f(-1)=0.

令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4× 4)=f(4)+f(4)=2, f(16× 4)=f(16)+f(4)=3. 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 解得-7/3≤x<-1/3 或-1/3<x<3 或 3<x≤5. ∴x 的取值范围是

答题指导: 等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”、“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件.如本例中:∵f(x)为偶函数,∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x- 6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64) |(3x+1)(2x-6)| ≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.


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