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2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一(下)期中数学试卷(重点班)(解析版)


2015-2016 学年江西省宜春市高安中学高一(下)期中数学试卷 (重点班)
一、选择题: (本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.角 α= 的终边在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 A. B. C.﹣2 D.2 个单位, 则平移后的

图象所对应的函数的解析式为 ( C. D. ) ) 三点共线 则 m 的值为( )

3. 将 y=sin2x 的图象向左平移 A. B.

4.若 sin(α﹣β)cosα﹣cos(α﹣β)sinα=m,且 β 为第二象限角,则 cosβ 的值为( A. B. C. D. ) (ω>0)的最小正周期为 π,则函数 f(x)的图象( ,0)对称 对称 )

5.已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.关于直线 x= C.关于点( 对称



B.关于点(

,0)对称 D.关于直线 x=

6.设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |=( A. B. C.2 D.10 7.已知 sinαcosα= ,且 A. B. C. <α< D. ,则 cosα﹣sinα 的值为( )

8.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(



A. C.

B. D.
第 1 页(共 15 页)

9.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是(



A.

B.

C.

D.

10.函数 y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) A. B. C. D.2 11.如图平行四边形 ABCD 中, =(1,2) , =(﹣3,2) ,则

?

=(



A.1

B.2

C.3

D.4 )=sinC,给出以下论断:

12.在△ABC 中,已知 tan( ① =1;

②1<sinA+sinB≤ ; ③sin2A+cos2B=1; ④cos2A+cos2B=sin2C. 其中正确的是( ) A.①③ B.②④

C.①④

D.②③

二、填空题:本大题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 13.已知向量 , 满足| |=2, 与 的夹角为 60°,则 在 上的投影是______. 14.已知 x∈(﹣ ,0) ,cosx= ,则 tan2x=______. ,则实数 m 的值为______.

15.若函数 y=sinx+mcosx 图象的一条对称轴方程为 16.如图,平面内有三个向量 、 、 角为 30°,且| |=2,| |=1,| |= ______.

,其中与 与 的夹角为 120°, 与 的夹 ,若 =λ +μ (λ,μ∈R) ,则 λ+μ 的值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.第 17 题 10 分,其它每题 12 分,解答写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
第 2 页(共 15 页)

17.已知向 , 满足| |=1,| |=6,且 ?( ﹣ )=2,求: (1) 与 的夹角; (2)|2 ﹣ |的模. 18.已知函数 ,

(1)求函数 y=f(x)的最大、最小值以及相应的 x 值; (2)若 x∈[0,2π],求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)若 y>2,求 x 的取值范围. 19.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b (ω>0,|φ|< (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程. )的图象的一部分如图所示:

20.已知 cosα= ,cos(α﹣β)= 求: (1)tan2α 的值; (2)β 的大小. 21.已知函数 f(x)=2sin2(

,且 0<β<α<



+x)﹣

cos2x

(Ⅰ)求 f(x)的周期和单调递增区间 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)﹣m=2 在 x∈[ 22. = =(sinωx+cosωx, , ]上有解,求实数 m 的取值范围.

cosωx) (ω>0) , =(cosωx﹣sinωx,2sinωx) ,函数 f(x) ,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)

+t,若 f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为

的最小值为 0. (1)求函数 f(x)的表达式,并求 f(x)的增区间; (2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB+cos(A﹣C) ,求 sinA 的值.

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2015-2016 学年江西省宜春市高安中学高一(下)期中数 学试卷(重点班)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.角 α= 的终边在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】根据 α= 【解答】解:∵α= 在第三象限, 故角 α= 故选:C. 的终边在第三象限, =2π+ =2π+ ,可得 α= ,故 α= 的终边与 的终边与 的终边相同,从而得出结论. 的终边相同,而 的终边

2.若 A. B. C.﹣2 D.2

三点共线 则 m 的值为(



【考点】向量的共线定理. 【分析】利用向量坐标公式求出两个向量的坐标,据三点共线得两个向量共线,利用向量共 线的坐标形式的充要条件列出方程求出 m 【解答】解: ∵三点共线 ∴ 共线 ∴5(m﹣3)=﹣ 解得 m= 故选项为 A ,

3. 将 y=sin2x 的图象向左平移 A. B.

个单位, 则平移后的图象所对应的函数的解析式为 ( C. D.



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
第 4 页(共 15 页)

【分析】将 为 y=sin2(x+ 【解答】解:将 析式为 y=sin2(x+ 故选 C. )= , ) ,由此得出结论.

个单位,则平移后的图象所对应的函数的解析式

个单位,则平移后的图象所对应的函数的解

4.若 sin(α﹣β)cosα﹣cos(α﹣β)sinα=m,且 β 为第二象限角,则 cosβ 的值为( A. B. C. D.



【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】根据两角差的正弦公式,求得 sinβ=﹣m,β 为第二象限角,cosβ<0,根据同角三 角函数的基本关系,即可求得 cosβ 的值. 【解答】解:∵sin(α﹣β)cosα﹣cos(α﹣β)sinα=sin(α﹣β﹣α)=﹣sinβ=m, ∴sinβ=﹣m, ∵β 为第二象限角, cosβ<0,cosβ=﹣ 故答案选:C. =﹣ ,

5.已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.关于直线 x= C.关于点( 对称

) (ω>0)的最小正周期为 π,则函数 f(x)的图象( ,0)对称 对称



B.关于点(

,0)对称 D.关于直线 x=

【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性. 【分析】由三角函数的周期公式,解出 ω=2 得到 f(x)=sin(2x+ 称中心公式算出 y=f(x)图象的对称中心为(﹣ ) .再由正弦曲线的对

,0) (k∈Z) ,可得 B 项正确而

C 项不正确.算出 y=f(x)图象的对称轴方程,对照 A、D 两项,可得它们都不正确. 【解答】解:∵函数 f(x)=sin(ωx+ ∴由三角函数的周期公式,得 T= 函数表达式为 f(x)=sin(2x+ 令 2x+ =kπ(k∈Z) ,得 x=﹣ ) (k∈Z) , ) (ω>0)的最小正周期为 π, ,解得 ω=2

第 5 页(共 15 页)

∴函数图象的对称中心为(﹣ 取 k=1 得一个对称中心为(

,0) (k∈Z) ,0) ,可得 B 项正确而 C 项不正确 (k∈Z) ,

而函数图象的对称轴方程满足 x=

而 A、D 两项的直线都不符合,故 A、D 均不正确 故选:B 6.设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |=( A. B. C.2 D.10 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【分析】通过向量的垂直,求出向量 ,推出 ,然后求出模. 【解答】解:因为 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ , 所以 x﹣2=0,所以 =(2,1) , =(3,﹣1) 所以 , 所以| + |= 故选 B. , )

7.已知 sinαcosα= ,且 A. B. C.

<α< D.

,则 cosα﹣sinα 的值为(



【考点】同角三角函数间的基本关系. 【分析】把(cosα﹣sinα)2 利用完全平方公式展开后,再利用同角三角函数间的基本关系 化简,把 sinαcosα 的值代入求出(cosα﹣sinα)2 的值,由 α 的范围,得到 cosα﹣sinα 小于 0,开方即可求出 cosα﹣sinα 的值. 【解答】解:∵sinαcosα= , ∴(cosα﹣sinα)2=cos2α﹣2sinαcosα+sin2α=1﹣2sinαcosα= , ∵ <α< ,∴cosα<sinα,即 cosα﹣sinα<0,

则 cosα﹣sinα=﹣ . 故选 D 8.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( )

第 6 页(共 15 页)

A. C.

B. D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设边长|P1P2|=a,∠P2P1P3= = ∠P2P1P4= ,|P1P4|=2a, = 从而得到答案. 【解答】解:如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,设边长|P1P2|=a, 则∠P2P1P3= ∠P2P1P4= . ,|P1P4|=2a, = ∴数量积中最大的是 故选 A. 9.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是( ) , , =0, <0, , = , , =0, <0, , . ,根据向量数量积的定义,

A.

B.

C.

D.

【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据当 a=0 时,y=1,可判断图象哪个符合,
第 7 页(共 15 页)

当 a≠0 时,f(x) 周期为

,振幅 a,

分类讨论 a>1 时,T<2π;0<a≤1,T≥2π 利用所给图象判断即可得出正确答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=1+asinax (1)当 a=0 时,y=1,函数图象为:C 故 C 正确 (2)当 a≠0 时,f(x)=1+asinax 周期为 T= 若 a>1 时,振幅为 a>1,T<2π, 当 0<a≤1,T≥2π. ∵D 选项的图象,振幅与周期的范围矛盾 故 D 错误, 故选:D 10.函数 y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( A. B. C. D.2 ) ,振幅为 a

【考点】二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的定义域和值域. 【分析】把函数式展开,可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式,变为 y=Asin(ωx+φ) 的形式,在定义域是全体实数的条件下,根据正弦的值域求本题的最值. 【解答】解:∵y=2sinx(sinx+cosx) ∴y=2sin2x+2sinxcosx ∴y=1﹣cos2x+sin2x= sin(2x﹣ )+1

∵当 x∈R 时,sin(2x﹣ ∴y 的最大值为 故选 A. +1,

)∈[﹣1,1]

11.如图平行四边形 ABCD 中,

=(1,2) ,

=(﹣3,2) ,则

?

=(



A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由条件根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得 + = =(1,2) , ? 的值. ﹣ = =(﹣3,2) ,求得 和 的坐标,可得 【解答】解:在平行四边形 ABCD 中,由于 + = =(1,2) , ﹣ = =(﹣3,2) , ∴ =(﹣1,2) , =(﹣2,0) ,∴ ? =(﹣1,2)?(1,2)=﹣1+4=3, C 故选: .

12.在△ABC 中,已知 tan(

)=sinC,给出以下论断:

第 8 页(共 15 页)



=1;

②1<sinA+sinB≤ ; ③sin2A+cos2B=1; ④cos2A+cos2B=sin2C. 其中正确的是( ) A.①③ B.②④

C.①④

D.②③

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得 cos =

进而求得 A+B=90°, 进而求得 tanA﹣cotB=tanA﹣tanA=0,可得①不正确; ②利用两角和公式化简,利用正弦函数的性质求得其范围符合,得②正确; ③sin2A+cos2B=2sin2A 不一定等于 1,排除③; ④利用同角三角函数的基本关系可知 cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1,进而根据 C=90°可知 sinC=1,进而可知二者相等,得④正确. 【解答】解:∵tan =sinC,



=2sin

cos



整理求得 cos

=



∴A+B=90°. 对于①,由 tanA=cotB,可得:tanAtanB=1,tanB 不一定等于 cotB,故①不正确. 对于②,由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA= sin(A+45°) , 由 45°<A+45°<135°,故有 <sin(A+45°)≤1,

∴1<sinA+sinB≤ ,所以②正确. 对于③,sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A,不一定等于 1,故③不正确. 对于④,∵cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1,sin2C=sin290°=1, 所以 cos2A+cos2B=sin2C,所以④正确. 故选:B. 二、填空题:本大题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 13.已知向量 , 满足| |=2, 与 的夹角为 60°,则 在 上的投影是 1 . 【考点】向量的投影. 【分析】根据投影的定义,应用公式| |cos< , >= 求解.

【解答】解:根据向量的投影定义, 在 上的投影等于| |cos< , >=2× =1 故答案为:1

第 9 页(共 15 页)

14.已知 x∈(﹣

,0) ,cosx= ,则 tan2x= ﹣



【考点】同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正切函数. 【分析】先利用二倍角公式求得 cos2x,进而根据 x 的范围求得 sin2x,则 tan2x 的值可得. 【解答】解:cos2x=2cos2x﹣1= ∵ ∴2x∈(﹣π,0) ∴sin2x=﹣ =﹣

∴tan2x=

=﹣

故答案为:﹣

15.若函数 y=sinx+mcosx 图象的一条对称轴方程为 【考点】正弦函数的对称性;两角和与差的正弦函数.

,则实数 m 的值为



【分析】 化简函数 y=sinx+mcosx 为一个角的一个三角函数的形式, 利用图象关于直线 对称,就是 时,函数取得最值,求出 m 即可. sin(x+θ) ,其中 tanθ=m, =± θ= , , 或 θ= , (舍

【解答】解:函数 y=sinx+mcosx= 其图象关于直线 去) 所以 tanθ=m= , 故答案为: . 16.如图,平面内有三个向量 、 、 角为 30°,且| |=2,| |=1,| |= 4 . 对称, 所以 θ+

,其中与 与 的夹角为 120°, 与 的夹 ,若 =λ +μ (λ,μ∈R) ,则 λ+μ 的值为

【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】如图所示,过点 C 作 CD∥OB 交直线 OA 与点 D.利用 与 的夹角为 120°, 与 的夹角为 30°,可得∠OCD=90°. 在 Rt△OCD 中, 利用边角关系可得 , . 又 = λ +μ = , ∴ , .求出即可.
第 10 页(共 15 页)

【解答】解:如图所示,过点 C 作 CD∥OB 交直线 OA 与点 D. ∵ 与 的夹角为 120°, 与 的夹角为 30°,∴∠OCD=90°. 在 Rt△OCD 中,∴ 又 =λ +μ = ∴ , ∴4=λ×2,2=μ×1, 解得 λ=2=μ. ∴λ+μ=4. 故答案为 4. ,∴ . , = . =2, =4.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.第 17 题 10 分,其它每题 12 分,解答写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 17.已知向 , 满足| |=1,| |=6,且 ?( ﹣ )=2,求: (1) 与 的夹角; (2)|2 ﹣ |的模. 【考点】平面向量数量积的运算;平面向量数量积的含义与物理意义;平面向量数量积的性 质及其运算律. 【分析】 (1)由题意,可根据题中条件求出 ? ,再由数量积公式即可求出 与 的夹角; (2)先对|2 ﹣ |平方,再将两向量的内积与模代入计算求出模. 【解答】解: (1)∵ ?( ﹣ )= ? ﹣ 2=2, 又| |=1,| |=6 ∴ ? =3,即| || |cos< , >=3,解得 cos< , >= 又 0≤< , >≤π,所以 与 的夹角为 (2)|2 ﹣ |2=4 ∴|2 ﹣ |=2
2

﹣4 ? +

2

=28,

18.已知函数



(1)求函数 y=f(x)的最大、最小值以及相应的 x 值; (2)若 x∈[0,2π],求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)若 y>2,求 x 的取值范围. 【考点】三角函数的最值;正弦函数的单调性. 【分析】 (1)直接利用正弦函数的最值,求函数 y=f(x)的最大、最小值以及相应的 x 值; (2)利用正弦函数的单调增区间,求出函数的函数 y=f(x)的单调增区间,然后求出在 x ∈[0,2π]的范围即可. (3)利用 y>2,推出函数的表达式,通过解方程直接求 x 的取值范围.
第 11 页(共 15 页)

【解答】解: (1)当 2x﹣ 最大值为 3, 当 2x﹣ (2)令 T=2x﹣

,k∈Z 时,函数 y=f(x)取得

,k∈Z 时,函数 y=f(x)取得最小值为﹣1;

,k∈Z. 也即 kπ﹣ ∴函数 y=f(x)的单调增区间 (3)若 y>2,∴ 解得: ,k∈Z. (k∈Z)时,函数 y=2sinT+1 单调递增.又 x∈[0,2π], ; ,k∈Z.

19.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b (ω>0,|φ|< (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

)的图象的一部分如图所示:

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】 (1)根据图象求出函数的振幅 A,b,周期 T,然后求出 ω,将 x= 达式,求出 φ,即可得到函数表达式. (2)利用正弦函数的对称轴方程,求出函数的对称轴方程即可. 【解答】解: (1)由图象可知,函数的最大值 M=3, 最小值 m=﹣1,则 A= 又 ∴ω= , , , ,y=3 代入表

∴f(x)=2sin(2x+φ)+1, 将 x= ,y=3 代入上式,得 φ)=1,

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∴ 即 φ=

,k∈Z, +2kπ,k∈Z,∴φ= +1. = +kπ,得 x= + kπ,k∈Z, ,

∴f(x)=2sin (2)由 2x+ ∴f(x)=2sin kπ,k∈Z.

+1 的对称轴方程为

20.已知 cosα= ,cos(α﹣β)= 求: (1)tan2α 的值; (2)β 的大小.

,且 0<β<α<



【考点】二倍角的正切;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 【分析】 (1)由 cosα= ,求出 sinα,tanα,再求 tan2α 的值; (2)利用 cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β) ,可求 β 的大小. 【解答】解: ,

.…

,…

.…

. 因为 cos(α﹣β)= 所以 sin(α﹣β)= , ,

所以 cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)= , 所以 β= .

21.已知函数 f(x)=2sin2(

+x)﹣

cos2x

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(Ⅰ)求 f(x)的周期和单调递增区间 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)﹣m=2 在 x∈[ , ]上有解,求实数 m 的取值范围.

【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 (I)先根据诱导公式以及二倍角公式,辅助角公式对函数化简,再结合正弦函数的 周期以及单调性的求法即可得到结论; (II)先根据正弦函数的单调性求出 f(x)的值域,再把方程有解转化为 f(x)与 m+2 的 取值范围相同即可求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (I)∵f(x)=2sin2( =1﹣cos( =1+sin2x﹣ =2sin(2x﹣ ∴周期 T=π; 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ ,kπ ,解得 kπ﹣ ≤x≤kπ , +2x)﹣ cos2x )+1. cos2x +x)﹣ cos2x

∴单调递增区间为[kπ﹣ (II)∵x∈[ ∴sin(2x﹣ ,

], (k∈Z) . ∈[ , ],

],所以 2x﹣

)∈[ ,1],

所以 f(x)的值域为[2,3], 而 f(x)=m+2,所以 m+2∈[2,3],即 m∈[0,1] 22. = =(sinωx+cosωx, cosωx) (ω>0) , =(cosωx﹣sinωx,2sinωx) ,函数 f(x) ,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)

+t,若 f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为

的最小值为 0. (1)求函数 f(x)的表达式,并求 f(x)的增区间; (2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB+cos(A﹣C) ,求 sinA 的值. 【考点】 三角函数中的恒等变换应用; 三角函数的恒等变换及化简求值; 正弦函数的单调性. 【分析】 (1)利用两个向量的数量积公式,二倍角公式,化简函数 f(x)的解析式为 2sin (2ωx+ )+t,根据 ,由

周期性和最小值,求出 ω 和 t 的值,即得函数的解析式为 ,求得 x 的范围,就是 f(x)的增区间. f C) =1, (2) 据( 求得 C= 再由 sinA>0
第 14 页(共 15 页)

A+B= ,

, 再由 2sin2B=cos B+cos (A﹣C) , 可得 1﹣sin2A=sinA,

求得 sinA 的值. 【解答】解: (1)函数 f(x)= 由 = T= = +t=cos2ωx+ sin2ωx+t=2sin(2ωx+ )+t, .

,可得 ω= ,∴f(x)= , .

当 x∈[0,π]时,

函数 f(x)的最小值为 1+t=0,∴t=﹣1,∴ 由 故 f(x)的增区间为[3kπ﹣π,3kπ+ (2)∵f(C)=1=2sin( < < ,∴

,k∈z,可得 3kπ﹣π≤x≤3kπ+ ],k∈z.



)﹣1,∴sin( = ,∴C=

)=1,由 0<C<π 可得, ,A+B= =cos( . ﹣A)+cos(A﹣ . ) ,

又 2sin2B=cos B+cos(A﹣C) ,∴2

∴2cos2A=2sinA,即 1﹣sin2A=sinA,再由 sinA>0,求得 sinA=

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