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抽象函数定义域、值域、解析式


抽象函数的定义域
1.已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知, 要构成复合函数, 则内层函数的值域必须包含于外层函数 的定义域之中,因此可得其方法为:若 f ( x) 的定义域为 x ? ?a, b ? ,求出 f [ g ( x)] 中

a ? g ( x) ? b 的解 x 的范围,即为 f [ g ( x)] 的定义域。
2.已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f ( x) 的定义域 方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的定义域。 3.已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ?x ?] 定义 域求得 f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f [h?x ?] 的定义域。 4.已知 f ( x) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的, 其定义域为各基本函数定义域的交 集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 例 1 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ??15 , ? ,求 f (3x ? 5) 的定义域. 分析:若 f ( x ) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ,则在 f ? g ( x)? 中,a ≤ g ( x) ≤ b ,从中解得 x 的取值范围即为 f ? g ( x)? 的定义域.本题该函数是由 u ? 3x ? 5 和 f (u ) 构成的复合函数, 其中 x 是自变量, u 是中间变量,由于 f ( x ) 与 f (u ) 是同一个函数,因此这里是已知

?1 ≤ u ≤ 5 ,即 ?1 ≤ 3 x ? 5 ≤ 5 ,求 x 的取值范围.
解:

4 10 f ( x) 的定义域为 ??15 , ? ,??1≤ 3x ? 5 ≤ 5 ,? 3 ≤ x ≤ 3 .
故函数 f (3x ? 5) 的定义域为 ? , ? . 3 3

? 4 10 ? ? ?

2 例 2 已知函数 f ( x ? 2 x ? 2) 的定义域为 ?0, 3? ,求函数 f ( x) 的定义域.

分析:若 f ? g ( x)? 的定义域为 m ≤ x ≤ n ,则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为

f ( x) 的定义域.这种情况下, f ( x) 的定义域即为复合函数 f ? g ( x)? 的内函数的值域。
2 本题中令 u ? x ? 2 x ? 2 ,则 f ( x ? 2 x ? 2) ? f (u) ,
2

由于 f (u ) 与 f ( x ) 是同一函数,因此 u 的取值范围即为 f ( x ) 的定义域.
1

解:由 0 ≤ x ≤ 3 ,得 1≤ x ? 2 x ? 2 ≤ 5 .
2

令 u ? x ? 2 x ? 2 ,则 f ( x2 ? 2 x ? 2) ? f (u) , 1 ≤ u ≤ 5 .
2

故 f ( x ) 的定义域为 ?1 , 5?

例 3. 函数

定义域是

,则

的定义域是( )

A.

B.

C. 的定义域,求

D. 的定义域,可先由 的定义域 定义域求得

分析:已知

的定义域,再由 解:先求 的定义域 的定义域是

的定义域求得





的定义域是

,再求

的定义域

的定义域是

,故应选 A

变式训练: x 已知函数 f(2 )的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域. x 分析:先求 2 的值域为 M 则 log2x 的值域也是 M,再根据 log2x 的值域求定义域。

1 x x 解 ∵y=f(2 )的定义域是[-1,1] ,即-1≤x≤1,∴ 2 ≤2 ≤2. 1 ∴函数 y=f(log2x)中 2 ≤log2x≤2.即 log2 2 ≤log2x≤log24,∴ 2 ≤x≤4.
故函数 f(log2x)的定义域为[ 2 ,4] 例4 若 f ( x ) 的定义域为 ? ?3 , 5? ,求 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域.

分析:求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个 函数的定义域,然后再求交集. 解:由 f ( x ) 的定义域为 ? ?3 , 5? ,则 ? ( x) 必有 ?

??3 ≤ ? x ≤ 5, 解得 ?4 ≤ x ≤ 0 . ??3 ≤ 2 x ? 5 ≤ 5,

2

所以函数 ? ( x) 的定义域为 ? ?4, 0? . 变式训练:

已知函数 域。

的定义域是

, 求

的定义

分析:分别求 f(x+a)与 f(x-a)的定义域,再取交集。 解: 由已知,有

,即 函数的定义域由 确定

函数

的定义域是

1 2 ,2],求 f(x )的定义域. 2 1 1 1 分析:已知 f(x+1)的定义域为[- ,2],x 满足- ≤x≤2,于是 <x+1<3,得到 2 2 2
例 5 若函数 f(x+1)的定义域为[- f(x)的定义域,然后 f(x )的定义域由 f(x)的定义域可得. 解:先求 f(x)的定义域: 由题意知-
2

1 1 1 ≤x≤2,则 <x+1<3,即 f(x)的定义域为[ ,3], 2 2 2

再求 f[h(x)] 的定义域: ∴

1 2 2 2 <x <3,解得- 3 <x<- 或 <x< 3 . 2 2 2
2

∴f(x )的定义域是{x|- 3 <x<-

2 2 或 <x< 3 }. 2 2

的定义域由 f(x)的定义域可得. 解:先求 f(x)的定义域: 由题意知-

1 1 1 ≤x≤2,则 <x+1<3,即 f(x)的定义域为[ ,3], 2 2 2
3

再求 f[h(x)] 的定义域: ∴

1 2 2 2 <x <3,解得- 3 <x<- 或 <x< 3 . 2 2 2
2

∴f(x )的定义域是{x|- 3 <x<-

2 2 或 <x< 3 }. 2 2

求函数值域常用的方法
1、直接法——从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围; 2、二次函数法(配方法)——配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。 3、分离常数法——形如
y? cx ? d ( a ? 0) ax ? b 的函数,求出 y 的取值范围;

4、换元法——形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数

点拨:通过换元将原函数转化

为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域,要注意换元后 自变量的取值范围。 5、 反函数法 当函数的反函数存在时, 则其反函数的定义域就是原函数的值域。 点拨:先求出原函数的反 6、判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一,即先去分母,把函数转化成关
于 x 的二次方程 f(x,y)=0,因为方程有实根,所以判别式△≥0,通过解不等式求得原函数 的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。 7、不等式法。不等式法是利用基本不等式:a+b≥2 (a、b∈R+),是在指定区间上求

二次分式函数的基本方法之一,当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。 用不等式法求值域,要注意均值不等式的使用条件:“一正、二定、三相等”。 8、单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函 数的值域的方法。

类型一:一次分式型

1.y=

(a

0)型

例1

求函数 y=

的值域。

解法一:分离常数法。将 y=

转化为 y=

(k1,k2 为常数),则 y

k1
4

解:∵y=

=



∴y



解法二:反函数法。通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。

解:反解 y=

得 x=



对调 y=

(x

),

∴函数 y=

的值域为 y



类型二:二次分式型

1.y=

(a、d 不同时为 0),x∈R 型 ≥0 ( =f(y)) ,

用判别式法: 先去分母, 得到含参数 y 的二次方程 f(x)=0,根据判别式 即可求出值域。

例2

求函数 y=

的值域。

解:由 y=

得 yx2-3x+4y=0。

当 y=0 时,x=0,当 y≠0 时,由△≥0 得∵函数定义域为 R,

≤y≤



∴函数 y=

的值域为[-



] 。

说明: 判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内, 但不能用其在指定的区间 上求二次函数的值域,否则就会放大值域。

2.y=

(a、d 不同时为 0),指定的区间上求值域型。

5

例5



(x<

)的值域。

分析:因为 x<

,所以若用判别式法,可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。

解:∵x<

, ∴5-4x>0,

>0。



=1-4x+

=[(5-4x)+

]-4

≥2 =-2, ∴原函数的值域为


-4

例6



的值域。

错解:

=

≥2。

分析:在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”,显然上述解法





不能相等,“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用

判别式法又无法解决根式问题,此时可考虑借函数的单调性求值域。 解:用单调性法

=





=t,显然 t≥2,则 y=t+

(t≥2),

任取 2≤t1≤t2,则 f(t1)= t1+

, f(t2)= t2+



f(t1)- f(t2)=( t1+

)-( t2+

)=( t1- t2)( 1-

),
6

∵2≤t1≤t2 ∴t1- t2<0, t1· t2≥4, 1-

>0,

∴f(t1)- f(t2)=( t1- t2)( 1-

)<0 。

∴f(t1)< f(t2),即函数 y=t+

在 t≥2 上单调递增。

∴当 t=2、即

=2、x=0 时,ymin=



∴原函数的值域为



三.解析式的求法
1. 配凑法 例 1.已知 : f ( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 2 ,求 f(x); 解因为 f ( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? 5x ? 1

? ( x ? 1) 2 ? 5( x ? 1) ? 6, 所以f ( x) ? x 2 ? 5x ? 6
1 1 例 2、已知: f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x) 。 x x 1 1 1 解: f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 x x x



f ( x) ? x 2 ? 2

( x ? 2或x ? ?2)

2.换元法 例 1.已知: f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f(x); 解令 x ? 1 ? t, 则t ? 1, 即x ? (t ? 1) 2 则 f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1 所以 f ( x) ? x 2 ? 1( x ? 1)
1 1 例 2、已知: f (1 ? ) ? 2 ? 1 ,求 f ( x) 。 x x 1 1 解:设 t ? 1 ? ,则 t ? 1 , x ? ,代入已知得 x t ?1

7

f (t ) ?

1 ? 1 ? ? ? ? t ?1?
2

? 1 ? (t ? 1) 2 ? 1 ? t 2 ? 2t



f ( x) ? x 2 ? 2x

( x ? 1)

注意:使用换元法要注意 t 的范围限制,这是一个极易忽略的地方。 3 待定系数法 例 1.已知:f(x) 是二次函数,且 f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3,求 f(x)。 解(1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a ? 0)则 ∵ f (2) ? ?3, f (?2) ? ?7, f (0) ? ?3 1 ? ?a ? ? 2 ?4a ? 2b ? c ? ?3 ? ? ∴ ?4a ? 2b ? c ? ?7 解理 ?b ? 1 ?c ? ?3 ?c ? ? 3 ? ? ? 1 ∴ f ( x) ? ? x 2 ? x ? 3 2 4.赋值(式)法 例 1、已知函数 f ( x) 对于一切实数 x , y 都有 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成 立,且 f (1) ? 0 。 (1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式。 解: (1) 取 x ? 1, y ? 0 ,则有
f (1 ? 0) ? f (0) ? (1 ? 0 ? 1)1

? f (0) ? f (1) ? 2 ? 0 ? 2 ? ?2
(2)取 y ? 0 ,则有 f ( x ? 0) ? f (0) ? ( x ? 0 ? 1) x . 整理得: f ( x) ? x 2 ? x ? 2 5、方程法
?1? 例 1、已知: 2 f ( x) ? f ? ? ? 3x , ( x ? 0) ,求 f ( x) 。 ? x? ?1? 解:已知: 2 f ( x) ? f ? ? ? 3x , ? x?



8

1 1 3 用 去代换①中的 x 得 : 2 f ( ) ? f ( x) ? x x x 1 ( x ? 0) . 由①×2-②得: f ( x) ? 2 x ? x



9


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