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精编椭圆离心率的解法


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专题讲解 椭圆离心率的解法
椭圆的几何性质中,对于离心率和离心率的取 值范围的处理,同学们很茫然,没有方向性。题型变 化很多,难以驾驭。以下,总结一些处理问题的常规 思路,以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义 基础题目:如图,O 为椭圆的中心,F 为焦点,A 为 顶点,准线 L 交 OA 于 B,P、Q 在椭圆上,PD⊥L 于 D,QF⊥AD 于 F,设椭圆的离心率为 e, |PF| |QF| |AO| |AF| 证明:①e= ②e= ③e= ④e= |PD| |BF| |BO| |BA| |FO| ⑤e= |AO|
P D Q

B

A F OBB B

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1

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x 题目 1:椭圆 2 a

2

y + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、 b

2

F2 ,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角 形的两边,则椭圆的离心率 e? 解:
A

B

F1

F2

x2 变形 1 :椭圆 2 a

y2 + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、 b

F2 ,点 P 在椭圆上,使△OPF1 为正三角形,求椭圆离心率?
P

解:
F2 F2 F2
2

O O O O O O O O O

F1

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2

O O O O

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点评:以上题目,构造焦点三角形,通过各边的几何 意义及关系,推导有关 a 与 c 的 方程式,推导离心 率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 x2 题目 2 :椭圆 2 a y2 + 2 =1(a>b >0),A 是左顶点,F b

是右焦点,B 是短轴的一个顶点,∠ABF=90°,求 e?

B

A O F

x2 变形:椭圆 2 a

y2 -1+ 5 + 2 =1(a>b >0),e= , A 是左 b 2

顶点,F 是右焦点,B 是短轴的一个顶点,求∠ABF?

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引申:此类 e=

5-1 的椭圆为优美椭圆。 2

优美椭圆的性质: 1、∠ABF=90°; 2、假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆; 3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 总结:焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何 意义,找各边的表示,结合解斜三角形公式,列出有 关 e 的方程式。 x2 题目 3 :椭圆 2 a y2 + 2 =1(a>b >0),过左焦点 F1 且 b

倾斜角为 60°的直线交椭圆与 AB 两点,若|F1A| =2|BF1|,求 e? 解:

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x 题目 4: 椭圆 2 a

2

y + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c, b

2

0) 、F2 (c,0),P 是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一 个交点,且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 用) 。 解: ,求 e?(可以考虑正弦定理的应

点评:在焦点三角形中,使用第一定义和正弦定理可 知 e= sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 (※)

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三、 以直线与椭圆的位置关系为背景,用设而不 求的方法找 e 所符合的关系式. x2 题目 5:椭圆 2 a y2 + 2 =1(a>b >0),斜率为 1,且过 b

OA+→ OB与→ a 椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,→ =(3,-1)共线,求 e?
A(X1,Y1) O

B(X2,Y2)

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四、 由图形中暗含的不等关系,求离心率的取值 范围。 x2 题目 6: 椭圆 2 a y2 + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c, b

MF1·→ MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部, 0) 、F2 (c,0),满足→ 则 e 的取值范围?

M F1 O F2

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好题精练 x2 1、椭圆 2 a y2 + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 , b

AB 为椭圆的顶点,P 是椭圆上一点,且 PF1 ⊥X 轴, PF2 ∥AB,求椭圆离心率 e?

P

B

F1
O

F2

A

x2 2、椭圆 2 a

y2 + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0) 、 b

F2 (c,0),P 是椭圆上一点,且∠F1PF2 =60°,求 e 的取值范围?

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x 3、椭圆 2 a

2

y + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0) 、 b

2

F2 (c,0),P 为右准线 L 上一点,F1P 的垂直平分线恰 过 F2 点,求 e 的取值范围?
M P

F1

O

F2

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