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2011高二数学学情调研一


命题人:周迎迎审核人:王文玉

2010—2011 年高二数学学情调研试题 年高二数学学情调研试题(一)
班级姓名得分 2011.5.18 填空题: 小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

1.已知集合 A = {? 1, a} , B = 2 , b ,若 A ∩ B = { } ,则 A ∪ B = . 1
a

{

}

2.已知 i 是虚数单位,计算

(2 + i) 的结果是. 3 ? 4i
2

3.已知幂函数 y = f ( x ) 的图象过(4,2)点,则 f ( ) = _ ____. 则
5 ≥ 1} ,求 (CU A) ∩ B =____. x+2 5.在复平面内,复数 i (1 ? i ) ( i 是虚数单位)对应的点位于 对应的点位于第_ ____象限.

1 2

4.已知 R 为全集, A = {x | log 1 (3 ? x) ≥ ?2}, B = {x |
2

6.函数 f ( x) =

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为.

7.若命题 ?x ∈ R, 使 x 2 + ( a ? 1) x + 1 < 0” “ 是假命题 是假命题,则实数 a 的取值范围为. 8.已知奇函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = ?2 对称 当 x ∈ [ 0, 2] 时, f ( x ) = 2 x ,则 f ( ?9) =. 对称, 9.若“ x 2 ? 2 x ? 3 > 0 ”是 “ x < a ”的必要不充分条件 的必要不充分条件,则 a 的最大值为. ( n = 1), ?S , 10.若数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 a n = ? 1 若数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn , S n ? S n ?1 , ( n ≥ 2). ? 类比上述结果,则 bn =_ _____;此时,若 Tn = n 2 (n ∈ N ? ) ,则 bn =_ ____. 11.设定义在区间 [22 ? a ? 2, 22 ? a ] 上的函数 f ( x ) = 3x ? 3? x 是奇函数,则实数 a 的取值范围是 __. 12.函数 f ( x) = ?

?4 x ? 4,
2

x ≤ 1,

? x ? 4 x + 3,x > 1

的图象和函数 g ( x ) = log 2 x 的图象的交点个数是________.

13.设函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a < 0) 满足 f (1 ? x) = f (1 + x ) , f (3x ) 与 f (4 x ) 的大小关系是_ ___. 则 1 14.已知 f ( x) = x 2 , g ( x) = ( ) x ? m ,若对 ? x1 ∈ [ ?1,3] , ? x2 ∈ [ 0, 2] , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,则实数 m 的取 2 值范围是.

请将填空题答案填写在下列横线上: 请将填空题答案填写在下列横线上
1. 2.3.4. 5.6.7.8. 9.10.11.12. 13.14.

命题人:周迎迎审核人:王文玉

小题,共 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 二、解答题:本大题共 4 小题 共 58 分,解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 15.( 小 本 题14分 设复数 z = (m2 + 3m ? 4) + (m2 ? 2m ? 24)i ,试求实数 m 分别取何值时,满足: ) (1)复数 z 是纯虚数; (2)复数 z 所对应的点在直线 x ? y + 5 = 0 上; (3)复数 z 所对应的向量与向量 (?1, 4) 平行.

16.(本小题 14 分)

17.(本小题 14 分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环 保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 a (1 ≤ a ≤ 4 ,且 a ∈ R ) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x (天)变化的函数

命题人:周迎迎审核人:王文玉

? 16 ? 8 ? x ? 1 (0 ≤ x ≤ 4) ? 关系式近似为 y = a ? f ( x) ,其中 f ( x) = ? .若多次投放,则某一时刻水中的药 1 ? 5 ? x (4 < x ≤ 10) ? ? 2
剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于 4(克/ 升)时,它才能起到有效治污的作用. (Ⅰ)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (Ⅱ)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能够持续 有效治污,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4).

18.(本小题 16 分)已知函数 f ( x) = 2 x +1 定义在 R 上. (1)若 f ( x ) 可以表示为一个偶函数 g ( x ) 与一个奇函数 h( x) 之和, 设 h( x) = t , p (t ) = g (2 x) + 2mh( x) + m 2 ? m ? 1( m ∈ R ) ,求出 p (t ) 的解析式; (2)若 p (t ) ≥ m 2 ? m ? 1 对于 x ∈ [1, 2] 恒成立,求 m 的取值范围;

命题人:周迎迎审核人:王文玉

(3)若方程 p ( p (t )) = 0 无实根,求 m 的取值范围.

? 64 ? 4(0 ≤ x ≤ 4) ? 17 解: (Ⅰ) 因为 a = 4 ,所以 y = ? 8 ? x ………………………………………………… ? 20 ? 2 x(4 < x ≤ 10) ?
1分 则 当

0≤ x≤4



,



64 ?4≥ 4 8? x

,





x≥0

,









命题人:周迎迎审核人:王文玉

0 ≤ x ≤ 4 …………………………………… 3 分 当 4 < x ≤ 10 时 , 由 20 ? 2 x ≥ 4 , 解 得 x≤8 , 所 以 此 时 4 < x ≤ 8 ………………………………………5 分 综合,得 0 ≤ x ≤ 8 ,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天…………………………
6分 ( Ⅱ ) 当 6 ≤ x ≤ 10 时 , 1 16 y = 2 × (5 ? x) + a ( ? 1) ……………………………………………9 分 2 8 ? ( x ? 6) 16a 16a = 10 ? x + ? a = (14 ? x ) + ? a ? 4 ,因为 14 ? x ∈ [4,8] ,而 1 ≤ a ≤ 4 , 14 ? x 14 ? x 所 以 4 a ∈ [4,8] , 故 当 且 仅 当 14 ? x = 4 a 时 ,y 有 最 小 值 为

8 a ? a ? 4 ………………………12 分
令 8 a ? a ? 4 ≥ 4 ,解得 24 ? 16 2 ≤ a ≤ 4 ,所以 a 的最小值为 24 ? 16 2 ≈ 1.6 ………………14 分 18 . 解 : ( Ⅰ ) 假 设 f ( x ) = g ( x ) + h( x ) ① , 其 中 g ( x ) 偶 函 数 , h( x) 为 奇 函 数 , 则 有

f ( ? x ) = g ( ? x ) + h( ? x ) , 即 f ( ? x ) = g ( x ) ? h( x ) ② , 由 ①② 解 得 g ( x ) =

h( x) =

f ( x) ? f (? x) .∵ f ( x ) 定义在 R 上,∴ g ( x ) , h( x) 都定义在 R 上. 2

f ( x) + f ( ? x ) , 2

∵ g (? x) =

f (?x) ? f (x) f (? x ) + f ( x) h =?h(x) .∴ g ( x ) 是偶函数,h( x) 是奇函数, = g ( x ) , (?x) = 2 2

∵ f ( x ) = 2 x +1 ,∴ g ( x) =

f ( x) + f (? x) 2 x +1 + 2? x +1 1 = = 2x + x , 2 2 2 x +1 ? x +1 1 f ( x ) ? f (? x) 2 ? 2 1 由 2 x ? x = t ,则 t ∈ R , h( x ) = = = 2x ? x . 2 2 2 2
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

平方得 t 2 = (2 x ?

1 2 1 1 ) = 22 x + 2 x ? 2 ,∴ g (2 x ) = 2 2 x + 2 x = t 2 + 2 , x 2 2 2
…………6 分

∴ p (t ) = t 2 + 2mt + m 2 ? m + 1 . (Ⅱ)∵ t = h ( x) 关于 x ∈ [1, 2] 单调递增,∴

3 15 ≤t ≤ . 2 4

∴ p (t ) = t 2 + 2mt + m 2 ? m + 1 ≥ m 2 ? m ? 1 对于 t ∈ ? ,

? 3 15 ? 恒成立, ?2 4 ? ?

t2 + 2 t2 + 2 1 2 ? 3 15 ? ∴m ≥ ? 对于 t ∈ ? , ? 恒成立,令 ? (t ) = ? ,则 ? ′(t ) = ( 2 ? 1) , 2t 2t 2 t ?2 4 ?

命题人:周迎迎审核人:王文玉

∵t ∈? ,

t2 + 2 1 2 ? 3 15 ? ? 3 15 ? ,∴ ? ′(t ) = ( 2 ? 1) < 0 ,故 ? (t ) = ? 在 t ∈ ? , ? 上单调递减, ? 2 t 2t ?2 4 ? ?2 4 ? 3 2 17 17 ,∴ m ≥ ? 为 m 的取值范围. …………10 分 12 12
2 2

∴ ? (t ) max = ? ( ) = ?

(Ⅲ)由(1)得 p ( p (t )) = [ p (t )] + 2mp (t ) + m ? m + 1 , 若 p ( p (t )) = 0 无实根,即 [ p (t )] + 2mp (t ) + m ? m + 1 ①无实根,
2 2 2 2 方程①的判别式 ? = 4m ? 4( m ? m + 1) = 4( m ? 1) .

1°当方程①的判别式 ? < 0 ,即 m < 1 时,

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

方程①无实根.

………12 分

2°当方程①的判别式 ? ≥ 0 ,即 m ≥ 1 时方程①有两个实根 p(t) =t2 +2mt +m2 ?m+1=?m± m?1, 即 t + 2mt + m + 1 ± m ? 1 = 0 ②,
2 2

只要方程②无实根,故其判别式 ? 2 = 4m ? 4(m + 1 ± m ? 1) < 0 ,
2 2

即得 ?1 ? m ? 1 < 0 ③,且 ?1 + m ? 1 < 0 ④, ∵ m ≥ 1 ,③恒成立,由④解得 m < 2 ,∴③④同时成立得 1 ≤ m < 2 . 综上,m 的取值范围为 m < 2 . ……………16 分


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