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高考数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案70 算法与程序框图


第十二章 算法初步、复数 学案 70 算法与程序框图
导学目标: 1.了解算法的含义,了解算法的思想.2.理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、 循环结构.

自主梳理 1.算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的 ________和________的步骤.这些程序或步骤必须是明 确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2.程序框图又称________,是一种用________、 ________及____________来准确、直观地表示算法的图 形. 通常程序框图由________和________组成,一个或 几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;________带 方向箭头,按照算法进行的顺序将________连结起来. 3 .顺序结构是由 ________________________ 组成 的,这是任何一个算法都离不开的基本结构.

其结构形式为 4.条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否 成立而选择执行不同的流向的结构形式. 其结构形式为

5 . 循 环 结 构 是 指 _______________________________________________ ___________.反复执行的步骤称为 ________.循环结 构又分为________________和________________. 其结构形式为

6.算法的五个特征:概括性、逻辑性、有穷性、 不惟一性、普遍性. 自我检测 1.(2010· 陕西)如图所示是求样本 x1,x2,?,x10 平均数 x 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为 ( ) A.S=S+xn C.S=S+n xn B.S=S+ n 1 D.S=S+ n

第 1 题 图 第 2 题图 2.(2010· 全国)如果执行如图所示的框图,输入 N =5,则输出的数等于( ) 5 4 6 5 A. B. C. D. 4 5 5 6 3.(2011· 北京)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( ) 1 1 A.-3 B.- C. 2 3 D.2

探究点二 算法的条件结构 -2 ?x>0? ? ? 例 2 (2011· 杭州模拟)函数 y=?0 ?x=0? ,写 ? ?2 ?x<0? 出求该函数的函数值的算法,并画出程序框图.

变式迁移 2 给出一个如图所示的程序框图,若要 使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数 是( )

第 3 题 图 第 4 题图 4.(2011· 山东)执行如图所示的程序框图,输入 l= 2,m=3,n=5,则输出的 y 的值是________.

探究点一 算法的顺序结构 例 1 已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0, 求点 P(x0,y0)到直线 l 的距离 d,写出其算法并画出程 序框图.

A.1 B.2 C.3 D.4 探究点三 算法的循环结构 例 3 写出求 1×2×3×4×?×100 的一个算法并 画出程序框图.

变式迁移 3 (2011· 天津和平区模拟)在如图所示的 程序框图中, 当程序被执行后, 输出 s 的结果是______.

变式迁移 1 阅读如图的程序框图, 若输入的 a、 b、 c 分别是 21、32、75,则输出的 a、b、c 分别是( ) A.75、21、32 B.21、32、75 C.32、21、75 D.75、32、21

1.程序框图主要包括三部分:(1)表示相应操作的 框; (2)带箭头的流程线; (3)框内外必要的文字说明, 读懂程序框图要从这三个方面研究.流程线反映了 流程执行的先后顺序,主要看箭头方向,框内外文 字说明表明了操作内容. 2.两种循环结构的区别:(1)执行情况不同:当型 循环是先判断条件,当条件成立时才执行循环体, 若循环条件一开始就不成立,则循环体一次也不执 行.而直到型循环是先执行一次循环体,再判断循 环条件, 循环体至少要执行一次. (2)循环条件不同: 当型循环是当条件成立时循环,条件不成立时停止 循环,而直到型循环是当条件不成立时循环,直到 条件成立时结束循环.

第 1 题图 第 2 题图 2.(2010· 福建)阅读如图所示的程序框图,运行相 应的程序,输出的 i 值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.(2010· 浙江)某程序框图如图所示,若输出的 S =57,则判断框内为( ) A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.中山市的士收费办法如下:不超过 2 公里收 7 元(即起步价 7 元),超过 2 公里的里程每公里收 2.6 元, 另每车次超过 2 公里收燃油附加费 1 元(不考虑其他因 素).相应收费系统的程序框图如图所示,则①处应填 ( ) A.y=7+2.6x B.y=8+2.6x C.y=7+2.6(x-2) D.y=8+2.6(x- 2)



3





第 4 题图 4.(2010· 辽宁)如果执行如图所示的程序框图,输 入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于( ) A.720 B.360 C.240 D.120 5.阅读下面的程序框图,则输出的 S 等于( )

A.14 B.20 C.30 D.55 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 浙江)若某程序框图如图所示,则该程序 运行后输出的 k 的值是__________.

的质点的运动过程观测了 8 次,第 i 次观测得到的 数据为 ai,具体如下表所示: i 1 2 3 4 5 6 7 8 ai 40 41 43 43 44 46 47 48 在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所 示的程序框图(其中 a 是这 8 个数据的平均数),求输出 的 S 的值.

第 6 题 图 第 7 题图 7. 执行如图所示的程序框图, 输出的 T=________. 8.(2010· 江苏改编)如图是一个程序框图,则输出 的 S 的值是________.

10.(12 分)(2011· 汕头模拟)已知数列{an}的各项均 为正数,观察程序框图,若 k=5,k=10 时,分别有 S 5 10 = 和 S= . 11 21

三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011· 包头模拟)对一个作直线运动

(1)试求数列{an}的通项; (2)令 bn=2an,求 b1+b2+?+bm 的值.

11.(14 分)已知某算法的程序框图如图所示,若将 输出的(x,y)值依次记为(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, yn),?, (1)若程序运行中输出一个数组是(9,t),求 t 的值; (2)求程序结束时,共输出(x,y)的组数; (3)求程序结束时,输出的最后一个数组.

1 1 1<5 成立, 进入第二次运行; k=2, S= + , 2<5 1×2 2×3 1 1 1 成立,进入第三次运行;k=3,S= + + , 1×2 2×3 3×4 1 1 1 3<5 成立, 进入第四次运行; k=4, S= + + 1×2 2×3 3×4 1 1 + ,4<5 成立,进入第五次运行;k=5,S= + 4×5 1×2 1 1 1 1 1 5 + + + =1- = , 5<5 不成立, 此时 6 6 2×3 3×4 4×5 5×6 退出循环,输出 S.] 1 3.D [由框图可知 i=0,s=2→i=1,s= →i=2, 3 1 s=- →i=3,s=-3→i=4,s=2,循环终止,输出 s, 2 故最终输出的 s 值为 2.] 4.68 解析 当输入 l=2,m=3,n=5 时,不满足 l2+ 2 m + n2 = 0 ,因此执行: y= 70l + 21m+ 15n = 70×2 + 21×3+15×5=278.由于 278>105,故执行 y=y-105, 执行后 y=278-105=173,再执行一次 y=y-105 后 y 的值为 173-105=68, 此时 68>105 不成立, 故输出 68. 课堂活动区 例 1 解题导引 顺序结构是最简单的算法结构, 语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行 的.程序框图中一定包含顺序结构. 解 算法如下: 第一步,输入 x0,y0 及直线方程的系数 A,B,C. 第二步,计算 Z1=Ax0+By0+C. 第三步,计算 Z2=A2+B2. |Z1| 第四步,计算 d= . Z2 第五步,输出 d. 程序框图:

学案 70

算法与程序框图
变式迁移 1 A [由程序框图中的各个赋值语句可 得 x=21,a=75,c=32,b=21,故 a、b、c 分别是 75、 21、32.] 例 2 解题导引 求分段函数函数值的程序框图的 画法,如果是分两段的函数,则需引入一个判断框;如 果是分三段的函数,则需引入两个判断框. 解 算法如下: 第一步,输入 x; 第二步,如果 x>0,则 y=-2;如果 x=0,则 y= 0;如果 x<0,则 y=2;

自主梳理 1. 明确 有限 2.流程图 程序框 流程线 文字 说明 程序框 流程线 流程线 程序框 3.若干个依 次执行的步骤 5.从某处开始,按照一定的条件反复执 行某些步骤的情况 循环体 当型(WHILE 型) 直到 型(UNTIL 型) 自我检测 1.A [由循环结构的程序框图可知需添加的运算 为 S=x1+x2+…+x10 的累加求和.] 1 2. D [第一次运行 N=5, k=1, S=0, S=0+ , 1×2

第三步,输出函数值 y. 相应的程序框图如图所示.

变式迁移 2 x ,x≤2, ? ?2x-3,2<x≤5, ?1 ? ?x,x>5
2

C

[本问题即求函数 y=

的值.

若 x≤2,由 x2=x 得,x=1 或 0; 若 2<x≤5,由 x=2x-3 得,x=3; 1 若 x>5,由 x= 得,x=± 1,不符合. x 故符合要求的 x 值有 3 个.] 例 3 解题导引 数学中的累加、累乘、累差等重 复性操作可以用循环结构来实现.循环结构分当型和直 到型两种,二者的区别是:前者是,当满足条件时执行 循环体,而后者是“直到”条件满足时结束循环. 解 第一步,设 S 的值为 1. 第二步,设 i 的值为 2. 第三步,如果 i≤100 执行第四步,否则转去执行第 七步. 第四步,计算 S 乘 i 并将结果赋给 S. 第五步,计数 i 加 1 并将结果赋给 i. 第六步,转去执行第三步. 第七步,输出 S 的值并结束算法. 根据自然语言描述,程序框图如下:

课后练习区 1.D [根据题意可知 x>2 时,收费应为起步价 7 元+超过 2 公里的里程收费 2.6(x-2)元+燃油附加费 1 元=8+2.6(x-2).] 2.C [由框图可知 i=1,s=1× 21=2;i=2,s=2 2 2 +2× 2 =10;i=3,s=2+2× 2 +3× 23>11,i=i+1=3 +1=4.] 3.A [当 k=1 时,k=k+1=2,S=2×1+2=4; 当 k=2 时,k=k+1=3,S=2×4+3=11; 当 k=3 时,k=k+1=4,S=2×11+4=26; 当 k=4 时,k=k+1=5,S=2×26+5=57. 此时 S=57,循环结束,k=5,所以判断框中应为 “k>4?”.] 4.B [由框图可知: 当 n=6,m=4 时,第一次循环:p=(6-4+1)×1 =3,k=2. 第二次循环:p=(6-4+2)×3=12,k=3. 第三次循环:p=(6-4+3)×12=60,k=4. 第四次循环:p=(6-4+4)×60=360,此时 k=m, 终止循环. 输出 p=360.] 5.C [第一次循环:S=12;第二次循环:S=12 +22;第三次循环;S=12+22+32;第四次循环:S= 12+22+32+42=30.] 6.5 解析 初始值:k=2,执行“k=k+1”得 k=3,a 3 =4 =64,b=34=81,a>b 不成立; k=4,a=44=256,b=44=256,a>b 不成立; k=5,a=45=1 024,b=54=625,a>b 成立, 此时输出 k=5. 7.30 解析 按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T= 2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6 +6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T =20+10=30>S,输出 T=30. 8.63 解析 当 n=1 时,S=1+21=3;当 n=2 时,S= 3+22=7; 当 n=3 时,S=7+23=15;当 n=4 时,S=15+ 4 2 =31; 当 n=5 时,S=31+25=63>33.故 S=63. 9.解 该程序框图即求这组数据的方差, ∵ a =44,(2 分) 18 1 ∴S = ∑ (a - a )2 = [(40 - 44)2+ (41 - 44)2 +… 8i=1 i 8 +(48-44)2]=7.(12 分) 1 1 10 . 解 由题中框图可知 S = + +?+ a1a2 a2a3 1 , akak+1 ∵数列{an}是等差数列,设公差为 d, 1 1 1 1 则有 = ( - ), akak+1 d ak ak+1

变式迁移 3 286 解析 数列{an}:4,7,10,?为等差数列,令 an=4 + (n - 1)×3 = 40 ,得 n = 13 , ∴s = 4 + 7 + ? + 40 = ?4+40?×13 =286. 2

1 1 1 1 1 1 1 ∴S= ( - + - +?+ - ) d a1 a2 a2 a3 ak ak+1 1 1 1 = ( - ).(4 分) d a1 ak+1 5 10 (1)由题意可知,k=5 时,S= ;k=10 时,S= . 11 21 1 1 1 5 ? - ?= , d a1 a6 11 ∴ 1 1 1 10 ? - ?= , d a1 a11 21

? ? ?

? ? ?a1=1, ?a1=-1, 解得? 或? (舍去). ?d=2 ?d=-2 ? ? 故 an=a1+(n-1)d=2n-1.(8 分) - (2)由(1)可得 bn=2an=22n 1,∴b1+b2+?+bm 2?1-4m? 2 m - =21+23+?+22m 1= = (4 -1). 3 1-4 (12 分) 11.解 (1)循环体运行结果如下:

输出?1,0? n =3 x =3 y=-2 n<2 011 输出?9,-4? n=7 x=27 y=-6 n<2 011

输出?3,-2? n=5 x=9 y=-4 n<2 011

∴输出数组(9,t)中的 t 值是-4.(4 分) (2)计数变量 n 的取值为: 3,5,7, ?, 构成等差数列, 由 3+(m-1)×2=2 011.解得 m=1 005,由于当 m=1 005 时, n=2 011, 循环体还要执行一遍, 会输出第 1 006 个数组,然后 n=2 013>2 011,跳出循环体.故共输出 1 006 个数组.(8 分) (3)程序输出的数组(xn,yn)按输出的先后顺序,横 坐标 xn 组成一个等比数列{xn},首项 x1=1,公比 q=3. 纵坐标组成一个等差数列{yn},首项 y1=0,公差 d=- 2.∴x1 006=31 005,y1 006=-2×1 005=-2 010.故程序结 束时,输出的最后一个数组是(31 005,-2 010). (14 分)


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