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3.1.2用二分法求方程的近似解(1)


3.1.2 用二分法求方程的近似解 (1)

1.函数零点的定义: 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 图象与

一.基础知识

? 函数 y ? f ( x) 有零点。

x 轴有交点

2.函数变号零点与不变号零点(二重零点)性质: 上的图象 (1)定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b]

f (a) ? f (b) ? 0 是连续不间断的一条曲线,并且有 那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 也就是方程 f ( x) ? 0 c ? (a, b)使得 f (c) ? 0 ,这个
的实数根。

c

(2)连续函数变号了一定有零点(能证明f(x)单调 则有且只有一个零点);不变号不一定无零点(如 二重零点):在相邻两个零点之间所有的函数值 保持同号。

b 3.(1)一次函数y=ax+b的零点:x ? ? a 一定为变号零点
(2)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的零点:
2

4. 题型一:求零点:即为求解方程的根。 题型二:求零点个数及所在区间: 解一:利用计算器或计算机作 x, f ( x) 的对应值表 、若在区间 ( a, b) 上连续,并且有 f (a) ? f (b) ? 0
,那么函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 内至少有一个实数

根、若能证明 y ? f ( x) 在 [a, b] 上的单调性,则在
[a, b] 有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。

解二:试探着找到两个x对应值为一正一负(至少 有一个);再证单调增函数即可得有且只有一个。

解三:构造两个易画函数,画图,看图象交点 个数,很实用。

题型三:已知零点范围确定相关字母的范围: 控制二次函数图象的四个手段:a 的正负; 对称轴范围;判别式大于小于等于0;某些函 数值(乘积)正负。 5.用二分法求函数 f ( x)

零点近似值的步骤:

1.确定区间 [a, b] ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 给定精确度

?

2.求区间 ( a, b)

3.计算 f (c) : (1)若 f (c) =0,则c就是函数的零点,计算终止; (2)若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令b=c(此时零点 x0 ? ?a, c ? );
(3)若 f (c) ? f (b) ? 0 则令a=c(此时零点
x0 ? ?c, b? 。(用列表更清楚)

a?b 的中点 c ? 2

(4).判断是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a或b ;否则重复2~4。

说明:用二分法求函数的零点近似值的方法仅对 函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适 用;用二分法求函数的零点近似值必须用上节的 三种方法之一先求出零点所在的区间。
例1.借助计算器或计算机用二分法求方程

2 ? 3x ? 7
x

的近似解(精确到0.1)。

例2.求函数

y ? x ? 2x ? x ? 2
3 2

的零点,并画出它的图象。

例3.已知函数 f ( x) ? ax ? bx 的图象如图所示,则 A.b ? (??,0) B. b ? (0,1) b ? (2, ??) D. C. b ? (1, 2)
3

2

? cx ? d

2 1

2 f ( x ) ? mx ? (m ? 3) x ? 1 例4.已知函数 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数

m 的取值范围是( )
A.(0,1] C. (??,1) B.

(0,1)

D.

(??,1]


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