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空间点线面的位置关系



2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、

观察长方体,你能发现长方体的顶点、棱所在的直线, 观察长方体,你能发现长方体的顶点、棱所在的直线, 以及侧面、地面之间的关系吗? 以及侧面、地面之间的关系吗?
长方体由上下、前后、左右六个面围成,有些面是平行的, 长方体由上下、前后、左右六个面围成,有些面是平行的, 有些面是相交的;有些棱所在的直线与面平行, 有些面是相交的;有些棱所在的直线与面平行,有些棱所在 的直线与面相交; 的直线与面相交;每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等. 的直线等等
空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系,是我们接下来要讨论的问题 空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系,是我们接下来要讨论的问题. D1 C1
A1 B1
D

C B

A

1.平面的基本知识 平面的基本知识

(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 平面与我们学过的点、直线、 平面与我们学过的点 最基本的概念,即为不加定义的原始概念. 最基本的概念,即为不加定义的原始概念 (2)平面的基本特征是无限延展性 平面的基本特征是无限延展性 平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的,绝对的平(平面是处处平直的面); 平面是理想的,绝对的平(平面是处处平直的面); 平面没有大小、没有厚薄和宽窄,是不可度量的. 平面没有大小、没有厚薄和宽窄,是不可度量的.

光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象, 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象,数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4 为什么? 不能. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米?为什么? 不能.

1.平面的基本知识 平面的基本知识
(3)平面的画法及表示 平面的画法及表示 立体几何中通常用平行四边形来表示平面, 立体几何中通常用平行四边形来表示平面 画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面,
有时也用圆或三角形等图形来表示平面. 有时也用圆或三角形等图形来表示平面 圆或三角形等图形来表示平面
?

α
水平放置

画平面水平放置时, 画平面水平放置时, 常把平行四边形的 锐角通常画成45° 锐角通常画成 °, 且横边长等于邻边 长的2倍 长的 倍.

垂直放置

为了增强立体感,如果一个平面被另一个平面遮挡住, 为了增强立体感,如果一个平面被另一个平面遮挡住,常把它遮 虚线画出来 挡的部分用虚线画出来. 挡的部分用虚线画出来

练习
画出两个竖直放置的相交平面. 画出两个竖直放置的相交平面.

1.平面的基本知识 平面的基本知识
D

(3)平面的画法及表示 平面的画法及表示
C

A

α

β
B

表示方法: 表示方法:
等写在代表平面的平行四边形的一个角上, ①把希腊字母 α , β , γ 等写在代表平面的平行四边形的一个角上, 如平面 α ,平面 β . ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示, 用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示, 平面ABCD. 如平面 ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 平面AC或者平面BD. 或者平面 示,如平面 或者平面

2.点、直线、平面的位置关系 点 直线、
(1)点、线、面的表示 点
点(元素):大写字母A、B、C、D…… 元素):大写字母A ):大写字母 直线(点的集合): ):小写英文字母 直线(点的集合):小写英文字母 a, b, cL 或者两个大写英文字母 平面(点的集合): ):用希腊字母表示 平面(点的集合):用希腊字母表示 α , β , γ L ; 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示. 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.

(2)点、线、面之间的位置关系的表示 点 用集合中的关系符号 元素与集合关系: 元素与集合关系: 集合与集合关系: 集合与集合关系: , ?; I ?

∈,?

2.点、直线、平面的位置关系 点 直线、
(1)点与直线的位置关系: 点与直线的位置关系: 点与直线的位置关系 在直线a上 点A在直线 上,记作 A ∈ a 在直线 不在直线a上 点B不在直线 上,记作 B ? a 不在直线 (2)点与平面的位置关系: 点与平面的位置关系: 点与平面的位置关系 点A在平面α上,记作 A∈ α 在平面 点B不在平面α上,记作 B ? α 不在平面
α
A B A a

B

2.点、直线、平面的位置关系 点 直线、
(3)直线与平面的位置关系:按公共点个数分三类 直线与平面的位置关系: 直线与平面的位置关系
与平面α有无数个公共点 在平面α内 ①直线a与平面 有无数个公共点,称直线 在平面 内, 直线 与平面 有无数个公共点,称直线a在平面 或称平面α通过直线 记为: 通过直线a. 或称平面 通过直线 .记为: a ?α
公理1 公理

与平面α有且只有一个公共点 与平面α相交 ②直线a与平面 有且只有一个公共点,称直线 与平面 相交 直线 与平面 有且只有一个公共点,称直线a与平面 相交. 记为: 记为: aIα = A ③直线a与平面α没有公共点,称直线 与平面α平行. 直线 与平面 没有公共点,称直线a与平面 平行. 记为: 记为: //α 或 aIα =Φ a 统称为直线a在平面 在平面α外 注1:情况②和③统称为直线 在平面 外,记作 :情况②
a a
α α

a ?α
a

A

α

2.点、直线、平面的位置关系 点 直线、
(4)平面与平面的位置关系:按有否公共点分两类 平面与平面的位置关系: 平面与平面的位置关系
有公共点时 ①当两个不同平面α与平面β有公共点时,它们的公共点组成 直线a, 相交.记作: 直线 ,称平面α与平面β相交.记作: Iβ = a α 没有公共点时 平行. ②当平面α与平面β没有公共点时,称平面α与平面β平行. 记作: 记作:α // β 或 α Iβ =Φ 注2:当平面α上的所有点都在平面 上时,称平面α与平面 重合. :当平面 上的所有点都在平面β上时,称平面 与平面β重合 上的所有点都在平面 上时 与平面 重合 (当两个平面有不共线的三个公共点,则两个平面重合) 当两个平面有不共线的三个公共点,则两个平面重合
公理2 公理 公理3 公理

β
a
α α β

β
α

小结:用数学符号来表示点、 小结:用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系: 面之间的位置关系:
a B B

b a
α A α

a

A
α

A

A∈ a B?a
β
a
α

A∈ α B?α
α β

a ?α bIα = A

aIα =Φ 或 //α a
β

α

α Iβ = a

α // β 或 α Iβ =Φ

平面α与平面 重合 平面 与平面β重合 与平面
练习

3.平面的基本性质 平面的基本性质
观察下列问题,你能得到什么结论? 观察下列问题,你能得到什么结论?
B

桌面α 桌面
A

直尺落在桌面上(直线 在平面 内 直尺落在桌面上(直线AB在平面α内)

3.平面的基本性质 平面的基本性质
(1)公理 :若一条直线上的两点在一个平面内, 公理1:若一条直线上的两点在一个平面内, 公理 则这条直线在此平面内. 则这条直线在此平面内 图形语言: ①图形语言:

α

A

l

B

②符号语言: A ∈ l , B ∈ l且A ∈ α , B ∈ α ? l ? α 符号语言: ③该公理反映了直线与平面的位置关系: 该公理反映了直线与平面的位置关系: 可用于判定直线是否在平面内,点是否在平面内, 可用于判定直线是否在平面内,点是否在平面内,又 可用直线检验平面. 可用直线检验平面

3.平面的基本性质 平面的基本性质
思考:两个平面会不会只有一个公共点呢? 思考:两个平面会不会只有一个公共点呢?
不会!因为平面是无限延展的 不会!因为平面是无限延展的. 因此,两个平面有一个公共点,必然有无数个公共点, 因此,两个平面有一个公共点,必然有无数个公共点, 并且这些公共点在一条直线上. 并且这些公共点在一条直线上

3.平面的基本性质 平面的基本性质
(2)公理 :若两个不重合的平面有一个公共点, 公理3:若两个不重合的平面有一个公共点, 公理 则它们有且只有一条过该点的公共直线. 则它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言: ①图形语言:
β
P

α

l

②符号语言:P ∈ α I β ? α I β = l 且 P ∈ l 符号语言: ③该公理反映了平面与平面的位置关系: 该公理反映了平面与平面的位置关系:
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据:只要两个平面有一个 该公理是用以判定两个平面相交的依据: 该公理是用以判定两个平面相交的依据 公共点,就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线. 公共点,就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线 (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可 找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可) 找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可 ii)该公理可用以判定点在直线上:点是某两平面的公共点,线 该公理可用以判定点在直线上: 该公理可用以判定点在直线上 点是某两平面的公共点, 是这两个平面的公共交线,则该点在交线上. 是这两个平面的公共交线,则该点在交线上

3.平面的基本性质 平面的基本性质
观察下列问题,你能得到什么结论? 观察下列问题,你能得到什么结论?

C A B

自行车需要一个支脚架就可以保持平衡. 自行车需要一个支脚架就可以保持平衡

3.平面的基本性质 平面的基本性质
(3)公理 : 公理2: 公理 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 图形语言: ①图形语言: B αA C ②符号语言: 符号语言:
A, B, C不共线 ? 有且只有一个平面α,使得A ∈ α , B ∈ α , C ∈ α

③定义的说明: 定义的说明:
过不在一条直线上的四点,不一定有平面 故要充分重视 故要充分重视“ 过不在一条直线上的四点,不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件; 一条直线上的三点”这一条件; “有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面,不能用“只 有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面,不能用“ 有一个”替代; 有一个”替代; 确定一个平面的“确定” 确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词. 有且只有”的同义词

3.平面的基本性质 平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

A

B

aC

已知点A? ,求证过点A和直线 可以确定一个平面. 和直线a可以确定一个平面 已知点 ? a,求证过点 和直线 可以确定一个平面 存在性. 存在性. 证明: 证明: 因为A? , 上任取两点B, 因为 ?a,在a上任取两点 ,C. 上任取两点 所以过不共线的三点A, , 有一个平面 (公理2) 有一个平面α 所以过不共线的三点 ,B,C有一个平面α.(公理 ) 因为B∈ 因为 ∈α,C∈α, ∈ 所以 ? α.(公理 ) 所以a (公理1) 故经过点A和直线 有一个平面α 和直线a有一个平面 故经过点 和直线 有一个平面α. 唯一性. 唯一性 因为B, 在 上 因为 ,C在a上, 所以过直线a和点 的平面一定经过点A,B,C. 所以过直线 和点A的平面一定经过点 , , 和点 的平面一定经过点 由公理2,经过不共线三点A, , 的平面只有一个 的平面只有一个, 由公理 ,经过不共线三点 ,B,C的平面只有一个, 所以过直线a和点 的平面只有一个. 和点A的平面只有一个 所以过直线 和点 的平面只有一个

3.平面的基本性质 平面的基本性质
公理2: 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 : 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

αA

B C

A

B

a

C

推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. a a b

α

b

α

注3: : 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据 及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据, 公理 及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据, 是证明点、线共面的依据,也是作截面、辅助平面的依据. 是证明点、线共面的依据,也是作截面、辅助平面的依据
练习

3.平面的基本性质 平面的基本性质
我们知道,在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行, 我们知道 在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行 在同一平面内 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢 那么这两条直线互相平行 在空间这一规律是否还成立呢? 在空间这一规律是否还成立呢
D' C' B' D A B C

观察:在右图的长方体中, BB '// AA ', DD '// AA ',那么 BB ' 与DD ' 平行吗?
A'

观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系? 之间有何关系? d

a

b

c

e

a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ … ∥

3.平面的基本性质 平面的基本性质
(4)公理 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理
符号表示: 符号表示 a // b, b // c ? a // c.
c
a

a

b

c

α 注4: 平行具有传递性; : 平行具有传递性; ① ②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 该公理是判断空间两条直线平行的方法之一 即要证明两条 直线平行,一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节. 直线平行,一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节

在正方体ABCD ABCD— 直线AB AB与 例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线AB与C1D1 ,AD1与 是什么位置关系?为什么? BC1是什么位置关系?为什么?
1) 解: )∵AB∥A1B1, C1D1 ∥A1B1, ∥ ∴ AB ∥ C1D1 2)∵AB ∥C1D1 ,且AB = C1D1 ) ∴ ABC1D1为平行四边形 故AD1 ∥ BC1 练习:上例中, 的位置是什么关系? 练习:上例中,AA1与CC1,AC与A1C1的位置是什么关系? 与
A A1 D1 B1 C1

D B

C

若E , F , G, H 分别是AB, AD, C1 D1的中点,判断下列直线是否平行: i ) EF 与GH ; ii ) DE与HB1 ;

已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形, ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形 例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形,E,F, 分别是AB BC,CD,DA的中点 连结EF FG,GH,HE,求证: AB, 的中点, EF, G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证: EFGH是一个平行四边形 是一个平行四边形. EFGH是一个平行四边形. 另 A

证明: 证明: 连结BD, 连结 ,
的中位线, ∵ EH是△ABD的中位线, 是 的中位线 1 BD. ∴EH ∥BD且EH = 且 . ∴EH ∥FG且EH =FG. 且 . 是一个平行四边形. ∴EFGH是一个平行四边形. 是一个平行四边形
: 证 E H //F G ,E F //H G
1 同理, 同理,FG ∥BD且FG = 2 BD. 且 .
2

注 : 平 行 线 段 成

H E D G B
?

比 例

F

C . 形 形

中点 1: 2:

中点 例

形的中位线是证明平行的 形的中位线是证明平行的 AC=BD, , 四边形EFGH是一个 是一个 四边形 形, 形,AC BD

例中四边形EFGH 例中四边形

例3 如图,在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中, (1)判断下列命题是否正确,并说明理由: A. 直线AC1在平面CC1 B1 B内; B. 点A, O, C可确定一个平面; C. 由点A, C1 , B1确定的平面与由点A, C1 , D确定的平面是同一个



平面;

√ √

D. 设正方形ABCD与A1 B1C1 D1的中心分别为O, O1 , 则面AA1C1C与
D1 C1
O1
1

面BB1 D1 D的交线为OO1. E. AC1与面BDD1 B1的交点落在直线OO1上. A

B1 D
O

C B

A

几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题)
长方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,画出下列平面的交线: (1)平面A1C1 D与平面B1 D1 D; (2)平面A1C1 B与平面AB1 D1 ;
D1 O
A1

找两平面的两个公共点

C1 B1
A1

D1 F B1 D E

C1

D A

C B A

C B

几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题)
*在棱长为a的正方体ABCD ? A'B'C'D'中,M , N 分别是AA', D'C'的中点. (1)画出过点D, M , N的平面与正方体的下底面的交线l ; (2)设平面l I AB = P, 求PB'的长;
分析:找面DMN 与面ABCD的交线
?N 即交线为QN 即交线为 ? 找面DMN 与面ABCD的两个公共点.? ??? Q MD ? 面DMN ? ? ? AD ? 面ABCD D' ? MD, AD在同一个平面ADD'A'内,且交点为Q ?

C'

? MD和AD的交点Q ∈ 面DMN I 面ABCD

A' M A Q D N P

B' C

B
拓展

4.点线共面问题 点线共面问题
(1)证明的主要依据:公理1 公理2及其三个推论. (1)证明的主要依据:公理1;公理2及其三个推论. 证明的主要依据 (2)证明的常用方法: (2)证明的常用方法: 证明的常用方法 纳入平面法:先由部分元素确定一个平面, ①纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证明其余有关的 线在此平面内; 点、线在此平面内; 辅助平面法:先证明有关的点、 ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元 重合. 素确定平面β,最后证明平面α、β重合.

4.点线共面问题 点线共面问题

证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内. 例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.

B A C

确定一个面, 确定一个面,再 证明其余线在该 面内. 面内.

已知: 已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C , , 求证:直线AB, , 共面 共面. 求证:直线 ,BC,AC共面 证明: 证明: 因为AB∩AC=A, 因为 , 所以直线AB, 确定一个平面 (推论2) 所以直线 ,AC确定一个平面α.(推论 ) 因为B∈ , ∈ ,所以B∈ ∈ 因为 ∈AB,C∈AC,所以 ∈α,C∈α, 故BC?α.(公理 ) ? (公理1) 因此直线AB, , 共面 共面. 因此直线 ,BC,CA共面

4.点线共面问题 点线共面问题

证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内. 例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.

B
证法二: 证法二:

A

C

因为A? 直线BC上 所以过点A和直线 和直线BC确定平面 (推论1) 因为 ? 直线 上, 所以过点 和直线 确定平面α .(推论 ) 因为B∈BC,所以B∈ A∈ 同理AC 因为B∈BC,所以B∈α . 又A∈α,故AB ?α,同理AC ? α, 所以AB, , 共面 共面. 所以 ,AC,BC共面 证法三: 证法三: 因为A, , 三点不在一条直线上 三点不在一条直线上, 因为 ,B,C三点不在一条直线上, 所以过A, , 三点可以确定平面 (公理2) 三点可以确定平面α 所以过 ,B,C三点可以确定平面α.(公理 ) 因为A∈ 所以AB ? α.(公理 ) 因为 ∈α,B∈α,所以 ∈ (公理1) 同理BC ? α,AC ? α,所以 ,BC,CA三直线共面 同理 所以AB, , 三直线共面 三直线共面.

4.点线共面问题 点线共面问题
练 已知A, B , C ∈ l ,D ? l , 求证:直线AD,BD,CD共面.
D

α Al B C
证明 : Q D ? l . ∴ l与D确定平面α .

又 Q A, B , C ∈ l , l ? α ∴ A, B , C ∈ α .
又Q D ∈α ∴ BD, CD, AD ? α , 即AD, BD, CD共面.

4.点线共面问题 点线共面问题
P51 5 证明:一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线共面 证明:一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线共面.
A c B a b

已知: 已知:a//b,a∩c=A,b∩c=B. , , 求证:直线a, , 共面 共面. 求证:直线 ,b,c共面 证明: 因为 证明: 因为a//b, , 所以直线a, 确定一个平面 (推论3) 所以直线 ,b确定一个平面α .(推论 ) 因为A∈ , ∈ ,所以A∈ 因为 ∈a,B∈b,所以 ∈α,B∈α. ∈ 又因为A∈ , ∈ 故 ? (公理1) 又因为 ∈c,B∈c.故AB?α .(公理 ) 因此直线a, , 共面 共面. 因此直线 ,b,c共面

4.点线共面问题 点线共面问题
已知一条直线与三条平行直线都相交,证明这四条直线共面. 例2 已知一条直线与三条平行直线都相交,证明这四条直线共面. 已知: 已知:a//b//c,a∩l=A,b∩l=B, c∩l=C. , , 求证:直线 与 , , 共面 共面. 求证:直线l与a,b,c共面
A C l B a b c

, 直线a, 确定一个平面 (推论3) 证明: 证明: ∵a//b, ∴直线 ,b确定一个平面α.(推论 ) ∵ l ∩a=A, l ∩b=B,∴ A∈α,B∈α. , , ∈ ∈ 又A∈l,B∈l,故l ?α. ∈, ∈, 同理,直线 , 确定一个平面 同理,直线b,c确定一个平面β,且l ?β . ∴平面α与β都过两相交直线b,l. 都过两相交直线 , 又∵两相交直线确定一个唯一的平面. 两相交直线确定一个唯一的平面 重合. ∴α与β重合 共面. 故l与a,b,c共面 与 , , 共面 证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法

α

4.点线共面问题 点线共面问题

已知a ?α, ?α, 求证: 练 已知 ?α,b ?α,a∩b=A,P∈b,PQ//a . 求证:PQ ?α . , ∈ ,
b A a

α

P

Q

证明: Q PQ // a,∴ 直线PQ与a确定一个平面,设为β . ∴P ∈ β , a ? β.

又P ∈ b ? α , a ? α , 且P ? a.
由推论1,过P,a有且只有一个平面. ∴α 和β 重合,即有PQ ? α .

5.证明三点共线、三线共点的问题 证明三点共线、 证明三点共线
(1)证明的主要依据是公理3 (1)证明的主要依据是公理3: 证明的主要依据是公理 如果两个平面相交,则这两个平面的公共点共线; 如果两个平面相交,则这两个平面的公共点共线; 如果两个平面相交, 如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一平面的交点 必在这两个平面的交线上. 必在这两个平面的交线上. (2)证明的常用方法: (2)证明的常用方法: 证明的常用方法 首先找出两个平面,再证这三个点都是这两个平面的公共点; ①首先找出两个平面,再证这三个点都是这两个平面的公共点; 选择其中两点确定一条直线,然后证明另一个点也在其上( ②选择其中两点确定一条直线,然后证明另一个点也在其上(一 般地,这条直线看作某两个平面的交线, 般地,这条直线看作某两个平面的交线,往证第三个点也是两个 面的公共点); 面的公共点); 证明三线共点问题:先证明两条直线交于一个点, ③证明三线共点问题:先证明两条直线交于一个点,再证明第三 条直线经过这个点(转化为证明点在线上的问题) 条直线经过这个点(转化为证明点在线上的问题)

5.证明三点共线、三线共点的问题 证明三点共线、 证明三点共线
B
要证明各点共线, 要证明各点共线,只 要证明他们是两个相 交平面的公共点. 交平面的公共点

已知三角形ABC的三条边AB BC、AC与平面 分别交于P ABC的三条边AB、 例1 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、 R.求证 求证: 、 、 共线 共线. Q、R.求证:P、Q、R共线 A

C R Q

P

证明: 证明:Q P ∈ AB ? 平面ABC ∴ P ∈ 平面ABC.

又 Q P ∈ α ∴ P ∈ α I 平面ABC.
同理Q、 也为公共点 所以 、Q、R共线 也为公共点, 所以P、 、 共线 共线. 同理 、R也为公共点,

5.证明三点共线、三线共点的问题 证明三点共线、 证明三点共线
P53 3 空间四边形 空间四边形ABCD中,E,F分别是 和CB上的点,G, 分别是AB和 上的点 上的点, , 中 , 分别是
H分别是 和AD上的点,且EH与FG相交于 分别是CD和 上的点 上的点, 相交于K. 分别是 与 相交于 求证: , , 三条直线相交于同一点 三条直线相交于同一点. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点
E H D B F C G K

分析: 分析: 已知EH∩FG=K,要证 ,BD,FG共点 共点. 已知 ,要证EH, , 共点 即要证明B, , 三点共线 三点共线. 即要证明 ,D,K三点共线 而BD是面 是面ABD和面 和面CBD的交线 的交线. 是面 和面 的交线 所以往证 往证K∈ 所以往证 ∈面ABD∩面CBD. 面

A

而显然, 而显然,由EH∈面ABD,K∈EH,可得 ∈面ABD. ∈ , ∈ ,可得K∈ 同理, 同理,由FG∈面CBD,K∈FG,可得 ∈面CBD. ∈ , ∈ ,可得K∈

练习 在四面体ABCD中,E , G分别是AB, BC的中点,F 在CD上, H 在AD上,且有DF : FC = DH : HA=2 : 3. 求证:EF , GH , BD三线共点.
练习 正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中, (1)M 是该正方体下底面的中心,过C1 , B, D作一截面, 求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在C1M 上. (2)若E , F 分别是AB, A1 A的中点,求证: i ) E , F , D, C四点共面; ii ) CE , D1 F , DA三线共点.
A1 D A M B D1 B1 C C1

小结: 小结: (1) 空间点、线、面的位置关系 空间点、 (2) 平面的基本性质(四个公理) 平面的基本性质(四个公理) (3) 证明直线平行的常用方法 (4) 点线共面,三线共点,三点共线问题的证明 点线共面,三线共点, 作业: 作业:P51 5、6 、 P53 B组2、3 组 、 P78 3、4、8 、 、 精讲精练: 精讲精练: P18 9、8 、

“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法. 见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法. D E G P78 4,5 (1)证明:连接EF , C 因为AE // BC且AE = BC , F 所以四边形ABFE为平行四边形. A ∴ AB // EF 且AB = EF . 又因为C , D分别为棱边的中点, B ∴ CD为 GEF的中位线. (2) 立体几何中求解平面的角度 1 ∴ DC // EF 且DC = EF . 边长面积等问题时, 边长面积等问题时,注意重新 2 画出图形, 画出图形,结合几何体找出边 1 即DC // AB且DC = AB. 角关系并利用平面图形性质求 2 解问题. 解问题 ∴四边形ABCD为梯形.
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几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题)
在长方体A ? C1中,P为棱BB1的中点,画出由A1 ,C1 ,P 三点所 确定的平面α 与长方体表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
A1 D A D1 B1 P B C C1

精讲精练P2 (正方体的截面形状的研究) 精讲精练 4(正方体的截面形状的研究)
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形状 三角形
锐 角 三 角 形 平 行 四 边 形

特殊情形
等 腰 三 角 形 长 方 形 等 边 三 角 形 正 方 形 梯 形

四边形

不可能是直角梯形

五边形 六边形

注意: 注意:该五边形 必有两组分别平 行的边, 行的边,且不可 能是正五边形 注意: 注意:该六边形 必有分别平行的 边,且可以是正 六边形

几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面 截得正方体的截面形状. 截得正方体的截面形状.

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几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面 截得正方体的截面形状. 截得正方体的截面形状.
分析:找面PQRK与面ADD1A1的交线
?R ? 找面PQRK与面ADD1A1的两个公共点. ? ??? S

即交线为RS交AA1于中点G 即交线为 交 于中点 T K H

?PQ ? 面PQRK ? ?AD ? 面ADD1A1 ? ?PQ,AD在同一平面ABCD内,交点为S

? G PQ和AD的交点S ∈ 面PQRK,S ∈ 面ADD1A1 .
?Q ? 找面PQRK与面BCC1B1的两个公共点.? ??? T 即交线为QT交 于中点H 即交线为 交CC 于中点
1

同理,找面PQRK与面BCC1B1的交线

S

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几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P 正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面 截得正方体的截面形状. 截得正方体的截面形状. K
法二: 取中点G,H,往证RKHQPG六点共面. 连结GH, RK//GH // PQ. Q ?RQ I RK=R ? 又 Q ?RQ I PQ=Q ?RQ I GH=J(在平面RHQG内) ? 即直线RQ与三条平行直线都相交. 故这四条直线共面(前面已证明),从而这六点共面.

J G

H

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几何体中的截面问题(两平面的交线问题) 例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题)
*画出四面体ABCD中过E,F,G三点的截面与四面体各面的交线. 画出四面体ABCD中过E,F,G三点的截面与四面体各面的交线. ABCD中过E,F,G三点的截面与四面体各面的交线
分析:找面EFG与面BCD的交线 ?G ? 找面EFG与面BCD的两个公共点. ? ??? ?EF ? 面EFG ? ?BD ? 面BCD ?EF,BD在同一平面内,交点为P ?
? EF和BD的交点P ∈ 面EFG I 面BCD.
B G

P

即交线为GP
A

E

F
D

P
H

C

同理,找面EFG与面ADC的交线 ?F 即交线为FH ? 找面EFG与面ADC的两个公共点.? ??? H

连接GP交DC于H,则H ∈ DC ? 面ADC,且H ∈ GP ? 面EFG.
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练习
1.正方体的各顶点如图所示, 1.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平面 正方体的各顶点如图所示 试用适当的符号填空. A1C1 , A1 B, B1C ,分别记作α、β、γ ,试用适当的符号填空. D C A_α O (1) A1 _ α , A B

(3)α I β = A B 1 1

∈ (2) B1∈ , _γ

? D? _γ

(5)A B1 ?α, A1 B1? _γ 1 __

(4)β Iγ =

BB1

D1 A1 O1 B1

C1

(6)平面 1C1CA∩平面 1B1BD= OO1 平面A 平面D 平面 平面
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练习
2.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的 根据下列符号表示的语句,说出有关点、 根据下列符号表示的语句 关系,并画出图形. 关系,并画出图形.

(1) A ∈ α , B ? α (2)l ?α, m ?α
(3)α I β = l

B P
α A

l
Q

(4)P ∈l, P ?α, Q∈l, Q∈α

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思考: 思考:
(1)过一点可以做几条直线?两点呢? 过一点可以做几条直线?两点呢? 过一点可以做几条直线 (2)过平面内一点可以做几个平面?两点呢?三点呢? 过平面内一点可以做几个平面? 过平面内一点可以做几个平面 两点呢?三点呢?

(3)不共面的四点可以确定多少个平面 4 个 不共面的四点可以确定多少个平面? 不共面的四点可以确定多少个平面 (4)共点的三条直线可以确定多少个平面 1个或 个 共点的三条直线可以确定多少个平面? 个或3个 共点的三条直线可以确定多少个平面 个或

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练习
(1)用符号表示 " A在直线l , l 在平面α 外", 正确的是( ) A. A ∈ l , l ? α B. A ∈ l , l ? α C. A ? l , l ? α 公共点. (3)请指出下列说法是否正确 ? 为什么? 1 空间三点确定一个平面. 2 平面α 与平面β 若有公共点, 就不止一个. 3 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋面所在的平面 与地面不相交.
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D.A ? l ,l ? α

(2)若A ∈ α , B ? α , A ∈ l , B ∈ l , 那么直线l与平面α 有 ___ 个

练习
3.填空 填空: 填空 不在同一直线上 的三点确定一个平面; (1)_________________的三点确定一个平面 的三点确定一个平面 (2)两条 平行 或 相交 直线确定一个平面 两条 直线确定一个平面; 的一条直线. (3)有一个公共点的两个平面交于唯一 的一条直线 有一个公共点的两个平面交于 4.下列命题正确的是 D ) 下列命题正确的是( 下列命题正确的是 A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
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练习
5.判断下列命题是否正确 判断下列命题是否正确: 判断下列命题是否正确 (1)平面 与平面 相交 它们只有有限个公共点 平面α与平面 相交,它们只有有限个公共点 平面 与平面β相交 它们只有有限个公共点.

×

(2)经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个 经过一条直线和这条直线外的一点 平面. 平面 √ (3)经过两条相交直线 有且只有一个平面 经过两条相交直线,有且只有一个平面 经过两条相交直线 有且只有一个平面.



(4)如果两个平面有三个不共线的公共点 那么这两个 如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个 如果两个平面有三个不共线的公共点 平面重合. 平面重合 √

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