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2014年全国高中数学联赛模拟卷一试+二试


2014 年全国高中数学联赛模拟卷第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共 5 节课,如果第 1 节不排生物,最后 1 节 不排物理

,那么不同的排课表的方法有__________种. 2、函数 f (x)的定义域为 D,若满足①f (x)在 D 内是单调函数,②存在[a, b]?D,使 f (x)在[a, b]上的值域 为[a, b],那么 y=f (x)叫做闭函数,现有 f ( x) ? 3、如图,在△ ABC 中, cos

x ? 2 ? k 是闭函数,那么 k 的取值范围是_________

C 2 5 , AH ? BC ? 0, AB ? (CA ? CB) ? 0 , ? 2 5

则过点 C,以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________ 4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合,并且正方形在圆的内部, 1 在圆上随机选一点,则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为 ,则该圆的半径为________ 2 5、 有一个正四棱锥, 它的底面边长与侧棱长均为 a , 现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸, 但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为____________. 6、 若实数 a, b, x, y 满足 ax ? by ? 3, ax2 ? by 2 ? 7 ,ax3 ? by3 ? 16 ,ax4 ? by 4 ? 42 , 则 ax5 ? by5 ? ________ 7、设对于任意满足

m ? 7 的自然数 m , n 有不等式 7 ? m 2 ? ? 恒成立,则 ? 的最大值为__________ n n2 n2

8、圆周上有 10 个等分点, 则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中, 梯形所占的比为_______

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.已知正实数 x, y ,设 a ? x ? y , b ? x2 ? 7xy ? y2 . (1)当 y ? 1 时,求 的取值范围;
(2)若以 a , b 为三角形的两边,第三条边长为 c 构成三角形,求
c2 的取值范围. xy

b a

2 10. 已知数列{an}: a1 ? 20, a2 ? 30, an?1 ? 3an ? an?1 . ⑴ 证明: an ? an?1an?1 ? ?500 (n ? 2) ⑵ 求出所有的正整数 n ,使得 5an?1an ? 1为完全平方数.

11. 设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明:

a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a

2012 模拟卷(9)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)等腰直角△ABC 中,∠A=90° ,点 D 和 E 为边 BC 上的点,且∠DAE=45° ,
△ADE 的外接圆分别交边 AB 和 AC 于点 P 和 Q,求证:BP+CQ=PQ

C E Q D A P B

二、 (本题满分 40 分)已知 n 为正整数,且 a1 , a2 , a3 ,?, ak (k ? 2) 是集合 {1,2,?, n} 中不同的正整
数,其满足 n 整除 ai (ai ?1 ? 1), i ? 1,2,?, k ? 1,证明: n 不整除 ak (a1 ? 1) .

三、 (本题满分 50 分)已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且满足 abc= 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1).
(1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若 a>1,b>1,c>1,求出△ABC 周长的最小值。

四、 (本题满分 50 分)设 n 是一个固定的正偶数. 考虑一块 n ? n 的正方板,它被分成 n 2 个单位正
方格. 板上两个不同的正方格,如果有一条公共边,就称它们为相邻的. 将板上 N 个单位正方格作上 标记,使得板上的任意正方格(作上标记的或者没有作上标记的)都与至少一个作上标记的正方格相 邻. 确定 N 的最小值.

2012 模拟卷(9)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷答案
1、由容斥原理知,有

5! 4! 3! ? 2 ? ? ? 39 种. 2 2 2

2、 x ? 2 ? k ? x 在[-2, +∞)有两不等实根. 设 x ? 2 ? t ?[0, ??) , 则 g (t ) ? t 2 ? t ? (k ? 2) ? 0 在 [0, +∞)有两个不等实数根,则 ? ? 1 ? 4(k ? 2) ? 0 且 g (0) ? 0 解得 k ? ?

?

9 , ?2 ? . ? 4 ?

3、取 AB 的中点 D, 则 CA ? CB ? 2 AD , 由 AB ? (CA ? CB) ? 0 得 AB ? AD ? 0 , 即 AB ? AD . 故△ABC 的底边 AB 上的高线与中线重合. 从而△ABC 是等腰三角形. AC=BC. 由 AH ? BC ? 0 知,

C 1 2 ? C 1 C 5 C 2 5 2 ? 2 ?4. AH ? BC . 由 cos ? , 知 sin ? , tan ? ,则 tan C ? C 1 2 2 2 5 2 5 1 ? tan 2 1 ? ( )2 3 2 2 2 tan

AH 2 ? CH 2 =5. AH 4 ? ? 2. 故以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 e ? AC ? CH 5 ? 3
在 Rt△ACH 中, 不妨设 CH=3, 则 AH=4, BC=AC= 4、在正方形相邻边所夹的劣弧上,可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整的 1 4?2 2 边的概率为 ” ,可知延长正方形的边与圆的 8 个交点将圆周 8 等分.可以得到圆半径为 . 2 2 5、将正四棱锥的侧面向外展开到底面,则 4 个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形,

2? 6a . 2 3 3 3 3 6、因为 ax ? by ? 16 ,所以 (ax ? by )( x ? y) ? 16( x ? y) .
边长为 所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by ) ? 16( x ? y) .即 42 ? 7 xy ? 16( x ? y) ??⑴
4 4 2 2

因为 ax ? by ? 7 ,所以 (ax ? by )( x ? y) ? 7( x ? y) .
2 2 2 2

所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by) ? 7( x ? y) .即 16 ? 3xy ? 7( x ? y) ??⑵ 由⑴、⑵,解得 x ? y ? ?14 , xy ? ?38 .
3 3

又因为 ax ? by ? 42 ,所以 (ax ? by )( x ? y) ? 42( x ? y) .
4 4 4 4

2 2 7、 原不等式 ? 7n ? m ? ? . 7n ? 0 ? mod 7 ? , m ? 0,1, 2, 4 ? mod7 ? . ∴ ?max ? 3 .
2 2

所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by ) ? 42( x ? y) .所以 ax ? by ? 42( x ? y) ?16xy ? 20 . 注:用递归数列也可求解.
5 5 3 3 5 5

4 8、任选 4 点,共有 C10 ? 210 个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从 5 组平行于直径的 5 条平行

弦中选取,也可以从不平行于直径的 4 条平行弦中选取,除去矩形,梯形共有 60 个,所以,梯形所 占的比为

2. 7


9、解: (1)∵ x ? a ? 1 ,且 a ? x ? 1 ? 1

(a ? 1)2 ? 7(a ? 1) ? 1 b a 2 ? 5a ? 5 1 1 9 ? ? ? ?5( ? )2 ? a a a2 a 2 4 b 1 1 1 9 9 ? 3? 又 a ? x ? 1 ? 1 ? ? (0,1) , 结合二次函数的图像知 1 ? ?5( ? )2 ? ? ,故 的取值范围为 ? 1, ? a a a 2 4 4 ? 2?

b x2 ? 7 x ? 1 x2 ? 7 x ? 1 5x ? 2 ? 1? 2 另解: ? = 1? a x ?1 x ? 2x ? 1 x ? 2x ? 1

5 1 x?2? x



1 5 5 x ? 2 ? ? 4,0 ? ? 1 4 x x?2? x

2012 模拟卷(9)

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?1 ?
(2)设

b 3 b ? 3? ? ,得 的取值范围为 ? 1, ? a 2 a ? 2?
2 2 ? c2 ?c ? ( x ? y ) ? x ? 7 xy ? y ? k ,则 c ? k ? xy 恒成立, , ?c ? x 2 ? 7 xy ? y 2 ? ( x ? y ) xy ? ?

? ( x ? y ) ? x 2 ? 7 xy ? y 2 ? x y x y ? k? ? ?2? ? ?7 ? k? xy y x y x ? ? 即 ? ,? 恒成立, x y x y x 2 ? 7 xy ? y 2 ? ( x ? y ) ? ? ? k? ? k ? y ? x ?7 ? y ? x ?2 xy ? ? x 1 1 1 令 ? t ,由于 y ? t ? 在 ?1, ?? ? 是增函数,令 f (t ) ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 , y t t t
1 1 则 f (t ) ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 ? 9 ? 4 ? 5 又 t t

1 1 t ? ?7 ? t ? ?2 ? t t

5 1 1 t ? ?7 ? t? ?2 t t

?1

?1 ? k ? 5,1 ? k ? 25 ,得

c2 的取值范围为 ?1, 25 ? xy

2 10、解 a1 ? 20, a2 ? 30, a3 ? 70, a4 ? 180. 我们用归纳法证明. an ? an?1an?1 ? ?500 (n ? 2) (*)

(1)当 n ? 2 时,结论成立.
2 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立。即 ak ? ak ?1ak ?1 ? ?500. 2 2 又由于 ak ?1 ? 3ak ? ak ?1 . 代入上式可得: ak ? 3ak ak ?1 ? ak . ??① ?1 ? ?500

2 2 2 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ak ?2 ? ak ?1 ? ak (3ak ?1 ? ak ) ? ak ?1 ? 3ak ak ?1 ? ak ? ?500 (由①)

2

故当 n ? k ? 1 时,结论成立,即(*)式成立.
2 又 an?1 ? 3an ? an?1 可知: an . ?1 ? 3an an?1 ? an ? ?500 2

则 5an?1an ? (an?1 ? an ) 2 ? 500, 5an?1an ? 1 ? (an?1 ? an ) 2 ? 501. 设 5an?1an ? 1 ? t (t ? N ). 则 t ? (an?1 ? an ) 2 ? 501 . 知: [t ? (an?1 ? an )] ? (an?1 ? an ? t ) ? 501.
2 2

又 an?1 ? an ? N 且 501 ? 1 ? 501 ? 3 ? 167 故?

? a n ?1 ? a n ? t ? ?1 ? a n ?1 ? a n ? t ? ?3 或? ?a n ?1 ? a n ? t ? 501 ?a n ?1 ? a n ? t ? 167

故?

则当 n ? 3 时,满足条件.

t ? 251 t ? 85 ? ? 或? (舍去) a ? a ? 250 a ? a ? 82 n n ? n ?1 ? n ?1

11.证明 因为 a ? b ? c ? d ? 4 ,要证原不等式成立,等价于证明

a2 b2 c2 d 2 4(a ? b) 2 ? ? ? ? a?b?c?d ? ?? ① b c d a a?b?c?d a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? (a ? b ? c ? d ) 事实上, b c d a a2 b2 c2 d2 ? ( ? b ? 2a) ? ( ? c ? 2b) ? ( ? d ? 2c) ? ( ? a ? 2d ) b c d a 1 1 1 1 ? (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? d ) 2 ? (d ? a) 2 ??? ② b c d a 2 2 (a ? b) (b ? c) (c ? d ) 2 (d ? a) 2 ? ? ? ](a ? b ? c ? d ) 由柯西不等式知 [ b c d a
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? (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 又由 | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |?| b ? a | 知

????? ③

(| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 ? 4(a ? b) 2 ????④
由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立.

C D' E

二 试
一、设 CE=x, ED=y,DB=z, 则 AB=AC= PQ 为圆的直径, ∴DE=PQsin45° 即 PQ= 2 y ∵BP· AB=BD· BE 2 (x+y+z) 2

Q D B

2 ( y ? z) z 2 ( y ? x) x A P ,同理,CQ= x? y?z x? y?z 故要证 BP+CQ=PQ,只要证 x2+z 2=y2 将△BAD 绕 A 逆时针旋转 90° ,则 B 转到 C,设 D 转到 D',则∠D'CE=∠B+∠ACE=90° , ∴x2+z 2=D'E2。在△AD'E 和△ADE 中,∠D'AE=∠DAB+∠CAE=90° -∠EAD=45° =∠EAD 且 D'A=DA,AE=AE,∴△AD'E≌△ADE,∴DE=D'E,∴x2+z 2=y2
∴BP=

二、 如果 n 整除 ak (a1 ? 1) .不妨设 n ? pq , 其中 p ak , q a1 ? 1, 则可以推得:p ai , q ai ? 1(i ? 1,2,?, k ) , 显然 p, q 互素,且 pq ai (ai ? 1)(i ? 1,2,?, k ) ,只要令 k ? 1,2 ,则

| a1 ? a2 ? 1, q ? | a1 ? a2 ? 1 , pq a1 (a1 ? 1) ? a2 (a2 ? 1) ? (a1 ? a2 )(a1 ? a2 ? 1) ,而 p ?
故 pq a1 ? a2 ,即 n | a1 ? a2 ,而 a1 , a2 ?{1,2,?, n} ,矛盾.

1 1 1 1 ? ? ? . a b c 5 1 1 1 1 4 3 由 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,可得 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ( ) 。 矛盾。 2 a b c 5
三.解: (1)不妨设整数 a≥b≥c,显然 c≥2。 若 c≥5,这时 故 c 只可能取 2,3,4。 当 c=2 时, ab ? (a ? 1)(b ? 1) ,有 a ? b ? 1. 又 a≥b≥2,故无解。

) 当 c=3 时, 3ab ? 4(a ? 1)(b - 1 ,即 (a ? 4)(b ? 4) ? 12 , 又 a≥b≥3,
故?

?a ? 4 ? 12 ?a ? 4 ? 6 ?a ? 4 ? 4 或? 或? ? b ? 4 ? 1 ?b ? 4 ? 2 ?b ? 4 ? 3

解得 ?

?a ? 16 ?a ? 10 ?a ? 8 或? 或? ? b ? 5 ? b ? 6 ?b ? 7

能构成三角形的只有 a=8,b=7,c=3。 当 c=4 时,同理解得 a=9,b=4 或 a=6,b=5。 能构成三角形的只有 a=6,b=5,c=4。 故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为 4,5,6 或 3,7,8

1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) 1 1 1 1 a b c ]3 (2)由 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,可得 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? [ 2 a b c 3 1 1 1 2 1 1 1 9 9 33 2 ( a ? b ? c )( ? ? ) ? 9 所以 ? ? ? 3 ? , 又 ,则有 a ? b ? c ? ? ? 3 3 1 1 1 2 a b c a b c 2 2 ?1 ? ? 3? 3 a b c 2
故△ABC 的周长最小值为

33 2
3

2 ?1

,当且仅当 a ? b ? c ?

3 3

2

2 ?1

时,取得此最小值。

2012 模拟卷(9)

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四、解:设 n ? 2 k . 首先将正方板黑白相间地涂成象国际象棋盘那样.设 f ( n) 为所求的 N 的最小值.

fw(n) 为必须作上标记的白格子最小数目,使得任一黑格都有一个作上标记的白格子与之相邻. 同样
定义 fb(n) 为必须作上标记的黑格子最小数目,使得任一白格都有一个作上标记的黑格子与之相邻. 由于 n 是偶数, “棋盘” 是对称的, 故有 fw(n) ? fb(n) 且 f ( n) ? fw(n) ? fb(n) .为方便, 将 “棋盘” 按照最长的黑格子对角线水平放置,则各行黑格子数目分别为 2,4,?,2k ,?,4,2. 在含有 4i ? 2 个黑 格子那行下面,将奇数位置白格子作上标记.当该行在对角线上方时,共有 2i 个白格子作上了标记; 而当该行在对角线下方时,共有 2i ? 1 个白格子作上了标记.因而作上标记的白格子共有

2 ? 4 ??? k ??? 3 ?1 ?

k (k ? 1) 个. 2

易见这时每个黑格子都与一个作上标记的白格子与之相邻. 故得: fw( n) ?

k ( k ? 1) 个作上标记的白格子.它们中任意两个没有相邻公共黑格子, 2 k ( k ? 1) k (k ? 1) . 所以至少还需将 个黑格子作上标记,从而 fb(n) ? 2 2 k (k ? 1) n(n ? 2) . f ( n) ? . 因此, fw(n) ? fb(n) ? 2 4
考虑这

k (k ? 1) . 2

2012 模拟卷(9)

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