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江苏省东海高级中学2013届高三阶段检测理科数学试题


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江苏省东海高级中学高三理科数学阶段检测题(10.27)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分)
2 1、设集合 A = ??1, 2,3? , B ? a ? 2, a ? 3 ,若 A ? B ? ?3? ,则实数 a 的值为

?

?

. . .

2、若 ? 角与

8? ? 角终边相同,则在 [0, 2? ] 内终边与 角终边相同的角是 5 4

3、若幂函数 f ? x ? 的图像经过点 A? 4,2? ,则它在 A 点处的切线的斜率为 4、已知函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? ax, ? x ? 1? ? 若 f ? f ? 2?? ? 0 ,则实数 a = ? 2 x ? 5, ? x ? 1? ?
1 ,则 sin y ? cos2 x 的最大值为 3
. .

.

5、已知 sin x ? sin y ?

6、已知 2 tan ? ? sin ? ? 3, ?

?

2

? ? ? 0 ,则 cos(? ?

?

6

) 的值是

7、已知集合 A ? x x ? a ? ? a ? 1? x , a ? R ,若 A 中的所有的整数元素和为 28,则 a 的取值
2

?

?

范围是

.

8、已知命题 p : f ( x) ? 1 ? a ? 3x 在 x ? ?? ?,0? 上有意义,命题 q :函数 y ? lg(ax2 ? x ? a) 的 定义域为 R .如果 p 和 q 有且仅有一个正确,则 a 的取值范围 .

n ) 9 、 已 知 函 数 f ( x) ? 2 s i ?( x? ? ?(?
为 .

.0 ) f ( ) ? 0, f ( ) ? 2 , 则 实 数 ? 的 最 小 值 若

?

?

3

2

y
A B

10、设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C ,动点 A( x, y) 在曲线 C 上, 过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合) ,设线段 AB 的长 为 f ( x ) ,则函数 f ( x ) 在 [0, 11、 已知函数 f ? x ? ? 2 ? a
x

O

?
2
2

] 上单调
?x 2

,在 [

?
2

? 2

?

x

, ? ] 上单调

.

?

? ? ?2
.

? a ? , x ? ? ?1,1? .关于 x 的方程 f ? x ? ? 2a2 有解, 则实数 a

的取值范围是

_____
3 2

12、 已知函数 y ? x ? 3x ? x 的图象 C 上存在一定点 P 满足:若过点 P 的直线 l 与曲线 C 交于 不同于 P 的两点 M(x1, y1),N(x2, y2),就恒有 y1 ? y2 的定值为 y0,则 y0 的值为______. 13、已知函数 f ? x ? ?

x 4 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? x 4 ? x 2 ? 1 ,则其最大值为

.

14、 已知函数 f ? x ? 定义在 D ? ??m, m? ? m ? 2? 上且 f ? x ? ? 0 , 对于任意实数 x, y, x ? y ? D, 都

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f ? x ? y ? ? f ? x? f ? y ? ,



f ?1? ? 1006









g ? x? ?

f ? 2 x ? ? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1006 1 的最大值和最小值分别为 M 和 N ,则 ? f ? x? ?1 f ? x?
.

M ?N= 二、解答题

15、(本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,且其图象上相邻 两对称轴之间的距离为 ? .

2 (1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)若 sin ? ? f (? ) ? ,求 3

2 sin(2? ? ) ? 1 4 的值. 1 ? tan ?

?

16、 (本小题 14 分)已知二次函数

f ? x ? ? x2 ? mx ?1? m ? Z ? ,

且关于 x 的方程 f ? x ? =2 在

1? ? ? ? 3, ? 上有两个不相等的实数根.⑴求 f ? x ? 的解析式.⑵若 x ?? 2,t ? 总有 f ? x ? 5? ? 2x 成立, 2? ?
求 t 的最大值.

y 17、 (本小题 14 分)如图,单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点,单位圆与 y 轴的正半

? 角终边 轴交于点 A ,与钝角 ? 的终边 OB 交于点 B( xB , yB ) ,设 ?BAO ? ? .
B

A

(1)用 ? 表示 ? ;

4 (2)如果 sin ? ? ,求点 B( xB , yB ) 的坐标; 5
(3)求 xB ? yB 的最小值.
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O

x

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? 的扇形金属材料中剪出一个长方形 EPQF , 3 并且 EP 与 ?AOB 的平分线 OC 平行,设 ?POC ? ? .
18、 (本小题 16 分)如图,在半径为 R 、圆心角为 (1)试写出用 ? 表示长方形 EPQF 的面积 S (? ) 的函数; (2)在余下的边角料中在剪出两个圆(如图所示) ,试问 当矩形 EPQF 的面积最大时,能否由这个矩形和两个圆组 成一个有上下底面的圆柱?如果可能,求出此时圆柱的体积.

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19、 (本小题 16 分)设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (1)设 n ? 2 , b ? 1,

(n ? N? , b, c ? R)

?3 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?5 ?

(2)设 n 为偶数, f n ( ?1) ? 1 , f n (1) ? 1,求 3b ? c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 9 ,求 b 的取值范围;

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20 、( 本 小 题 16 分 ) 设 函 数 f ( x ) ? x( x ? 1)( x ? a ) (a ? R) , f ( x ) 的 两 个 极 值 点 为 A(? , f (? )), B( ? , f ( ? )) , 线段 AB 的中点为 M . (1) 如果函数 f ( x ) 为奇函数,求实数 a 的值;当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 图象的对称中心; (2) 如果 M 点在第四象限,求实数 a 的范围; (3) 证明:点 M 也在函数 f ( x ) 的图象上,且 M 为函数 f ( x ) 图象的对称中心.

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答案
一、填空题 2? 9? 7? 19? 4 1 1 0 , , ( ? 1、 2、 , 1; ; 3、 ; 4、 1; 5、 ; 6、 ; 7、7,8? ; 8、 ??, ] ? (1, ??) ; 4 5 10 5 10 9 2
9、 3 ; 10、递减,递增; 11、 ? ?,? 2 ?

?

? ? 2,???; 12、2;

13、 2 ; 14、 2012 .

二、解答题
15、解: (1)∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ sin(?? x ? ? ) ? sin(? x ? ? ) ,即 2 sin ? x cos ? ? 0 恒成 立, ∴ cos ? ? 0 ,又∵ 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?
2

.………………………………5 分

又其图象上相邻对称轴之间的距离为 ? ,?T ? 2? ,?? ? 1,? f ( x) ? cos x .…………7 分

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( 2 ) ∵ 原 式 ?

s i n ? ? 2 ?? s 2 c o 1 n ? 2 s ? n ?c , s又 ∵ s i ? ? i o 1? t a n ?

?? s , ∴ c o

2 3

4 1 ? 2 s? i n ? ? o, s c 9 5 5 即 2sin ? cos ? ? ? ,故原式= ? …………………………………14 分 9 9
16、解: (1)由 f ? x ? =2 在 ? ? 3, ? 上有两个不相等的实数根,即

? ?

1? 2?

1? ? g ? x ? ? f ? x ? ? 2 ? x2 ? mx ?1 ? 0 在 ? ? 3, ? 上有两个不相等的实数根, 2? ?
? ? g ? ?3? ? 0 ? 3 8 ? ?1? ? ? m ? ? m ? Z ? ? m ? 2 从而 f ? x ? ? x2 ? 2x ?1 ……… 7 分 ?g ? ? ? 0 2 3 ? ?2? ? m 1 ??3 ? ? ? ? 2 2
(2) 由 f ? x ? 5? ? 2x ,得

x2 ? 10 x ? 16 ? 0 ? 2 ? x ? 8
………14 分

而当 x ?? 2,t ? 总有 f ? x ? 5? ? 2x 成立, tmax ? 8

17 、解:(1)如图 ?AOB ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,?? ? 3? ? 2? . ………………………………5 分 2 2 (2) n ? ? 由s i

3? yB , r ? 1 ,得 yB ? sin ? ? sin( ? 2? ) ? ? cos 2? ? 2 sin 2 ? ? 1 ? 2 ? ( 4 ) 2 ? 1 ? 7 . 又 r 2 5 25

由钝角 ? ,知 xB ? cos? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 24 , ? B (? 24 , 7 ) .…………………………………10 分 25 25 25 (3) 【法一】 xB ? yB ? cos? ? sin ? ? 2 cos( ? ?

? ? 3? 5? 又 ? ? ( , ? ), ? ? ? ( , ) , cos(? ? ? ) ? ?? 1,? 2 ? , ? ? 2 4 4 4 4 2 ? ? ?

? ), 4

? xB ? yB 的最小值为 ? 2 .……………………………………………………………………14 分
【法二】 ? 为钝角,? xB ? 0, yB ? 0, xB ? yB ? 1 ,
2 2

xB ? yB ? ?(? xB ? yB ) ,

(? xB ? yB )2 ? 2( xB ? yB ) ? 2 ,? xB ? yB ? ? 2 ,
2 2

? xB ? yB 的最小值为 ? 2 . ……………………………………………………………………14
分 18、解: (1)由条件得 CP ? R sin ? , EP ? R cos ? ?

CP tan

?
6

? R cos ? ? 3R sin ? ,

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从而 S (? ) ? 2R sin ? ( R cos? ? 3R sin ? ) .……………………………………4 分 (2)由(1)得 S (? ) ? R [sin 2? ? 3(1 ? cos 2? )] ? 2 R sin(2? ?
2 2

?
3

) ? 3R 2 ,

所以当 2? ?

?
3

?

?
2

时,即 ? ?

?
12

, S (? ) 取得最大值,为 (2 ? 3)R2 .…………………7 分

此时 EF ? 2 R sin

?
12

?

6? 2 ? ? 6? 2 R , EP ? R cos ? 3R sin ? R, 2 12 12 2

所以 EPQF 为正方形,依题意知制成的圆柱底面应是由 EF 围成的圆, 从而由周长 2? r ? EF ?

6? 2 6? 2 R ,得其半径为 R ? 0.084 R .……………11 分 2 4? P
G
E

另一方面,如图所示,设圆与 OA 边切于点 H ,连结 GE、GH 、GA ,

2? 2 ? 6 EA ? OA ? OE ? R. 2
设两小圆的半径为 GH ? r ,则 EH ?

H

A

r tan

?
12

? (2 ? 3)r ,

且 AH ? r ,从而 (2 ? 3)r ? r ? 因 0.084 R ? 0.10 R ,

2? 2 ? 6 2? 2 ? 6 R, 所以 r ? R ? 0.10 R , 2 2(3 ? 3)

所以能作出满足条件的两个圆.此时圆柱的体积 V ? 19、解: (1)由 n ? 2 , b ? 1,

(3 6 ? 5 2) R3 .……………16 分 8?

c ? ?1,得 fn ? x ? ? xn ? x ?1

?3 ? ?3 ? fn' ? x ? ? nxn?1 ?1 ? 0 对 x ? ? ,1? 恒成立,从而 fn ? x ? ? xn ? x ?1在 ? ,1? 单调递增, ?5 ? ?5 ?

? 3? ? 3? 2 ? 3? 2 又 f n ?1? ? 1 ? 0 , f n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , ?5? ?5? 5 ?5? 5
即 f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点. (2)因为

n

2

?3 ? ?5 ?

……… 4 分

f n (? 1 ) ? 1? ? 1 ? 1b c ? ?

?1 ?0b ? c ?

? 2

f n (1) ? 1 ? ?2 ? b ? c ? 0 由线性规划 (3b ? c)max ? 2,(3b ? c)min ? ?4,
(或 3b ? c ? ?b ? c ? ? 2 ?b ? c ? ???4,2?, (3b ? c)max ? 2,(3b ? c)min ? ?4, )……… 8 分
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(3)当 n ? 2 时, f2 ? x ? ? x2 ? bx ? c (Ⅰ)当 b ? 2 或 b ? ?2 时,即 ?

b b ? ?1 或 ? ? 1 ,此时 2 2 9 9 ? 9 ? ? 9? ? b ? ,从而 b ? ? ? , ?2? ? ? 2, ? 2 2 ? 2 ? ? 2?

只需满足 f 2 ?1? ? f 2 ? ?1? ? 2b ? 9 ? ? (Ⅱ)当 0 ? b ? 2 时,即 ?1 ? ?

b ? 0 ,此时 2

? b2 b2 ? ? b? 只需满足 f 2 ?1? ? f 2 ? ? ? ? 1 ? b ? c ? ? ? ? c ? ? 9 ,即 b2 ? 4b ? 32 ? 0 ? 2? ? 4 2 ?
解得: ?8 ? b ? 4 , (Ⅲ)当 ?2 ? b ? 0 时,即 0 ? ? 只需满足 f 2 ? ?1? ? f 2 ? ? 解得: ?4 ? b ? 8 综上所述: b ? ? ? 从而 b? ?0,2 ?

b ? 1 ,此时 2

? b2 b2 ? ? b? ? 1 ? b ? c ? ? ? ? c ? ? 9 ,即 b2 ? 4b ? 32 ? 0 ? ? 2? ? 4 2 ?
从而 b? ? ?2,0 ? ………16 分

? 9 9? , ? 2 2? ?

? 20 、 (1) 解: 【法一】 因为 f ( x ) 为奇函数, 所以 f (?1) ? ? f (1) , 得: 1 ? ( ?1 ?1)( ?1 ? a) ? 0 ? a ? ?1 .
当 a ? ?1 时, f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 1) ? x( x2 ? 1) ,有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x ) 为奇函数. ………4 分 【法二】 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? ax , f (? x) ? ? f ( x) 恒成立,

(? x)3 ? (1 ? a) x2 ? ax ? ? x3 ? (1 ? a) x 2 ? ax , 求得 a ? ?1 .
当 a ? 2 时, f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ,该图象可由奇函数 f ( x) ? ( x ? 1) x( x ? 1) 的图象向右平移一个 单位得到, 可知函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) 图象的对称中心为(1,0). ………4 分 (2)? f ' ( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a , 令 f ' ( x) ? 3x2 ? 2(1 ? a) x ? a ? 0 ,则 ? , ? 为 3x2 ? 2(1 ? a) x ? a ? 0 两实 根.?? ? ? ?

2(1 ? a) a ,? ? ? ? . 3 3

f (? ) ? f ( ? ) 1 3 ? ?? ? (1 ? a)? 2 ? a? ? ? 3 ? (1 ? a)? 2 ? a? ? ? 2 2?
=

1 ?? ? ? ? (? ? ? )2 ? 3?? ? (a ? 1) (? ? ? )2 ? 2?? ? a(? ? ? ) 2

?

?

?

?

?

?
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=?

2( a ? 1) a ( a ? 1) ( a ? 1)( a ? 2)(2a ? 1) ? ?? , 27 3 27
3

? ? ? 0, ? ? ? f (? ) ? f ( ? ) 在第四象限,得: ?a ? 1 ? 0, ?点 M ( , ) ? 2 2 ?(a ? 1)(2a ? 1)(a ? 2) ? 0, ?

1 . ……………10 分 2 1 ? a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) (3)由(2)得点 M ( ,? ), 3 27
? a ? 2 或 ?1 ? a ?
又 f?

? 1 ? a ? 1 ? a ? 1 ? a ?? 1 ? a ? 1 ? a a ? 2 1 ? 2a ? 1?? ? a? ? ? ? ?? ? 3 ? 3 3 3 3 ? 3 ? ?? 3 ?

=?

(a ? 1)( a ? 2)( 2a ? 1) ,所以点 M 也在函数 f ( x ) 的图象上. ……………12 分 27

【法一】设 P( x0 , y0 ) 为函数 f ( x ) 的图象上任意一点,

P( x0 , y0 ) 关于 M 的对称点为 Q( 2(1 ? a) ? x0 ,? 2(a ? 1)( a ? 2)( 2a ? 1) ? y 0 )
3 27
而 f(

2(1 ? a) 2(1 ? a) 2(1 ? a) 2(1 ? a) ? x0 ) ? ( ? x0 )3 ? (1 ? a)( ? x0 ) 2 ? a( ? x0 ) 3 3 3 3 2(a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) 2(a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) =? ? x03 ? (a ? 1) x02 ? ax0 ? ? ? y0 . 27 27 2(1 ? a) 2(a ? 1)( a ? 2)( 2a ? 1) 即 Q( ? x 0 ,? ? y 0 ) 在函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? a) 的图像上. 3 27 所以, M 为函数 f ( x ) 的对称中心. ………………………………………16 分

【法二】设 g ( x) ? f ( x ?

1 ? a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) )? 3 27 1? a 1? a 1? a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) ? (x ? )( x ? ? 1)( x ? ? a) ? 3 3 3 27 1? a a ?2 1 ? 2a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) ? (x ? )( x ? )( x ? )? 3 3 3 27 1 ? a a ? 2 1 ? 2a 2 1 ? a a ? 2 a ? 2 1 ? 2a 1 ? a 1 ? 2a ? x3 ? ( ? ? )x ? ( ? ? ? ? ? )x 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ? a a ? 2 1 ? 2a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) 1 ? ? ? ? ? x3 ? (a 2 ? a ? 1) x . 3 3 3 27 3 1 ? a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) 为奇函数, ? g ( x) ? f ( x ? )? 3 27 对称中心为 O (0,0) .
把函数 g ( x) ? f ( x ?

1 ? a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) 的图象按向量 )? 3 27 ???? 1 ? a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) ? OM ? ( ,? ) 平移后得 f ( x ) 的图象, 3 27
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?M (

1 ? a (a ? 1)(a ? 2)(2a ? 1) ,? ) 为函数 f ( x ) 的对称中心. ……………16 分 3 27

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