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2015年全国中考数学试卷解析分类汇编第23章 矩形菱形与正方形


矩形菱形与正方形
一.选择题 1. (2015 山东青岛,第 7 题,3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BC 相交于点 O,E、F 分 别是 AB、BC 边上的中点,连接 EF,若 EF= 3 ,BD=4,则菱形 ABCD 的周长为( A.4 B.4 6 C.4 7 D.28 ) .

【答案】C

考点:菱形的性质、三角形中位线性质、勾股定理. 2, (2015?淄博第 9 题,4 分)如图,在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,点 A、B、E 在同一直 线上,P 是线段 DF 的中点,连接 PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60° ,则 =( )

A.

B.

C.

D.

考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.. 专题:计算题;压轴题. 分析:可通过构建全等三角形求解.延长 GP 交 DC 于 H,可证三角形 DHP 和 PGF 全等,

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已知的有 DC∥GF, 根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等, 又有 DP=PF,因此构成了全等三角形判定条件中的(AAS) ,于是两三角形全等,那么 HP=PG, 可根据三角函数来得出 PG、CP 的比例关系. 解答:解:如图, 延长 GP 交 DC 于点 H, ∵P 是线段 DF 的中点, ∴FP=DP, 由题意可知 DC∥GF, ∴∠GFP=∠HDP, ∵∠GPF=∠HPD, ∴△GFP≌△HDP, ∴GP=HP,GF=HD, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴CD=CB, ∴CG=CH, ∴△CHG 是等腰三角形, ∴PG⊥PC, (三线合一) 又∵∠ABC=∠BEF=60° , ∴∠GCP=60° , ∴ = ;

故选 B.

点评:本题主要考查了菱形的性质,以及全等三角形的判定等知识点,根据已知和所求的条 件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键. 3. (2015· 湖南省衡阳市,第 9 题 3 分)下列命题是真命题的是( ) .

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
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4. (2015· 湖北省孝感市,第 7 题 3 分)下列命题: ①平行四边形的对边相等; ②对角线相等的四边形是矩形; ③正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形; ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形. 其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4 考点:命题与定理.. 分析:根据平行四边形的性质对①进行判断;根据矩形的判定方法对②进行判断;根据正方 形的性质对③进行判断;根据菱形的判定方法对④进行判断. 解答:解:平行四边形的对边相等,所以①正确; 对角线相等的平行四边形是矩形,所以②错误; 正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以③正确; 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,所以④正确. 故选 C. 点评: 本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部 分组成, 题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项, 一个命题可以写成―如果…那么…‖ 形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理. 5. (2015· 湖南省益阳市,第 5 题 5 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O, 以下说法错误的是( )
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A.∠ABC=90°

B.AC=BD

C.OA=OB

D.OA=AD

考点:矩形的性质. 分析: 矩形的性质: 四个角都是直角, 对角线互相平分且相等; 由矩形的性质容易得出结论. 解答:解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90° ,AC=BD,OA= AC,OB= BD, ∴OA=OB, ∴A、B、C 正确,D 错误, 故选:D. 点评:本题考查了矩形的性质;熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键. 6.(2015 湖南岳阳第 6 题 3 分)下列命题是真命题的是( A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D.正方形是轴对称图形,但不是中心对称图形 )

考点:命题与定理.. 分析:根据平行四边形的判定方法对 A 进行判断;根据矩形的判定方法对 B 进行判断;根 据菱形的判定方法对 C 进行判断;根据轴对称和中心对称的定义对 D 进行判断. 解答:解:A、一组对边平行,且相等的四边形是平行四边形,所以 A 选项错误; B、对角线互相垂直,且相等的平行四边形是矩形,所以 B 选项错误; C、四条边相等的四边形是菱形,所以 C 选项正确; D、正方形是轴对称图形,也是中心对称图形,所以 D 选项错误. 故选 C. 点评:本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命 题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
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7.(2015 湖北鄂州第 8 题 3 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=12,点 E 是 BC 的中点,连接 AE,将△ ABE 沿 AE 折 叠,点 B 落在点 F 处,连接 FC,则 sin∠ECF =( A. B. C. D. )

【答案】D.

考点:翻折问题. 8.(2015 湖北鄂州第 10 题 3 分) D1E1E2B2 、 A2B2C2D2 、 D2E3E4B3 、 A3B3C3D3 …… 在平面直角坐标系中, 正方形 A1B1C1D1 、 按如图所示的方式放置,其中点 B1 在 y 轴上,点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在 x 轴 上,已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1 ,∠B1C1O=60° , B1C1∥B2C2∥B3C3…… 则正方形
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A2015B2015C2015D2015 的边长是(



A. 【答案】D.

B.

C.

D.

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考点:1.正方形的性质;2.解直角三角形. 9. (2015?广东梅州,第 6 题 4 分)下列命题正确的是( ) A 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形 . B 对角线相互垂直的四边形是菱形 . C 对角线相等的四边形是矩形 . D 对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形 .

考点:命题与定理. 分析:根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项,从而得出答案. 解答:解:A、一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形, 此选项错误;

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B、对角线相互垂直的四边形是菱形也可能是梯形,此选项错误; C、对角线相等的四边形是矩形也可能是等腰梯形,此选项错误; D、对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形,此选项正确; 故选 D. 点评:本题主要考查了命题与定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形 以及矩形的性质,此题难度不大. 10. (2015?浙江衢州,第 8 题 3 分)如图,已知某广场菱形花坛 ,则花坛对角线 的长等于【 】 的周长是 24 米,

A.



B.



C.



D.



【答案】A. 【考点】菱形的性质;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值. 【分析】∵菱形花坛 ∵ ∴ 故选 A. 11. (2015?浙江湖州,第 9 题 3 分)如图,AC 是矩形 ABCD 的对角线,⊙O 是△ ABC 的内 切圆,现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠,使点 D 与点 O 重合,折痕为 FG,点 F,G 分别在 AD,BC 上,连结 OG,DG,若 OG⊥DG,且☉O 的半径长为 1,则下列结论不成 立的是( ) ?3C. BC+AB=2 +4D. BC?AB=2 ,∴ 的周长是 24,∴ . (米). , , .

A. CD+DF=4B. CD?DF=2

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【答案】A. 【解析】 试题分析:如图,设⊙O 与 BC 的切点为 M,连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N,利用―AAS‖ 易证△ OMG≌△GCD,所以 OM=GC=1, CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.又因 AB=CD,所以可 BC=b,AC=c, ⊙O 的半径为 r, ⊙O 是 Rt△ ABC 的内切圆可得 r= (a+b 得 BC?AB=2.设 AB=a, -c) ,所以 c=a+b-2. 在 Rt△ ABC 中,由勾股定理可得 ,整理得 2ab

-4a-4b+4=0,又因 BC?AB=2 即 b=2+a,代入可得 2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0,解得 ,所以 设 DF=x,在 Rt△ ONF 中,FN= , 解得 CD+DF= ,OF=x,ON= , 所以 CD?DF= ,即可得 BC+AB=2 +4. 再

,由勾股定理可得 ,

.综上只有选项 A 错误,故答案选 A.

考点:矩形的性质;直角三角形内切圆的半径与三边的关系;折叠的性质;勾股定理; 12. (2015?浙江宁波,第 12 题 4 分) 如图,小明家的住房平面图呈长方形,被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原住房平面图长方形的周长, 则分割 后不用测量就能知道周长的图形标号为【 】

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A. ①② 【答案】A.

B. ②③

C. ①③

D. ①②③

【考点】多元方程组的应用(几何问题). 【分析】如答图,设原住房平面图长方形的周长为 2l ,①的长和宽分别为 a, b ,②③的边 长分别为 c, d .

① ?a ? c ? d ? ②, 根据题意,得 ?c ? b ? d ?a ? b ? 2c ? l ③ ?
① ? ② ,得 a ? c ? c ? b ? a ? b ? 2c ,

1 2 1 1 将 2c ? l 代入 a ? b ? 2c ,得 a ? b ? l ? 2 ? a ? b ? ? l (定值) , 2 2
将 a ? b ? 2c 代入③,得 4c ? l ? 2c ? l (定值) , 而由已列方程组得不到 d . ∴分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②. 故选 A. 13.(2015?四川南充,第 9 题 3 分)如图,菱形 ABCD 的周长为 8cm,高 AE 长为 对角线 AC 长和 BD 长之比为( (A)1:2 (B)1:3 ) (D)1: cm,则

(C)1:

【答案】D 【解析】 试题分析:设 AC 与 BD 的交点为 O,根据周长可得 AB=BC=2,根据 AE= 则△ ABC 为等边三角形,则 AC=2,BO= 考点:菱形的性质、直角三角形. 14. (2015?四川资阳,第 7 题 3 分)若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点,得到的图形是一 个矩形,则四边形 ABCD 一定是
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可得 BE=1, .

,即 BD=2

,即 AC:BD=1:

A.矩形 B.菱形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 考点:中点四边形.. 分析:首先根据三角形中位线定理知:所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四 边形,若所得四边形是矩形,那么邻边互相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直,由此得 解. 解答:已知:如右图,四边形 EFGH 是矩形,且 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点,求证:四边形 ABCD 是对角线垂直的四边形. 证明:由于 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点, 根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG; ∵四边形 EFGH 是矩形,即 EF⊥FG, ∴AC⊥BD, 故选:D.

点评: 本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理, 解题的关键是构造三角形利用三角 形的中位线定理解答. 15. ∠ACB=90? AC=BC=1, (2015?四川资阳,第 10 题 3 分) 如图 6, 在△ ABC 中, , E、F 为线段 AB 上两动点,且∠ECF=45° ,过点 E、F 分别作 BC、AC 的垂线 相交于点 M,垂足分别为 H、G.现有以下结论:①AB= 2 ;②当点 E 与点 B
1 1 重合时,MH= ;③AF+BE=EF;④MG?MH= ,其中正确结论为 2 2

A.①②③B.①③④ C.①②④D.①②③④ 考点:相似形综合题.. 分析:①由题意知,△ ABC 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形即可作出判断; ②如图 1,当点 E 与点 B 重合时,点 H 与点 B 重合,可得 MG∥BC,四边形 MGCB 是矩形, 进一步得到 FG 是△ ACB 的中位线,从而作出判断;
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③如图 2 所示, SAS 可证△ ECF≌△ECD, 根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断; ④根据 AA 可证△ ACE∽△BFC,根据相似三角形的性质可得 AF?BF=AC?BC=1,由题意知 四 边 形 MG?MH= CHMG AE× 是 矩 形 , 再 根 据 平 行 线 的 性 质 和 等 量 代 换 得 到 BF= AE?BF= AC?BC= ,依此即可作出判断.

解答:解:①由题意知,△ ABC 是等腰直角三角形, ∴AB= = ,故①正确;

②如图 1,当点 E 与点 B 重合时,点 H 与点 B 重合,

∴MB⊥BC,∠MBC=90° , ∵MG⊥AC, ∴∠MGC=90° =∠C=∠MBC, ∴MG∥BC,四边形 MGCB 是矩形, ∴MH=MB=CG, ∵∠FCE=45° =∠ABC,∠A=∠ACF=45° , ∴CE=AF=BF, ∴FG 是△ ACB 的中位线, ∴GC= AC=MH,故②正确; ③如图 2 所示,

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∵AC=BC,∠ACB=90° , ∴∠A=∠5=45° . 将△ ACF 顺时针旋转 90° 至△ BCD, 则 CF=CD,∠1=∠4,∠A=∠6=45° ;BD=AF; ∵∠2=45° , ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45° , ∴∠DCE=∠2. 在△ ECF 和△ ECD 中, , ∴△ECF≌△ECD(SAS) , ∴EF=DE. ∵∠5=45° , ∴∠BDE=90° , ∴DE2=BD2+BE2,即 E2=AF2+BE2,故③错误; ④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45° =∠1+∠2=∠ACE, ∵∠A=∠5=45° , ∴△ACE∽△BFC, ∴ = ,

∴AF?BF=AC?BC=1, 由题意知四边形 CHMG 是矩形, ∴MG∥BC,MH=CG, MG∥BC,MH∥AC,
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∴ 即

= =

; ;

= =

, , BF, BF= AE?BF= AC?BC= ,

∴MG=

AE;MH= AE×

∴MG?MH= 故④正确. 故选:C.

点评:考查了相似形综合题,涉及的知识点有:等腰直角三角形的判定和性质,平行线的判 定和性质, 矩形的判定和性质, 三角形中位线的性质, 全等三角形的判定和性质, 勾股定理, 相似三角形的判定和性质,综合性较强,有一定的难度. 16、 (2015?四川自贡,第 10 题 4 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 4,AD ? 6 , E 是 AB 边
A D B‘ 'D , △ EB ' F ,连接 的中点, F 是线段 BC 边上的动点,将△ EBF 沿 EF 所在直线折叠得到

' D 的最小值是( ) 则 B‘

E B'

A.

2 10 ? 2

B.6

C. 2 13 ? 2

D.4

B

F

C

考点:矩形的性质、翻折(轴对称) 、勾股定理、最值. 分析:连接 EA 后抓住△ DEB 中两边一定,要使 DB ' 的长度最小即要使 ?DEB ' 最小(也就是 A D ),此时点 B ' 落在 DE 上, 此时 DB' ? DE ? EB' . 使其角度为 0° B' E 略解: B' 1 B F ∵ E 是 AB 边的中点, AB ? 4 ∴ AE ? EB ? AB ? 2 C F 2 ∵四边形 ABCD 矩形 ∴ ?A ? 90o ∴在 Rt △ DAE 根据勾股定理可知: DE 2 ? AE 2 ? AD 2 又∵ AD ? 6 ∴ ED ? 6 2 ? 22 ? 2 10 .

根据翻折对称的性质可知 EB ' ? EB ? 2 ∵△ DEB 中两边一定,要使 DB ' 的长度最小即要使 ?DEB ' 最小(也就是使其角度为 0° ), 此时点 B ' 落在 DE 上(如图所示). ∴ DB ' ? DE ? EB ' ? 2 10 ? 2 ∴ DB ' 的长度最小值为 2 10 ? 2 . 故选 A

17. (2015?浙江滨州,第 8 题 3 分) 顺次连接矩形 ABCD 各边的中点, 所得四边形必定是 ( ) A.邻边不等的平行四边形 B.矩形
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C.正方形

D.菱形

【答案】D

考点:菱形的判定 18. (2015?四川省内江市,第 11 题,3 分)如图,正方形 ABCD 的面积为 12,△ ABE 是等 边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 最小,则这个最 小值为( )

A.

B.2

C .2

D.

考点:轴对称-最短路线问题;正方形的性质.. 分析:由于点 B 与 D 关于 AC 对称,所以 BE 与 AC 的交点即为 P 点.此时 PD+PE=BE 最 小,而 BE 是等边△ ABE 的边,BE=AB,由正方形 ABCD 的面积为 12,可求出 AB 的长,从 而得出结果. 解答:解:由题意,可得 BE 与 AC 交于点 P. ∵点 B 与 D 关于 AC 对称, ∴PD=PB, ∴PD+PE=PB+PE=BE 最小. ∵正方形 ABCD 的面积为 12,

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∴AB=2



又∵△ABE 是等边三角形, ∴BE=AB=2 . .

故所求最小值为 2 故选 B.

点评:此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题,正方形的性质,等边三角形的性质,找到点 P 的位置是解决问题的关键.

19 . (2015?浙江省台州市,第 8 题)如果将长为 6cm,宽为 5cm 的长方形纸片折叠一次, 那么这条折痕的长不可能是( A.8cm B. 5 2 cm ) C.5.5cm D.1cm

20 . (2015?浙江省台州市,第 9 题).如图,在菱形 ABCD 中,AB=8,点 E、F 分别在 AB、 AD 上,且 AE=AF,过点 E 作 EG∥AD 交 CD 于点 G,过点 F 作 FH∥AB 交 BC 于点 H,EG 与 FH 交于点 O,当四边形 AEOF 与四边形 CGOH 的周长之差为 12 时,AE 的值为( )

A.6.5

B.6

C.5.5

D.5

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21.(2015· 深圳,第 12 题 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 12,BE=EC,将正方形边 CD 沿 DE 折叠到 DF, ○ 1 ⊿ADG≌⊿FDG; 延长 EF 交 AB 于 G, 连接 DG, 现在有如下 4 个结论: ○ 2 GB=2AG; ○ 3 ⊿GDE∽BEF;○ 4 S⊿BEF = A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 【答案】C. 【解析】由折叠可知,DE=DC=DA,∠DEF=∠C=90° ∠DFG=∠A=90°

72 。在以上 4 个结论中,正确的有( 5



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22,( (2015?山东日照 ,第 6 题 3 分) )小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题, ①AB=BC, ②∠ABC=90° ③AC=BD, ④AC⊥BD 中选两个作为补充条件, 从下列四个条件: , 使? ABCD 为正方形(如图) ,现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )

A.①②

B.②③

C.①③

D.②④

考点:正方形的判定.. 分析:利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别,结合正方形的判定方法分别判断得出即 可. 解答:解:A、∵四边形 ABCD 是平行四边形, 当①AB=BC 时,平行四边形 ABCD 是菱形, 当②∠ABC=90° 时,菱形 ABCD 是正方形,故此选项错误; B、∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴当②∠ABC=90° 时,平行四边形 ABCD 是矩形, 当 AC=BD 时,这是矩形的性质,无法得出四边形 ABCD 是正方形,故此选项正确; C、∵四边形 ABCD 是平行四边形, 当①AB=BC 时,平行四边形 ABCD 是菱形, 当③AC=BD 时,菱形 ABCD 是正方形,故此选项错误; D、∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴当②∠ABC=90° 时,平行四边形 ABCD 是矩形,
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当④AC⊥BD 时,矩形 ABCD 是正方形,故此选项错误. 故选:B. 点评:此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法,正确掌握正方形的判定方 法是解题关键.

23. (2015· 山东潍坊第 9 题 3 分)如图,在△ ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图: 第一步,分别以点 A、D 为圆心,以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧,交于两点 M、N; 第二步,连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F; 第三步,连接 DE、DF. 若 BD=6,AF=4,CD=3,则 BE 的长是( )

A.2

B.4

C .6

D.8

考点:平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图.. 分析:根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线,推出 AE=DE,AF=DF,求出 DE∥AC, DF∥AE,得出四边形 AEDF 是菱形,根据菱形的性质得出 AE=DE=DF=AF,根据平行线分 线段成比例定理得出 = ,代入求出即可.

解答:解:∵根据作法可知:MN 是线段 AD 的垂直平分线, ∴AE=DE,AF=DF, ∴∠EAD=∠EDA, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EDA=∠CAD, ∴DE∥AC, 同理 DF∥AE,
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∴四边形 AEDF 是菱形, ∴AE=DE=DF=AF, ∵AF=4, ∴AE=DE=DF=AF=4, ∵DE∥AC, ∴ = ,

∵BD=6,AE=4,CD=3, ∴ = ,

∴BE=8, 故选 D. 点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等 腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形 AEDF 是菱形是解此题的关键,注意:一组平行 线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 24. (2015?甘肃兰州,第 7 题,4 分)下列命题错误的是 A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 【 答 案 】D 【考点解剖】本题考查特殊平行四边形的性质和判定 【解答过程】略 【题目星级】★★★ 25. (2015?广东梅州,第 5 题,3 分)下列命题正确的是( A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.一组对边相等,另一组对边平等的四边形是平行四边形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 考点:命题与定理.. 分析:根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项,从而得出答案. 解答:解:A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,故本选项错误; B、一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,也可能是等腰梯形,故
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B. 平行四边形的对角线互相平分 D. 对角线相等的四边形是矩形



本选项错误; C、对角线相等的四边形不一定是矩形,例如等腰梯形,故本选项错误; D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故本选项正确. 故选 D. 点评:本题主要考查了命题与定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以 及矩形的性质,此题难度不大. 26. 4 分) AB=4, ∠B=60° AE⊥BC, AF⊥CD, (2015?甘肃兰州,第 10 题, 如图, 菱形 ABCD 中, , 垂足分别为 E,F,连结 EF,则△ AEF 的面积是 A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D.

3

【 答 案 】B 【考点解剖】本题考查了菱形和正三角形的性质中的相关知识点 【知识准备】菱形的四条边相等,对角相等,对角线互相垂直 平分;等腰三角形底边上的高线平分底边和顶角。 【思路点拔】由菱形的性质以及现有条件,可得△ AEF 是正三 角形,而正三角形的面积等于边长的平方的

3 倍 4

【解答过程】连结 AC 和 BD,并记它们的交点为 G,则有 AC⊥BD,且 AG=CG,BG=CG, △ ABC 中,AB=CB,∠ABC=60° ,所以△ ABC 是正三角形, 正三角形△ ABC 中,AE 和 BG 是中线,也是高线,可求得 AE=BG=

3 AB= 2 3 , 2
1 BD= BG= 2 3 , 2

△ BCD 中,因为 E,F 分别是 BC,CD 的中点,所以 EF∥BD,且 EF= 记 AC 与 EF 的交点 H,因为 EF∥BD,AC⊥BD,所以 AH⊥EF, 且由相似形的性质,可得 CH=

1 1 CG= AC=1,则 AH=AC-CH=4-1=3 2 4

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则 S ?AEF ?

1 1 EF ? AH ? ? 2 3 ? 3 ? 3 3 。 2 2

【题目星级】★★★★ 27. (2015?安徽省,第 9 题,4 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=4.点 E 在边 AB 上, H 在对角线 AC 上. [ 点 F 在边 CD 上, 点 G、 若四边形 EGFH 是菱形, 则 AE 的长是( A.2 5 B.3 5 C.5 D.6 ] )

考点:菱形的性质;矩形的性质.. 分析:连接 EF 交 AC 于 O,由四边形 EGFH 是菱形,得到 EF⊥AC,OE=OF,由于四边形 ABCD 是矩形,得到∠B=∠D=90° ,AB∥CD,通过△ CFO≌△AOE,得到 AO=CO,求出 AO= AC=2 ,根据△ AOE∽△ABC,即可得到结果.

解答:解;连接 EF 交 AC 于 O, ∵四边形 EGFH 是菱形, ∴EF⊥AC,OE=OF, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠B=∠D=90° ,AB∥CD, ∴∠ACD=∠CAB, 在△ CFO 与△ AOE 中, ∴△CFO≌△AOE, ∴AO=CO, ∵AC= ∴AO= AC=2 =4 , , ,

∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90° , ∴△AOE∽△ABC, ∴ ,
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∴ ∴AE=5. 故选 C.



点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,熟练 运用定理是解题的关键. 28. (2015 山东省德州市, 11, 3 分) AD 是△ ABC 的角平分线, DE, DF 分别是△ ABD 如图, 和△ ACD 的高,得到下面四个结论: ①OA=OD; ②AD⊥EF; ③当∠A=90° 时,四边形 AEDF 是正方形; ④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是( A. ②③ B. ②④ )

C. ①③④

D.②③④ 第 11 题图 【答案】D

考点:角平分线的性质;正方形的判定方法;全等三角形的判定、勾股定理 考点:几何动态问题函数图象 29.(2015?江苏徐州,第 7 题 3 分)如图,菱形中,对角线 AC、BD 交于点 O,E 为 AD 边中 点,菱形 ABCD 的周长为 28,则 OE 的长等于( )

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A. 3.5B.4C.7D.14 考点:菱形的性质.. 分析:根据菱形的四条边都相等求出 AB,再根据菱形的对角线互相平分可得 OB=OD,然 后判断出 OE 是△ ABD 的中位线, 再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一 半求解即可. 解答:解:∵菱形 ABCD 的周长为 28, ∴AB=28÷ 4=7,OB=OD, ∵E 为 AD 边中点, ∴OE 是△ ABD 的中位线, ∴OE= AB= × 7=3.5. 故选 A. 点评:本题考查了菱形的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记 性质与定理是解题的关键. 30.(2015?山东临沂,第 12 题 3 分)如图,四边形 ABCD 为平行四边形,延长 AD 到 E,使 DE=AD,连接 EB,EC,DB. 添加一个条件,不能使四边形 DBCE 成为矩形的是( )

(A) AB=BE. 【答案】B

(B) BE⊥DC.

(C) ∠ADB=90° .

(D) CE⊥DE.

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考点:矩形的判定 31. (2015?四川泸州,第 6 题 3 分)菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A.两组对边分别平行 C.对角线互相平分 B.两组对角分别相等 D. 对角线互相垂直

考点:菱形的性质;平行四边形的性质.. 分析:根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直. 解答:解:A、不正确,两组对边分别平行; B、不正确,两组对角分别相等,两者均有此性质正确, ; C、不正确,对角线互相平分,两者均具有此性质; D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质. 故选 D. 点评: 此题主要考查了菱形的性质, 关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的 性质的理解. 二.填空题 1.(2015?江苏无锡,第 14 题 2 分)如图,已知矩形 ABCD 的对角线长为 8cm,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的点,则四边形 EFGH 的周长等于 16 cm.

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考点:点四边形. 分析:连接 AC、BD,根据三角形的位线求 HG、GF、EF、EH 的长,再求四边形 EFGH 的 周长即可. 解答:解:如图,连接 C、BD,

∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AC=BD=8cm, ∵E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的点, ∴HG=EF= AC=4cm,EH=FG= BD=4cm, ∴四边形 EFGH 的周长等于 4cm+4cm+4cm+4cm=16cm, 故答案为:16. 点评:本题考查了矩形的性质,三角形的位线的应用,能求四边形的各个边的长是解此题的 关键,注意:矩形的对角线相等,三角形的位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 3, (2015?江苏泰州,第 16 题 3 分)如图, 矩形 中,AB=8,BC=6,P 为 AD 上一点,

将△ ABP 沿 BP 翻折至△ EBP,PE 与 CD 相交于点 O, 且 OE=OD, 则 AP 的长为__________.

【答案】4.8. 【解析】 ,BE=AB=8, 试题分析: 由折叠的性质得出 EP=AP, ∠E=∠A=90° 由 ASA 证明△ ODP≌△OEG, 得出 OP=OG,PD=GE,设 AP=EP=x,则 PD=GE=6-x,DG=x,求出 CG、BG,根据勾股 定理得出方程,解方程即可. 试题解析:如图所示:

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∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠D=∠A=∠C=90° ,AD=BC=6,CD=AB=8 根据题意得:△ ABP≌△EBP, ∴EP=AP,∠E=∠A=90° ,BE=AB=8, 在△ ODP 和△ OEG 中

∴△ODP≌△OEG ∴OP=OG,PD=GE, ∴DG=EP 设 AP=EP=x,则 PD=GE=6-x,DG=x, ∴CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x
2 2 2 根据勾股定理得:BC +CG =BG 2 2 2 即:6 +(8-x) =(x+2)

解得:x=4.8 ∴AP=4.8. 考点:1.翻折变换(折叠问题) ;2.勾股定理;3.矩形的性质. 4 .(2015?江苏徐州,第 17 题 3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,以对角线 AC 为边作第 二个正方形,再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如此下去,第 n 个正方形的边长 为 ( )
n﹣1



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考点:正方形的性质.. 专题:规律型. 分析:首先求出 AC、AE、HE 的长度,然后猜测命题中隐含的数学规律,即可解决问题. 解答:解:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=BC=1,∠B=90° , ∴AC2=12+12,AC= 同理可求:AE=( ; ) ,HE=( )
2 3 ) …, n﹣1

∴第 n 个正方形的边长 an=( 故答案为( )
n﹣1





点评:该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题;应牢固掌握正方形有关定理 并能灵活运用. 5. (4 分) ( (2015?山东日照 ,第 14 题 3 分) )边长为 1 的一个正方形和一个等边三角形如 图摆放,则△ ABC 的面积为 .

考点:正方形的性质;等边三角形的性质;含 30 度角的直角三角形.. 分析:过点 C 作 CD 和 CE 垂直正方形的两个边长,再利用正方形和等边三角形的性质得出 CE 的长,进而得出△ ABC 的面积即可. 解 答 : 解 : 过 点 C 作 CD 和 CE 垂 直 正 方 形 的 两 个 边 长 , 如 图 ,

∵一个正方形和一个等边三角形的摆放,
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∴四边形 DBEC 是矩形, ∴CE=DB= , ∴△ABC 的面积= AB?CE= × 1× = , 故答案为: . 点评: 此题考查正方形的性质, 关键是根据正方形和等边三角形的性质得出 BE 和 CE 的长.

6. (2015?四川广安,第 15 题 3 分)如图,已知 E、F、G、H 分别为菱形 ABCD 四边的中 点,AB=6cm,∠ABC=60° ,则四边形 EFGH 的面积为 9 cm2.

考点:中点四边形;菱形的性质.. 分析:连接 AC、BD,首先判定四边形 EFGH 的形状为矩形,然后根据菱形的性质求出 AC 与 BD 的值,进而求出矩形的长和宽,然后根据矩形的面积公式计算其面积即可. 解答:解:连接 AC,BD,相交于点 O,如图所示,

∵E、F、G、H 分别是菱形四边上的中点, ∴EH= BD=FG,EH∥BD∥FG, EF= AC=HG, ∴四边形 EHGF 是平行四边形, ∵菱形 ABCD 中,AC⊥BD, ∴EF⊥EH, ∴四边形 EFGH 是矩形,
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∵四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=60° , ∴∠ABO=30° , ∵AC⊥BD, ∴∠AOB=90° , ∴AO= AB=3, ∴AC=6, 在 Rt△ AOB 中,由勾股定理得:OB= ∴BD=6 , =3 ,

∵EH= BD,EF= AC, ∴EH=3 ,EF=3, cm2.

∴矩形 EFGH 的面积=EF?FG=9 故答案为:9 .

点评:本题考查了中点四边形和菱形的性质,解题的关键是判定四边形 EFGH 的形状为矩 形.

7. (2015?四川省内江市,第 24 题,6 分)如图,正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的 边 CE 上,O 是 EG 的中点,∠EGC 的平分线 GH 过点 D,交 BE 于点 H,连接 OH,FH, EG 与 FH 交于点 M,对于下面四个结论:①CH⊥BE;②HO
ECGF=1:

BG;③S

正方形 ABCD

:S

正方形

;④EM:MG=1: (1+

) ,其中正确结论的序号为 ② .

考点:四边形综合题.. 分析:证明△ BCE≌△DCG,即可证得∠BEC=∠DGC,然后根据三角形的内角和定理证得 ∠EHG=90° ,则 HG⊥BE,然后证明△ BGH≌△EGH,则 H 是 BE 的中点,则 OH 是△ BGE 的中位线,根据三角形的中位线定理即可判断②.根据△ DHN∽△DGC 求得两个三角形的 边长的比,则③④即可判断.

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解答:解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴BC=DC,∠BCE=90° , 同理可得 CE=CG,∠DCG=90° , 在△ BCE 和△ DCG 中, , ∴△BCE≌△DCG, ∴∠BEC=∠DGC, ∵∠EDH=∠CDG,∠DGC+∠CDG=90° , ∴∠EDH+∠BEC=90° , ∴∠EHD=90° , ∴HG⊥BE,则 CH⊥BE 错误, 则故①错误; ∵在△ BGH 和△ EGH 中, ∴△BGH≌△EGH, ∴BH=EH, 又∵O 是 EG 的中点, ∴HO BG, ,

故②正确; 设 EC 和 OH 相交于点 N. 设 HN=a,则 BC=2a,设正方形 ECGF 的边长是 2b,则 NC=b,CD=2a, ∵OH∥BC, ∴△DHN∽△DGC, ∴ 解得:a= 则 ,
2 )=

,即 或 a=

2 2 ,即 a +2ab﹣b =0,

(舍去) ,

则 S 正方形 ABCD:S 正方形 ECGF=(

,故③错误;

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∵EF∥OH, ∴△EFM∽△OMH, ∴ ∴ = , ,



=

=

=

.故④错误.

故正确的是②. 故答案是:②.

点评: 本题考查了正方形的性质, 以及全等三角形的判定与性质, 相似三角形的判定与性质, 正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键.

8. (2015?四川省宜宾市,第 12 题,3 分)如图,在菱形 ABCD 中,点 P 是对角线 AC 上的 一点,PE⊥AB 于点 E,若 PE=3,则点 P 到 AD 的距离为 .321· cn· jy· com

9, (2015?四川省宜宾市,第 16 题,3 分)如图,在正方形 ABC'D 中,△ BPC 是等边三角 形,BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F,连结 BD、DP,BD 与 CF 相交于点 H.
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FP 3 S△ BPD 2 PB;④ S正方形ABCD = 给出下列结论:①△ABE≌△DCF;②PH = 5;③DP =PH· 其中正确的是
A F P H E D

3–1 4 .

(写出所有正确结论的序号). ①③④

B

C

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10,(2015 上海,第 16 题 4 分)已知 E 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点,AE=AD,过点 E 作 AC 的垂线,交边 CD 于点 F,那么∠FAD=________度. 【答案】22.5. 【解析】

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11.(2015· 南宁,第 16 题 3 分)如图 7,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ ADE,则 ? BED 的度数是 .

考点:正方形的性质;等边三角形的性质.. 分析:根据正方形的性质,可得 AB 与 AD 的关系,∠BAD 的度数,根据等边三角形的性质, 可得 AE 与 AD 的关系,∠AED 的度数,根据等腰三角形的性质,可得∠AEB 与∠ABE 的关 系,根据三角形的内角和,可得∠AEB 的度数,根据角的和差,可得答案. 解答:解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90° . ∵等边三角形 ADE, ∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60° . ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90° +60° =150° , AB=AE, ∠AEB=∠ABE=(180° 2=15° ﹣∠BAE)÷ , ∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60° =45° ﹣15° , 故答案为:45° . 点评:本题考查了正方形的性质,先求出∠BAE 的度数,再求出∠AEB,最后求出答案. 12. (2015· 河南,第 15 题 3 分)如图,正方形 ABCD 的边长是 16,点 E 在边 AB 上,AE=3, 点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点,把△ EBF 沿 EF 折叠,点 B 落在 B′处,若△ CDB′恰为等腰三角形,则 DB′的长为 .

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A E

D

B′

B

F 第 15 题

C

【分析】若△ CD B? 恰为等腰三角形,判断以 CD 为腰或为底边分为三种情况:①DB′=DC; ②CB′=CD;③CB′=DB′,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解. 16 或 4 5 【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用,以及分类讨论思想.. 根据题意,若△ CD B? 恰为等腰三角形需分三种情况讨论: (1)若 DB′=DC 时,则 DB′=16 (易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合) ; (2)当 CB′=CD 时,∵EB=EB′,CB=CB′∴点 E、C 在 BB′的垂直平分线上,∴EC 垂直平分 BB′,由折叠可知点 F 与点 C 重合,不符合题 意,舍去; (3)如解图,当 CB′=DB′时,作 BG⊥AB 与点 G,交 CD 于点 H.∵AB∥CD, ∴B′H⊥CD,∵CB′=DB′,∴DH=

1 CD=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG-AE=5,在 Rt△ B′EG 2

中,由勾股定理得 B′G=12,∴B′H=GH-B′G=4.在 Rt△ B′DH 中,由勾股定理得 DB′= 4 5 , 综上所述 DB′=16 或 4 5 .
A E G B' H D

B

F

C

第 15 题解图 13. (2015· 黑龙江绥化,第 18 题 分)如图正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ,△ CEF 是 正三角形,则∠CEF=__________.

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考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;正方形的性质. . OE=OF, 分析: 根据正方形、 等边三角形的性质, 可得 AO=BO, 根据 SSS 可得△ AOE≌△BOF, 根据全等三角形的性质,可得对应角相等,根据角的和差,可得答案. 解答:解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OA=OB,∠AOB=90° . ∵△OEF 是正三角形, ∴OE=OF,∠EOF=60° . 在△ AOE 和△ BOF 中, , ∴△AOE≌△BOF(SSS) , ∴∠AOE=∠BOF, ∴∠AOE=(∠AOB﹣∠EOF)÷ 2 =(90° 2 ﹣60° )÷ =15° , 故答案为 15° . 点评:本题考查了全等三角形的性质与判定,正方形、等边三角形的性质,利用 SSS 证明三 角形全等得出∠AOE=∠BOF 是解题的关键. 14.(2015 呼和浩特,13,3 分)如图,四边形 ABCD 是菱形, E、F、G、H 分别是各边的 中点,随机地向菱形 ABCD 内掷一粒米,则米粒落到阴影区域内的概率是__________. 考点分析:概率初步——结合其他考点(转化思想)特殊四边形的性质 特殊代 替一般 1 详解:2
D H F G C A E B

概率初步结合其他几何知识的考点有:面积比、点坐标存在、几何中充分条件等。 一般而言难度不高。本题考查的是面积比,正规作法是连接 HF,如右图。易证 AH 与 BF 平行且相等,所以四边形 AHFB 是平行四边形,那么不管 E 是否为 AB 的中 1 1 点,S△ HEF=2S□AHFB,(同底等高),同理可证 S△ HGF=2S□HDCF,所以阴影部分的面积占整个菱形面 积的一半。 讲过,比平行四边形特殊的是菱形和矩形,比菱形特殊的是正方形。当客观题中出现菱形,
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且没有说对角线是否相等,那么你完全可以按照正方形处理,这就是本例的一个小应用。想 让同学记住的是,本例用这个方法意义不大,因为你只要具备一定数学思想,眼里画上给出 的 HF,在转转眼珠,答案就出来了,所以教你的东西可以在以后的类似有比值呀、定值呀 的题目中使用。 如右图的正方形,一个中心十字,面积比一目了然,当然你脑子足够快的话,这个十字可以 不画,其实拿到题目第一时间就是把它看成正方形,之后马上得出正确结论。 15. (2015?广东省,第 12 题,4 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠ABC=60° ,则对角线 AC 的长是 ▲ .

【答案】6. 【考点】菱形的性质;等边三角形的判定和性质. 【分析】∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=BC=6. ∵∠ABC=60° ,∴△ ABC 为等边三角形,∴AC=AB=BC=6. 16. (2015?浙江滨州,第 14 题 4 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 15,sin∠BAC= ,则对角 线 AC 的长为 .

【答案】24

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考点:菱形的性质,解直角三角形 17. (2015?广东梅州,第 14 题,3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 A 与点 C 重合, 折痕为 EF,若 AB=4,BC=2,那么线段 EF 的长为 考点:翻折变换(折叠问题) .. 分析:如图,AC 交 EF 于点 O,由勾股定理先求出 AC 的长度,根据折叠的性质可判断出 RT△ EOC∽RT△ ABC,从而利用相似三角形的对应边成比例可求出 OE,再由 EF=2OE 可得 出 EF 的长度 解答:解:如图所示,AC 交 EF 于点 O, 由勾股定理知 AC=2 , .

又∵折叠矩形使 C 与 A 重合时有 EF⊥AC, 则 Rt△ AOE∽Rt△ ABC, ∴ ∴OE= 故 EF=2OE= 故答案为: . .

D A

F

C



B E 第14题图

点评:此题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质,难度一般,解答本题的关键是判断出 RT△ AOE∽RT△ ABC,利用相似三角形的性质得出 OE 的长. 18. (2015?浙江湖州, y=a1x2+b1x+c1 和 C2: y=a2x2+b2x+c2 第 15 题 4 分) 如图, 已知抛物线 C1:
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都经过原点,顶点分别为 A,B,与 x 轴的另一个交点分别为 M、N,如果点 A 与点 B,点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对称,则抛物线 C1 和 C2 为姐妹抛物线,请你写出一对姐妹 抛 物 线 C1 和 C2 , 使 四 边 形 ANBM 恰 好 是 矩 形 , 你 所 写 的 一 对 抛 物 线 解 析 式 是 _______________________和_________________________

【答案】 【解析】

,

(答案不唯一,只要符合条件即可).

试题分析:因点 A 与点 B,点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对称,所以把抛物线 C2 看成 抛物线 C1 以点 O 为旋转中心旋转 180° 得到的,由此即可知 a1,a2 互为相反数,抛物线 C1 和 C2 的对称轴直线关于 y 轴对称, 由此可得出 b1=b2. 抛物线 C1 和 C2 都经过原点, 可得 c1=c2, 设点 A(m,n),由题意可知 B(-m,-n) ,由勾股定理可得 知 MN=︱4m︱,又因四边形 ANBM 是矩形,所以 AB=MN,即 .由图象可 ,解得

,设抛物线的表达式为

,任意确定 m 的一个值,

根据

确定 n 的值,抛物线过原点代入即可求得表达式,然后在确定另一个表达式

即可.l 例如,当 m=1 时,n= 解得 a= ,即

,抛物线的表达式为 ,所以另一条抛物线的表达式为

,把 x=0,y=0 代入 .

考点:旋转、矩形、二次函数综合题 19. (2015?浙江湖州,第 16 题 4 分)已知正方形 ABC1D1 的边长为 1,延长 C1D1 到 A1,以 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2, 延长 C2D2 到 A2, 以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3(如 图所示),以此类推…,若 A1C1=2,且点 A,D2, D3,…,D10 都在同一直线上,则正方形 A9C9C10D10 的边长是__________________________

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【答案】

.

考点:正方形的性质;相似三角形的判定及性质;规律探究题. 20. (2015?浙江丽水,第 15 题 4 分)如图,四边形 ABCD 与四边形 AECF 都是菱形,点 E, F 在 BD 上,已知∠BAD=120° ,∠EAF=30° ,则

AB = AE



.

【答案】

6? 2 . 2

【考点】菱形的性质;等腰直角三角形和含 30 度角直角三角形的性质;特殊元素法的应用. 【分析】如答图,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,

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∵四边形 ABCD 与四边形 AECF 都是菱形,∠BAD=120° ,∠EAF=30° , ∴∠ABE=30° . ,∠BAE=45° 不妨设 AE ? 2 , ∴在等腰 Rt ?AEH 中, AH ? EH ? 1;在 Rt ?BEH 中, BH ? 3 . ∴ AB ? 3 ? 1 . ∴

AB 3 ?1 6? 2 ? ? . AE 2 2
▲ 命题

21 ,(2015?浙江宁波,第 15 题 4 分)命题―对角线相等的四边形是矩形‖是 (填―真‖或―假‖) 【答案】假. 【考点】命题的真假判定;矩形的判定.

【分析】根据矩形的判定,对角线相等的平行四边形才是矩形,而对角线相等的四边形也可 能是等腰梯形等,故命题―对角线相等的四边形是矩形‖是假命题. 22.(2015 湖北荆州第 17 题 3 分)如图,将一张边长为 6cm 的正方形纸片按虚线裁剪后, 恰好围成底面是正六边形的棱柱,则这个六棱柱的侧面积为 36﹣12 cm2.

考点:展开图折叠成几何体. 分析:这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形,长为 6,宽为 6 减去两个六边形的高,再用 长方形的面积公式计算即可求得答案. 解答:解:∵将一张边长为 6 的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成一个底面是正六边形的 棱柱, ∴这个正六边形的底面边长为 1,高为 ,

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∴侧面积为长为 6,宽为 6﹣2 ∴面积为:6× (6﹣2 故答案为:36﹣12 .

的长方形, .

)=36﹣12

点评:此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用.此题难度不大,注 意动手操作拼出图形,并能正确进行计算是解答本题的关键. 三.解答题 1. (2015?浙江嘉兴,第 19 题 8 分)如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC 上, AF=DE,AF 和 DE 相交于点 G. (1)观察图形,写出图中所有与∠AED 相等的角. (2)选择图中与∠AED 相等的任意一个角,并加以证明.

考点:全等三角形的判定与性质;正方形的性质.. 分析: (1)由图示得出∠DAG,∠AFB,∠CDE 与∠AED 相等; (2)根据 SAS 证明△ DAE 与△ ABF 全等,利用全等三角形的性质即可证明. 解答:解: (1)由图可知,∠DAG,∠AFB,∠CDE 与∠AED 相等; (2)选择∠DAG=∠AED,证明如下: ∵正方形 ABCD, ∴∠DAB=∠B=90° ,AD=AB, ∵AF=DE, 在△ DAE 与△ ABF 中, , ∴△DAE≌△ABF(SAS) , ∴∠ADE=∠BAF, ∵∠DAG+∠BAF=90° ,∠GDA+∠AED=90° , ∴∠DAG=∠AED. 点评:此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据 SAS 证明△ DAE 与△ ABF 全等.

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2. (2015?浙江嘉兴,第 24 题 14 分)类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等 的凸四边形叫做―等邻边四边形‖. (1)概念理解 如图 1,在四边形 ABCD 中,添加一个条件使得四边形 ABCD 是―等邻边四边形‖.请写出你 添加的一个条件. (2)问题探究 ①小红猜想:对角线互相平分的―等邻边四边形‖是菱形.她的猜想正确吗?请说明理由。 ②如图 2,小红画了一个 Rt△ ABC,其中∠ABC=90° ,AB=2,BC=1,并将 Rt△ ABC 沿 ∠ABC 的平分线 BB'方向平移得到△ A'B'C' ,连结 AA' ,BC'.小红要是平移后的四边 形 ABC'A'是―等邻边四边形‖,应平移多少距离(即线段 BB'的长)? (3)应用拓展 如图 3,―等邻边四边形‖ABCD 中,AB=AD,∠BAD+∠BCD==90° ,AC,BD 为对角线,AC= 错误!未找到引用源。AB.试探究 BC,CD,BD 的数量关系.

考点:四边形综合题.. 分析: (1)由―等邻边四边形‖的定义易得出结论; (2)①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形,再利用―等邻边四边形‖定义得邻边相 等,得出结论; ②由平移的性质易得 BB′=AA′, A′B′∥AB, A′B′=AB=2, B′C′=BC=1, A′C′=AC= 邻边四边形‖定义分类讨论,由勾股定理得出结论; (3)由旋转的性质可得△ ABF≌△ADC,由全等性质得∠ABF=∠ADC,∠BAF=∠DAC, AF=AC,FB=CD,利用相似三角形判定得△ ACF∽△ABD,由相似的性质和四边形内角和 得∠CBF=90° ,利用勾股定理,等量代换得出结论. 解答:解: (1)AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB(任写一个即可) ; (2)①正确,理由为: , 再利用―等

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∵四边形的对角线互相平分,∴这个四边形是平行四边形, ∵四边形是―等邻边四边形‖,∴这个四边形有一组邻边相等, ∴这个―等邻边四边形‖是菱形; ②∵∠ABC=90° ,AB=2,BC=1, ∴AC= ,

∵将 Rt△ ABC 平移得到△ A′B′C′, ∴BB′=AA′,A′B′∥AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC= (I)如图 1,当 AA′=AB 时,BB′=AA′=AB=2; (II)如图 2,当 AA′=A′C′时,BB′=AA′=A′C′= (III)当 A′C′=BC′= 时, ; ,

如图 3,延长 C′B′交 AB 于点 D,则 C′B′⊥AB, ∵BB′平分∠ABC, ∴∠ABB′= ∠ABC=45° , ∴∠BB′D=′∠ABB′=45°, ∴B′D=B, 设 B′D=BD=x, 则 C′D=x+1,BB′= x,

∵在 Rt△ BC′D 中,BD2+(C′D)2=(BC′)2 ∴x2+(x+1)2=( ),
2

解得:x1=1,x2=﹣2(不合题意,舍去) , ∴BB′= x= ,

(Ⅳ)当 BC′=AB=2 时,如图 4,
2 2 2 与(Ⅲ)方法一同理可得:BD +(C′D) =(BC′) ,

设 B′D=BD=x,
2 2 2 则 x +(x+1) =2 ,

解得:x1= ∴BB′= x=

,x2= ;

(不合题意,舍去) ,

2 2 2 (3)BC,CD,BD 的数量关系为:BC +CD =2BD ,如图 5,

∵AB=AD,
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∴将△ ADC 绕点 A 旋转到△ ABF,连接 CF, ∴△ABF≌△ADC, ∴∠ABF=∠ADC,∠BAF=∠DAC,AF=AC,FB=CD, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△ACF∽△ABD, ∴ = = ,∴ BD, = =1,

∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360° , ∴∠ABC+∠ADC﹣360° =270° ﹣(∠BAD+∠BCD)=360° ﹣90° , ∴∠ABC+∠ABF=270° , ∴∠CBF=90° , ∴BC2+FB2﹣CF2=( ∴BC2+CD2=2BD2. BD)2=2BD2,

点评:本题主要考查了对新定义的理解,菱形的判定,勾股定理,相似三角形的性质等,理 解新定义,分类讨论是解答此题的关键. 3. (2015?浙江金华,第 21 题 8 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 F 在边 BC 上,且 AF=AD, 过点 D 作 DE⊥AF,垂足为点 E. (1)求证:DE=AB;

? 的长. (2)以 D 为圆心,DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G,若 BF=FC=1,试求 EG

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. 【答案】解: (1)证明:∵DE⊥AF ,∴∠AED=90° . 又∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∠B=90° ∴∠DAE=∠AFB,∠AED=∠B=90° . 又∵AF=AD,∴△ADE≌△FAB(AAS). ∴DE=AB. (2)∵BF=FC=1,∴AD=BC=BF+FC=2. 又∵△ADE≌△FAB,∴AE=BF=1. ∴在 Rt△ ADE 中,AE=

1 AD. ∴∠ADE=30° . 2

又∵DE= AD2 ? AE2 ? 22 ?12 ? 3 ,

? ? ∴ EG

n? R 30 ? ? ? 3 3 ? ? ?. 180 180 6

【考点】矩形的性质;全等三角形的判定和性质;含 30 度角直角坐标三角形的性质;勾股 定理;弧长的计算. 【分析】 (1)通过应用 AAS 证明△ ADE≌△FAB 即可证明 DE=AB.(2)求出∠ADE 和 DE

? 的长. 的长即可求得 EG
4. (2015· 四川甘孜、阿坝,第 27 题 10 分)已知 E,F 分别为正方形 ABCD 的边 BC,CD AF, DE 相交于点 G, F 分别为边 BC, CD 的中点时, ①AF=DE; ②AF⊥DE 上的点, 当 E, 有: 成立. 试探究下列问题: (1)如图 1,若点 E 不是边 BC 的中点,F 不是边 CD 的中点,且 CE=DF,上述结论①, ②是否仍然成立?(请直接回答―成立‖或―不成立‖) ,不需要证明) (2)如图 2,若点 E,F 分别在 CB 的延长线和 DC 的延长线上,且 CE=DF,此时,上述 结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由; (3)如图 3,在(2)的基础上,连接 AE 和 BF,若点 M,N,P,Q 分别为 AE,EF,FD, AD 的中点,请判断四边形 MNPQ 是―矩形、菱形、正方形‖中的哪一种,并证明你的结论.
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考点: 四边形综合题.. 专题: 综合题. 分析: (1)由四边形 ABCD 为正方形,CE=DF,易证得△ ADF≌△DCE(SAS) ,即可证得 AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90° ,即可证得 AF⊥DE; (2)由四边形 ABCD 为正方形,CE=DF,易证得△ ADF≌△DCE(SAS) ,即可证得 AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90° ,即可证得 AF⊥DE; (3)首先设 MQ,DE 分别交 AF 于点 G,O,PQ 交 DE 于点 H,由点 M,N,P,Q 分别为 AE,EF,FD,AD 的中点,即可得 MQ=PN= DE,PQ=MN= AF,MQ∥DE, PQ∥AF,然后由 AF=DE,可证得四边形 MNPQ 是菱形,又由 AF⊥DE 即可证得四 边形 MNPQ 是正方形. 解答: 解: (1)上述结论①,②仍然成立, 理由为:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90° , 在△ ADF 和△ DCE 中, , ∴△ADF≌△DCE(SAS) , ∴AF=DE,∠DAF=∠CDE, ∵∠ADG+∠EDC=90° , ∴∠ADG+∠DAF=90° , ∴∠AGD=90° ,即 AF⊥DE; (2)上述结论①,②仍然成立, 理由为:∵四边形 ABCD 为正方形,

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∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90° , 在△ ADF 和△ DCE 中, , ∴△ADF≌△DCE(SAS) , ∴AF=DE,∠E=∠F, ∵∠ADG+∠EDC=90° , ∴∠ADG+∠DAF=90° , ∴∠AGD=90° ,即 AF⊥DE; (3)四边形 MNPQ 是正方形. 理由为:如图,设 MQ,DE 分别交 AF 于点 G,O,PQ 交 DE 于点 H, ∵点 M,N,P,Q 分别为 AE,EF,FD,AD 的中点, ∴MQ=PN= DE,PQ=MN= AF,MQ∥DE,PQ∥AF, ∴四边形 OHQG 是平行四边形, ∵AF=DE, ∴MQ=PQ=PN=MN, ∴四边形 MNPQ 是菱形, ∵AF⊥DE, ∴∠AOD=90° , ∴∠HQG=∠AOD=90° , ∴四边形 MNPQ 是正方形.

点评: 此题属于四边形的综合题,考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以 及三角形中位线的性质.注意证得△ ADF≌△DCE(SAS) ,掌握三角形中位线的性质 是关键.

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5. (2015· 山东潍坊第 23 题 12 分)如图 1,点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点,分别延 OC 到点 E, OE=2OC, OE 为邻边作正方形 OEFG, 长 OD 到点 G, 使 OG=2OD, 然后以 OG、 连接 AG,DE. (1)求证:DE⊥AG; (2)正方形 ABCD 固定,将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角(0° <α<360° )得到正 方形 OE′F′G′,如图 2. ①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求 α 的度数; ②若正方形 ABCD 的边长为 1,在旋转过程中,求 AF′长的最大值和此时 α 的度数,直接写 出结果不必说明理由.

考点: 几何变换综合题.. 分析: (1)延长 ED 交交 AG 于点 H,易证△ AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后运 用等量代换证明∠AHE=90° 即可; (2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:α 由 0° 增大到 90° 过程中,当 ∠OAG′=90°时,α=30° ,α 由 90° 增大到 180° 过程中,当∠OAG′=90°时,α=150° ; ②当旋转到 A、 O、 F′在一条直线上时, AF′的长最大, AF′=AO+OF′= 解答: 解: (1)如图 1,延长 ED 交 AG 于点 H, ∵点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点, ∴OA=OD,OA⊥OD, ∵OG=OE, 在△ AOG 和△ DOE 中, , ∴△AOG≌△DOE,
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+2, 此时 α=315° .

∴∠AGO=∠DEO, ∵∠AGO+∠GAO=90° , ∴∠AGO+∠DEO=90° , ∴∠AHE=90° , 即 DE⊥AG; (2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况: (Ⅰ)α 由 0° 增大到 90° 过程中,当∠OAG′=90° 时, ∵OA=OD= OG= OG′, ∴在 Rt△ OAG′中,sin∠AG′O= ∴∠AG′O=30° , ∵OA⊥OD,OA⊥AG′, ∴OD∥AG′, ∴∠DOG′=∠AG′O=30° , 即 α=30° ; (Ⅱ)α 由 90° 增大到 180° 过程中,当∠OAG′=90°时, 同理可求∠BOG′=30°, ∴α=180° =150° ﹣30° . 综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30° 或 150° . ②如图 3,当旋转到 A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大, ∵正方形 ABCD 的边长为 1, ∴OA=OD=OC=OB= ∵OG=2OD, ∴OG′=OG= ∴OF′=2, ∴AF′=AO+OF′= ∵∠COE′=45°, ∴此时 α=315° . +2, , , = ,

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点评: 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换 的性质的综合运用,有一定的综合性,分类讨论当∠OAG′是直角时,求 α 的度数是 本题的难点.

6. (2015?北京市,第 28 题,7 分)在正方形 ABCD 中,BD 是一条对角线,点 P 在射线 CD 上(与点 C、D 不重合) ,连接 AP,平移 ?ADP ,使点 D 移动到点 C,得到 ?BCQ ,过点 Q 作 QH ? BD 于 H,连接 AH,PH。 (1)若点 P 在线段 CD 上,如图 1。 ①依题意补全图 1; ②判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明; (2)若点 P 在线段 CD 的延长线上,且 ?AHQ ? 152? ,正方形 ABCD 的边长为 1,请写出求 DP 长的思路。 (可以不写出计算结果) A 【考点】正方形及其平移 【难度】较难 【答案】

B

A

B

D

P
图1

C

D
备用图

C

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【点评】此题主要考查正方形的性质、旋转对称等知识点。这是一道综合习题 7. (2015?甘肃兰州,第 25 题,9 分)如图,四边形 ABCD 中 AB∥CD,AB≠CD,BD=AC。 (1)求证:AD=BC; (2)若 E,F,F,H 分别是 AB,CD,AC,BD 的中点, 求证:线段 EF 与线段 GH 互相垂直平分。 【考点解剖】 本题考查特殊四边形的性质, 和等腰三角形性质中 的相关知识点。
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【知识准备】在同一个三角形中,相等的边所对的角相等; 平行四边形对边相等 【思路点拔】 (1)要说明 AD=BC,只要能说明△ ACD≌△BDC, 现已有 AC=BD,CD=DC,那么关键是如何说明∠1=∠2; 这里需要注意的是:由 AC=BD,并不能直接得出结论∠1=∠2,因为 AC 和 BD 并非同一个 三角形中的元素。 能否以某一角为媒介,使得∠1 和∠2 都与之相等? 结合已知条件中的 AC=BD, 如果能够构造出以 AC 和 BD 为其中两边的三角形, 那么它们所 对的角自然相等。 为此,可将 AC 平移,使点 A 到点 B 位置(如图) , 那么有∠2=∠K,而∠K=∠1,则有∠2=∠1,问题 得以解决; (2)要说明线段 EF 与线段 GH 互相垂直平分,只 要能说明线段 EF 与 GH 是菱形的两条对角线即可。 【解答过程】 (1)延长 DC 至 K,使 CK=AB,∵AB CK,∴四边形 ABKC 是平行四边形, 则在□ABKC 中,有 AC BK,∴∠1=∠K, ∵BD=AC,AC=BK,∴BD=BK,则有∠2=∠K, ∵∠2=∠K,∠1=∠K,∴∠1=∠2 。

? AC ? BD ? △ ACD 和△ BDC 中,∵ ??1 ? ?2 , ∴△ACD≌△BDC(SAS) , ? DC ? CD ?
∴AD=BC ; (2)分别连结 EH,HF,FG 和 GE, ∵E,H 分别是 AB,DB 的中点, ∴EH 同理:GF

1 AD, 2

1 1 1 AD,EG BC,HF BC, 2 2 2

∵AD=BC,∴EH=HF=FG=GE, ∴四边形 EHFG 是菱形, ∴EF 与 GH 互相垂直平分(菱形的对角线互相垂直平分) 。 【题目星级】★★★★ 【解题策略】很多时候,在直接说明某两个量相等(如本题中需证明∠1=∠2)有困难时,

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我们往往可以寻找第三方媒介, 分别说明目标的两个量与第三方的这个量相等, 从而达到说 明两个目标量相等的目的。 例如证明本题中的∠1=∠2,以及本卷第 19 题中的 S ?PBO ? S ?MQO ,或者 S1=S2。 8. (2015 山东省德州市,20,8 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的对角线 OB, AC 相交于点 D,且 BE∥AC,AE∥OB. (1)求证:四边形 AEBD 是菱形; (2)如果 OA=3,OC=2,求出经过点 E 的反比例函数解析式.

【答案】 (1)见解析; (2)

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∴所求的反比例函数解析式为

.

考点:平行四边形的判定、菱形的判定;矩形、菱形的性质;待定系数法求反比例函数的解 析式. 9, (2015 山东济宁,19,8 分)(本题满分 8 分) 如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠DAC 是△ ABC 的一个外角. 实践与操作: 根据要求尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法). (1)作∠DAC 的平分线 AM; (2)作线段 AC 的垂直平分线,与 AM 交于点 F,与 BC 边交于点 E,连接 AE、CF. 猜想并证明:
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判断四边形 AECF 的形状并加以证明.

【答案】

试题解析: (1)

(2)猜想:四边形 AECF 是菱形 证明:∵AB=AC ,AM 平分∠CAD ∴∠B=∠ACB,∠CAD=2∠CAM ∵∠CAD 是△ ABC 的外角
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∴∠CAD=∠B+∠ACB ∴∠CAD=2∠ACB ∴∠CAM=∠ACB ∴AF∥CE ∵EF 垂直平分 AC ∴OA=OC, ∠AOF=∠COE= ∴AOF≌△COE ∴AF=CE 在四边形 AECF 中,AF∥CE,AF=CE ∴四边形 AECF 是平行四边形 又∵EF⊥AC ∴四边形 AECF 是菱形 考点:角平分线,线段的垂直平分线的基本作图,等腰三角形的内外角,三角形全等,菱形 的判定 10.(2015?江苏泰州,第 25 题 12 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 8cm,E、F、G、H 分别 是 AB、BC、CD、DA 上的动点,且 AE=BF=CG=DH. (1)求证:四边形 EFGH 是正方形; (2)判断直线 EG 是否经过一个定点,并说明理由; (3)求四边形 EFGH 面积的最小值。

【答案】(1)证明见解析; (2)直线 EG 经过一个定点,这个定点为正方形的中心(AC、BD
2 的交点) ;理由见解析; (3)32cm .

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【解析】

(2)解:直线 EG 经过一个定点,这个定点为正方形的中心(AC、BD 的交点) ;理由如下: 连接 AC、EG,交点为 O;如图所示:

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB∥CD,
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∴∠OAE=∠OCG, 在△ AOE 和△ COG 中,



∴△AOE≌△COG(AAS) , ∴OA=OC,即 O 为 AC 的中点, ∵正方形的对角线互相平分, ∴O 为对角线 AC、BD 的交点,即 O 为正方形的中心; (3)解:设四边形 EFGH 面积为 S,设 BE=xcm,则 BF=(8-x)cm,
2 2 2 2 2 根据勾股定理得:EF =BE +BF =x +(8-x) ,

∴S=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32, ∵2>0, ∴S 有最小值, 当 x=4 时,S 的最小值=32, ∴四边形 EFGH 面积的最小值为 32cm2. 考点:四边形综合题. 11.(2015?江苏徐州,第 23 题 8 分)如图,点 A,B,C,D 在同一条直线上,点 E,F 分别 在直线 AD 的两侧,且 AE=DF,∠A=∠D,AB=DC. (1)求证:四边形 BFCE 是平行四边形; (2)若 AD=10,DC=3,∠EBD=60° ,则 BE= 4 时,四边形 BFCE 是菱形.

考点: 平行四边形的判定;菱形的判定.. 分析: ( 1 )由 AE=DF ,∠A=∠D , AB=DC ,易证得 △ AEC≌△DFB ,即可得 BF=EC , ∠ACE=∠DBF,且 EC∥BF,即可判定四边形 BFCE 是平行四边形; (2)当四边形 BFCE 是菱形时,BE=CE,根据菱形的性质即可得到结果. 解答: (1)证明:∵AB=DC,
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∴AC=DF, 在△ AEC 和△ DFB 中 , ∴△AEC≌△DFB(SAS) , ∴BF=EC,∠ACE=∠DBF ∴EC∥BF, ∴四边形 BFCE 是平行四边形; (2)当四边形 BFCE 是菱形时,BE=CE, ∵AD=10,DC=3,AB=CD=3, ∴BC=10﹣3﹣3=4, ∵∠EBD=60° , ∴BE=BC=4, ∴当 BE=4 时,四边形 BFCE 是菱形, 故答案为:4. 点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定 与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,注意 数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法. 12,(2015?山东东营,第 24 题 10 分)如图,两个全等的△ 定△ ,将△ 进行如下变换: 沿直线 CB 向右平移(即点 F 在线段 CB 上移动) ,连接 AF、AD、BD, 与 的关系; 应 和△ 重叠在一起,固

(1)如图 1,△ 请直接写出

(2)如图 2,当点 F 平移到线段 BC 的中点时,若四边形 AFBD 为正方形,那么△ 满足什么条件?请给出证明; (3)在(2)的条件下,将△

沿 DF 折叠,点 E 落在 FA 的延长线上的点 G 处,连接 的值.

CG,请你在图 3 的位置画出图形,并求出

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【答案】(1) (1) S△ ABC=S 四边形 AFBD; (2)△ ABC 为等腰直角三角形,即:AB=AC,∠BAC=90° ,证明见解析; (3)图形见解析;sin∠CGF= 【解析】 试 题 分 析 : (1) 由 平 移 可 知 AD=BE , 从 而 可 得 S△ DBE=S△ DFA , S△ DFE=S△ DFB+S△ DBE, S△ ABC=S 四边形 AFBD; (2)若四边形 AFBD 是正方形,则∠AFB=90° ,AF=BF,又 CF=BF,从而可知 AF=AF=BF, 从而可得∠BAC=90° ,AB=AC; △ ABC 为等腰直角三角形, 从而可知 GF=2CF, (3) 由 (2) 知, 设 CF= ,则 GF=EF=CB=2k, 由勾股定理,得:CG= k,从而可求得 sin∠CGF= . S△ ABC=S△ DFE , .

试题解析:(1) S△ ABC=S 四边形 AFBD; (2) △ ABC 为等腰直角三角形,即:AB=AC,∠BAC=90° ,理由如下: ∵F为 BC 的中点,∴CF=BF,∵CF= AD,∴AD= BF,又∵AD∥BF,∴四边形 AFBD 为 平行四边形,∵AB=AC, F 为 BC 的中点,∴AF⊥BC ,∴平行四边形 AFBD 为矩形, ∵∠BAC=90° ,F 为 BC 的中点,∴AF= BC=BF,∴四边形 AFBD 为正方形; (3)正确画出图形 由(2)知,△ ABC 为等腰直角三角形, AF⊥BC,设 CF=k,则 GF=EF=CB=2k,由勾股定理, 得:CG= k,sin∠CGF= = = .

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考点:三角形综合题. 13.(2015?山东聊城,第 21 题 8 分)如图,在△ ABC 中,AB=BC,BD 平分∠ABC.四边形 ABED 是平行四边形,DE 交 BC 于点 F,连接 CE. 求证:四边形 BECD 是矩形.

考点: 矩形的判定.. 专题: 证明题. 分析: 根据已知条件易推知四边形 BECD 是平行四边形.结合等腰△ ABC―三线合一‖的性质 证得 BD⊥AC,即∠BDC=90° ,所以由―有一内角为直角的平行四边形是矩形 ‖得到 ? BECD 是矩形. 解答: 证明:∵AB=BC,BD 平分∠ABC, ∴BD⊥AC,AD=CD. ∵四边形 ABED 是平行四边形, ∴BE∥AD,BE=AD, ∴四边形 BECD 是平行四边形. ∵BD⊥AC, ∴∠BDC=90° , ∴? BECD 是矩形.

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点评: 本题考查了矩形的判定.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.

14.(2015· 南宁,第 23 题 8 分)如图 12,在□ABCD 中,E、F 分别是 AB、DC 边上的点,且 AE=CF, (1)求证:△ ADE≌△CBF; (2)若 ? DEB=90° ,求证四边形 DEBF 是矩形.

图 12 考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定.. 专题:证明题. 分析: (1)由在? ABCD 中,AE=CF,可利用 SAS 判定△ ADE≌△CBF. (2)由在? ABCD 中,且 AE=CF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证 得四边形 DEBF 是平行四边形,又由∠DEB=90° ,可证得四边形 DEBF 是矩形. 解答:证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=CB,∠A=∠C, 在△ ADE 和△ CBF 中, ∴△ADE≌△CBF(SAS) . (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∵AE=CF, ∴BE=DF, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵∠DEB=90° , ∴四边形 DEBF 是矩形. 点评:此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质.注 意有一个角是直角的平行四边形是矩形,首先证得四边形 ABCD 是平行四边形是关键.
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15. (2015?四川成都,第 27 题 10 分)

, EC 已知 AC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的 对 角 线 , 点 E 在 ?ABC 内 ,

?CAE ? ?CBE ? 90? 。
(1)如图①,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时,连接 BF 。 1)求证: ?CAE ∽ ?CBF ;2)若 BE ? 1, AE ? 2 ,求 CE 的长。 (2)如图②,当四边形 ABCD 和 EFCG 均 为 矩 形 , 且

AB EF ? ?k 时,若 BC FC

BE ? 1, AE ? 2, CE ? 3 ,
求 k 的值; (3)如图③,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形,且 ?DAB ? ?GEF ? 45? 时, 设 BE ? m, AE ? n, CE ? p ,试探究 m, n, p 三者之间满足的等量关系。 (直接写出结果, 不必写出解答过程) 【答案】 : (1)1)见解析,2) 6 ; (2)

10 ; (3) p2 ? n2 ? (2 ? 2)m2 4

?ACE ? ?ECB ? 45? ? AC CE ? ? ?ACE ? ?BCF ,又? ? ? 2, 【解析】 : (1)1) ?? BC CF ?BCF ? ?ECB ? 45 ? ?

? ?CAE ∽ ?CBF 。
2)?

AE ? 2 ,? BF ? 2 ,由 ?CAE ∽ ?CBF 可得 ?CAE ? ?CBF , BF

又 ?CAE ? ?CBE ? 90? ,? ?CBF ? ?CBE ? 90? ,即 ?EBF ? 90? 由 CE 2 ? 2EF 2 ? 2( BE 2 ? BF 2 ) ? 6 ,解得 CE ? 6 。 ( 2 ) 连 接 BF , 同 理 可 得 ?EBF ? 90? , 由

A B ? B C

E F ?k , 可 得 F C

BC : A: B ? AC 1:

2 : k?

k 1,

CF : EF : EC ? 1: k : k 2 ?1
? AC AE ? ? k 2 ? 1 ,所以 BF ? BC BF

AE k 2 ?1

, BF 2 ?

AE 2 。 k 2 ?1

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? CE 2 ?

k 2 ?1 k 2 ?1 2 ? EF ? ( BE 2 ? BF 2 ) 2 2 k k

? 32 ?

k 2 ?1 2 22 10 。 (1 ? ) ,解得 k ? 2 2 k k ?1 4

(3)连接 BF ,同理可得 ?EBF ? 90? ,过 C 作 CH ? AB 延长线于 H , 可解得 AB2 : BC 2 : AC 2 ? 1:1: (2 ? 2) , EF 2 : FC 2 : EC 2 ? 1:1: (2 ? 2) ,

? p 2 ? (2 ? 2) EF 2 ? (2 ? 2)( BE 2 ? BF 2 ) ? (2 ? 2)(m2 ?

n2 ) ? (2 ? 2)m2 ? n2 2? 2

? p2 ? n2 ? (2 ? 2)m2 。 C D

16. (2015?四川凉山州,第 21 题 8 分)如图,在正方形 ABCD 中,G 是 BC 上任意一点,连 F,探究线段 AF、BF、EF 三者之间的数量关系, 接 AG,DE⊥AG 于 E,BF∥DE 交 AG 于 G G 并说明理由.

D

C

G

D

C p

F E E B A
图②

F n B A

E

m B

F H

A
图①

图③

【答案】AF=BF+EF,理由见试题解析.

考点:1.全等三角形的判定与性质;2.正方形的性质. 17. (2015?四川眉山,第 25 题 9 分)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AB 边的中点,沿 EC
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对折矩形 ABCD,使 B 点落在点 P 处,折痕为 EC,连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点, (1)求证:四边形 AECF 为平行四边形; (2)若△ AEP 是等边三角形,连结 BP,求证:△ APB≌△EPC; (3)若矩形 ABCD 的边 AB=6,BC=4,求△ CPF 的面积.

考点: 四边形综合题.. 专题: 综合题. 分析: (1)由折叠的性质得到 BE=PE,EC 与 PB 垂直,根据 E 为 AB 中点,得到 AE=PE, 利用等角对等边得到两对角相等,由∠AEP 为三角形 EBP 的外角,利用外角性质得 到∠AEP=2∠EPB,设∠EPB=x,则∠AEP=2x,表示出∠APE,由∠APE+∠EPB 得到 ∠APB 为 90° ,进而得到 AF 与 EC 平行,再由 AE 与 FC 平行,利用两对边平行的四 边形为平行四边形即可得证; (2)根据三角形 AEP 为等边三角形,得到三条边相等,三内角相等,再由折叠的性 质及邻补角定义得到一对角相等, 根据同角的余角相等得到一对角相等, 再由 AP=EB, 利用 AAS 即可得证; (3)过 P 作 PM⊥CD,在直角三角形 EBC 中,利用勾股定理求出 EC 的长,利用面 积法求出 BQ 的长,根据 BP=2BQ 求出 BP 的长,在直角三角形 ABP 中,利用勾股定 理求出 AP 的长,根据 AF﹣AP 求出 PF 的长,由 PM 与 AD 平行,得到三角形 PMF 与三角形 ADF 相似,由相似得比例求出 PM 的长,再由 FC=AE=3,求出三角形 CPF 面积即可. 解答: (1)证明:由折叠得到 BE=PE,EC⊥PB, ∵E 为 AB 的中点, ∴AE=EB,即 AE=PE, ∴∠EBP=∠EPB,∠EAP=∠EPA, ∵∠AEP 为△ EBP 的外角,

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∴∠AEP=2∠EPB, 设∠EPB=x,则∠AEP=2x,∠APE= =90° ﹣x,

∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90° ﹣x=90° ,即 BP⊥AF, ∴AF∥EC, ∵AE∥FC, ∴四边形 AECF 为平行四边形; (2)∵△AEP 为等边三角形, ∴∠BAP=∠AEP=60° ,AP=AE=EP=EB, ∵∠PEC=∠BEC, ∴∠PEC=∠BEC=60° , ∵∠BAP+∠ABP=90° ,∠ABP+∠BEQ=90° , ∴∠BAP=∠BEQ, 在△ ABP 和△ EBC 中, , ∴△ABP≌△EBC(AAS) , ∵△EBC≌△EPC, ∴△ABP≌△EPC; (3)过 P 作 PM⊥DC,交 DC 于点 M, 在 Rt△ EBC 中,EB=3,BC=4, 根据勾股定理得:EC= ∵S△ EBC= EB?BC= EC?BQ, ∴BQ= = , , , = , =5,

由折叠得:BP=2BQ=

在 Rt△ ABP 中,AB=6,BP= 根据勾股定理得:AP=

∵四边形 AECF 为平行四边形,

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∴AF=EC=5,FC=AE=3, ∴PF=5﹣ = ,

∵PM∥AD, ∴ = ,即 = ,

解得:PM=

, = .

3× 则 S△ PFC= FC?PM= ×

点评: 此题属于四边形综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,折叠的性质,等 边三角形的性质,勾股定理,三角形的面积求法,相似三角形的判定与性质,熟练掌 握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

18. (2015?四川乐山,第 20 题 10 分)如图,将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使点 A 落在平面上的 F 点处,DF 交 BC 于点 E. (1)求证:△ DCE≌△BFE; (2)若 CD=2,∠ADB=30° ,求 BE 的长.

【答案】 (1)证明见试题解析; (2)



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考点:1.翻折变换(折叠问题) ;2.全等三角形的判定与性质. 19. (2015?绵阳第 25 题,14 分)如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,G 是 AD 延长线时 的一点,且 DG=AD,动点 M 从 A 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿着 A→C→G 的路线向 G 点匀速运动(M 不与 A,G 重合) ,设运动时间为 t 秒,连接 BM 并延长 AG 于 N. (1)是否存在点 M,使△ ABM 为等腰三角形?若存在,分析点 M 的位置;若不存在,请 说明理由; (2)当点 N 在 AD 边上时,若 BN⊥HN,NH 交∠CDG 的平分线于 H,求证:BN=HN; (3)过点 M 分别作 AB,AD 的垂线,垂足分别为 E,F,矩形 AEMF 与△ ACG 重叠部分的 面积为 S,求 S 的最大值.

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考点: 四边形综合题.. 分析: (1)四种情况:当点 M 为 AC 的中点时,AM=BM;当点 M 与点 C 重合时,AB=BM; 当点 M 在 AC 上,且 AM=2 时,AM=AB;当点 M 为 CG 的中点时,AM=BM;△ ABM 为等腰三角形; (2)在 AB 上截取 AK=AN,连接 KN;由正方形的性质得出∠ADC=90° ,AB=AD, ∠CDG=90° ,得出 BK=DN,先证出∠BKN=∠NDH,再证出∠ABN=∠DNH,由 ASA 证明△ BNK≌△NHD,得出 BN=NH 即可; ( 3 )①当 M 在 AC 上时,即 0 < t≤2 AF=FM= t,求出 S= AF?FM= t2;当 t=2 <t<4 时, △ AMF 为等腰直角三角形,得出 时,即可求出 S 的最大值; 时 , 先 证 明 △ ACD≌△GCD , 得 出

② 当 M 在 CG 上 时 , 即 2

∠ACD=∠GCD=45° , 求 出 ∠ACM=90° , 证 出 △ MFG 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 得 出 FG=MG?cos45° =4﹣ 出结果. 解答: (1)解:存在;当点 M 为 AC 的中点时,AM=BM,则△ ABM 为等腰三角形; 当点 M 与点 C 重合时,AB=BM,则△ ABM 为等腰三角形; 当点 M 在 AC 上,且 AM=2 时,AM=AB,则△ ABM 为等腰三角形; 当点 M 为 CG 的中点时,AM=BM,则△ ABM 为等腰三角形; (2)证明:在 AB 上截取 AK=AN,连接 KN;如图 1 所示: ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ADC=90° ,AB=AD, ∴∠CDG=90° , ∵BK=AB﹣AK,ND=AD﹣AN, ∴BK=DN, t,得出 S=S△ ACG﹣S△ CMJ﹣S△ FMG,S 为 t 的二次函数,即可求

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∵DH 平分∠CDG, ∴∠CDH=45° , ∴∠NDH=90° +45° =135° , ∴∠BKN=180° ﹣∠AKN=135° , ∴∠BKN=∠NDH, 在 Rt△ ABN 中,∠ABN+∠ANB=90° , 又∵BN⊥NH, 即∠BNH=90° , ∴∠ANB+∠DNH=180° ﹣∠BNH=90° , ∴∠ABN=∠DNH, 在△ BNK 和△ NHD 中, , ∴△BNK≌△NHD(ASA) , ∴BN=NH; (3)解:①当 M 在 AC 上时,即 0<t≤2 ∵AM=t, ∴AF=FM= t, t× t= t2;
2 ) =2;

时,△ AMF 为等腰直角三角形,

∴S= AF?FM= × 当 t=2

时,S 的最大值= × (2 <t<4

②当 M 在 CG 上时,即 2 CM=t﹣AC=t﹣2 ,MG=4

时,如图 2 所示:

﹣t,

在△ ACD 和△ GCD 中, , ∴△ACD≌△GCD(SAS) , ∴∠ACD=∠GCD=45° , ∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90° ,

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∴∠G=90° ﹣∠GCD=45° , ∴△MFG 为等腰直角三角形, ∴FG=MG?cos45° =(4 ﹣t)? =4﹣ t,

∴S=S△ ACG﹣S△ CMJ﹣S△ FMG= × 4× 2﹣ × CM× CM﹣ × FG× FG =4﹣ (t﹣2 =﹣ (t﹣ ∴当 t= ) ﹣ (4﹣
2 )+ , 2 2 ) =﹣

+4

t﹣8

时,S 的最大值为 .

点评: 本题是相似形综合题目,考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判 定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识; 本题难度较大,综合性强,特别是(3)中,需要进行分类讨论,通过证明三角形全 等和等腰直角三角形才能得出结果.

20. (2015?四川省内江市, 9 分) 第 18 题, 如图, 将? ABCD 的边 AB 延长至点 E, 使 AB=BE, 连接 DE,EC,DE 交 BC 于点 O. (1)求证:△ ABD≌△BEC; (2)连接 BD,若∠BOD=2∠A,求证:四边形 BECD 是矩形.

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考点: 矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.. 专题: 证明题. 分析: (1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形 BECD 为平行四边形,然后由 SSS 推 出两三角形全等即可; (2)欲证明四边形 BECD 是矩形,只需推知 BC=ED. 解答: 证明: (1)在平行四边形 ABCD 中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,则 BE∥CD. 又∵AB=BE, ∴BE=DC, ∴四边形 BECD 为平行四边形, ∴BD=EC. ∴在△ ABD 与△ BEC 中, , ∴△ABD≌△BEC(SSS) ; (2)由(1)知,四边形 BECD 为平行四边形,则 OD=OE,OC=OB. ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD. 又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC, ∴∠OCD=∠ODC, ∴OC=OD, ∴OC+OB=OD+OE,即 BC=ED, ∴平行四边形 BECD 为矩形.

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点评: 本题考查了平行四边形的性质和判定,矩形的判定,平行线的性质,全等三角形的性 质和判定,三角形的外角性质等知识点的综合运用,难度较大.

21. (2015?浙江省绍兴市,第 23 题,12 分)正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点 A, 将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转,记旋转角∠DAG=α,其中 0°≤α≤180°,连结 DF, BF,如图。 (1)若 α=0° ,则 DF=BF,请加以证明; (2)试画一个图形(即反例) ,说明(1)中命题的逆命题是假命题; (3)对于(1)中命题的逆命题,如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题,请直接写 出你认为需要补充的一个条件,不必说明理由。

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;命题与定理;旋转的性质.. 分析: (1)利用正方形的性质证明△ DGF≌△BEF 即可; (2)当 α=180° 时,DF=BF. (3)利用正方形的性质和△ DGF≌△BEF 的性质即可证得是真命题. 解答: (1)证明:如图 1,∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 为正方形, ∴AG=AE,AD=AB,GF=EF,∠DGF=∠BEF=90° , ∴DG=BE, 在△ DGF 和△ BEF 中, ,

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∴△DGF≌△BEF(SAS) , ∴DF=BF; (2)解:图形(即反例)如图 2,

(3)解:补充一个条件为:点 F 在正方形 ABCD 内; 即:若点 F 在正方形 ABCD 内,DF=BF,则旋转角 α=0° .

点评:本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质,旋转的性质,命题和定理, 掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键,注意利用正方形的性质找三角形全等的条件. 22. (2015?四川资阳,第 23 题 11 分)如图 12,E、F 分别是正方形 ABCD 的边 DC、CB 上 的点,且 DE=CF,以 AE 为边作正方形 AEHG,HE 与 BC 交于点 Q,连接 DF. (1)求证:△ ADE≌△ DCF; (2)若 E 是 CD 的中点,求证:Q 为 CF 的中点; (3)连接 AQ,设 S△ CEQ=S1,S△ AED=S2,S△ EAQ=S3,在(2)的条件下,判断 S1+S2=S3 是否 成立?并说明理由. 考点:四边形综合题.. 分析: ( 1 ) 由 正 方 形的性 质 得 出 AD=DC , ∠ADE=∠DCF=90° , 再 由 SAS 即 可 证 出 △ ADE≌△DCF; (2)先证出∠DAE=∠CEQ,再证明△ ADE∽△ECQ,得出比例式 即可得出结论;
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,证出 CQ= DE,

(3)先证明△ AEQ∽△ECQ,得出△ AEQ∽△ECQ∽△ADE,得出面积比等于相似比的平 方,再由勾股定理即可得出结论. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90° , 在△ ADE 和△ DCF 中, ∴△ADE≌△DCF(SAS) ; (2)证明:∵E 是 CD 的中点, ∴CE=DE= DC= AD, ∵四边形 AEHG 是正方形, ∴∠AEH=90° , ∴∠AED+∠CEQ=90° , ∵∠AED+∠DAE=90° , ∴∠DAE=∠CEQ, ∵∠ADE=∠DCF, ∴△ADE∽△ECQ, ∴ = , ,

∴CQ= DE, ∵DE=CF, ∴CQ= CF, 即 Q 为 CF 的中点; (3)解:S1+S2=S3 成立;理由如下:如图所示: ∵△ADE∽△ECQ, ∴ ,

∵DE=CE, ∴ ,

∵∠C=∠AEQ=90° , ∴△AEQ∽△ECQ,
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∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE, ∴ , ,



=(

2 ) +(

2 )=



∵EQ2+AE2=AQ2, ∴ =1,

∴S1+S2=S3.

点评:本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角 形的判定与性质、勾股定理等知识;本题综合性强,难度较大,需要多次证明三角形相似才 能得出结论. 23、 (2015?四川自贡,第 20 题 10 分)利用一面墙(墙的长度不限) ,另三边用 58 m 长的篱笆 围成一个面积为 200 m2 的矩形场地. 求矩形的长和宽. 考点:列方程解应用题、矩形的面积、解一元二次方程. 分析:本题要注意 58 m 长的篱笆是三边靠墙围成一个面积为 200 m2 的矩形场地. 要求矩形 的长和宽可以根据矩形的面积建立方程来获得解决. 略解: 如图,设垂直于墙的一边为 x 米,得: x ? 58 ? 2x ? ? 200 解得: x1 ? 25, x2 ? 4 ∴另一边长为 8 米或 50 米. 答:当矩形的长为 25 米宽时 8 米,当矩形边长为 50 米时宽为 4 米. 24. AB=3cm, BC=5cm, ∠B=60° (2015?甘肃武威,第 25 题 7 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中, ,
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x
58 ? 2x

x

G 是 CD 的中点,E 是边 AD 上的动点,EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F,连结 CE, DF. (1)求证:四边形 CEDF 是平行四边形; (2)①当 AE= 3.5 cm 时,四边形 CEDF 是矩形; ②当 AE= 2 cm 时,四边形 CEDF 是菱形. (直接写出答案,不需要说明理由)

考点: 专题: 分析:

平行四边形的判定与性质;菱形的判定;矩形的判定. 动点型. (1) 证△ CFG≌△EDG, 推出 FG=EG, 根据平行四边形的判定推出即可; (2)①求出△ MBA≌△EDC,推出∠CED=∠AMB=90° ,根据矩形的判 定推出即可; ②求出△ CDE 是等边三角形,推出 CE=DE,根据菱形的判定推出即可.

解答:

(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴CF∥ED, ∴∠FCG=∠EDG, ∵G 是 CD 的中点, ∴CG=DG, 在△ FCG 和△ EDG 中, , ∴△FCG≌△EDG(ASA) ∴FG=EG, ∵CG=DG, ∴四边形 CEDF 是平行四边形; (2)①解:当 AE=3.5 时,平行四边形 CEDF 是矩形,

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理由是:过 A 作 AM⊥BC 于 M, ∵∠B=60° ,AB=3, ∴BM=1.5, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠CDA=∠B=60° ,DC=AB=3,BC=AD=5, ∵AE=3.5, ∴DE=1.5=BM, 在△ MBA 和△ EDC 中, , ∴△MBA≌△EDC(SAS) , ∴∠CED=∠AMB=90° , ∵四边形 CEDF 是平行四边形, ∴四边形 CEDF 是矩形, 故答案为:3.5; ②当 AE=2 时,四边形 CEDF 是菱形, 理由是:∵AD=5,AE=2, ∴DE=3, ∵CD=3,∠CDE=60° , ∴△CDE 是等边三角形, ∴CE=DE, ∵四边形 CEDF 是平行四边形, ∴四边形 CEDF 是菱形, 故答案为:2.

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点评:

本题考查了平行四边形的性质和判定,菱形的判定,矩形的判定,等边三 角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,注意:有一组邻边 相等的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形.

25,(2015?福建泉州第 20 题 9 分) ∠AOC=∠BOD. 如图, 在矩形 ABCD 中. 点 O 在边 AB 上, 求 证:AO=OB.

解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=∠B=90° ,AD=BC, ∵∠AOC=∠BOD, ∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC, ∴∠AOD=∠BOC, 在△ AOD 和△ BOC 中, , ∴△AOD≌△BOC, ∴AO=OB. 26.(2015 湖北鄂州第 18 题 8 分)如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 ADE,连 接 BE,CE. (1)求证:BE=CE. (2)求∠BEC 的度数

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【答案】(1)证明见解析; (2)30°

考点:1.正方形的性质;2.等边三角形的性质. 27.(2015 湖北荆州第 22 题 9 分)如图 1,在正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上的一点, 点 E 在 AD 的延长线上,且 PA=PE,PE 交 CD 于 F. (1)证明:PC=PE; (2)求∠CPE 的度数; (3) 如图 2, 把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD, 其他条件不变, 当∠ABC=120° 时, 连接 CE, 试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系,并说明理由.

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考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质. 分析: (1)先证出△ ABP≌△CBP,得 PA=PC,由于 PA=PE,得 PC=PE; ( 2 ) 由 △ ABP≌△CBP , 得 ∠BAP=∠BCP , 进 而 得 ∠DAP=∠DCP , 由 PA=PC , 得 到 ∠DAP=∠E,∠DCP=∠E,最后∠CPF=∠EDF=90° 得到结论; (3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论. 解答: (1)证明:在正方形 ABCD 中,AB=BC, ∠ABP=∠CBP=45° , 在△ ABP 和△ CBP 中, , ∴△ABP≌△CBP(SAS) , ∴PA=PC, ∵PA=PE, ∴PC=PE; (2)由(1)知,△ ABP≌△CBP, ∴∠BAP=∠BCP, ∴∠DAP=∠DCP, ∵PA=PC, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E, ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等) , ∴180° ﹣∠PFC﹣∠PCF=180° ﹣∠DFE﹣∠E, 即∠CPF=∠EDF=90° ; (3)在正方形 ABCD 中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45° , 在△ ABP 和△ CBP 中,
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∴△ABP≌△CBP(SAS) ,

∴PA=PC,∠BAP=∠BCP, ∵PA=PE, ∴PC=PE, ∴∠DAP=∠DCP, ∵PA=PC, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等) , ∴180° ﹣∠PFC﹣∠PCF=180° ﹣∠DFE﹣∠E, =60° 即∠CPF=∠EDF=180° ﹣∠ADC=180° ﹣120° , ∴△EPC 是等边三角形, ∴PC=CE, ∴AP=CE;

点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性 质,熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP 是解题的关键. 28.(2015 湖南岳阳第 22 题 8 分) 如图,正方形 ABCD 中,M 为 BC 上一点,F 是 AM 的中点,EF⊥AM,垂足为 F,交 AD 的延长线于点 E,交 DC 于点 N. (1)求证:△ ABM∽△EFA; (2)若 AB=12,BM=5,求 DE 的长.

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考点: 相似三角形的判定与性质;正方形的性质.. 分析: (1)由正方形的性质得出 AB=AD,∠B=90° ,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由 ∠B=∠AFE,即可得出结论; (2)由勾股定理求出 AM,得出 AF,由△ ABM∽△EFA 得出比例式,求出 AE,即可 得出 DE 的长. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠B=90° ,AD∥BC, ∴∠AMB=∠EAF, 又∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90° , ∴∠B=∠AFE, ∴△ABM∽△EFA; (2)解:∵∠B=90° ,AB=12,BM=5, ∴AM= =13,AD=12,

∵F 是 AM 的中点, ∴AF= AM=6.5, ∵△ABM∽△EFA, ∴ 即 , ,

∴AE=16.9, ∴DE=AE﹣AD=4.9. 点评: 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握正方形的

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性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.

29. (2015?江苏南昌,第 20 题 3 分)(1)如图 1, AD=5,S□ABCD=15,过点 A 作 AE⊥BC, 纸片□ABCD 中, 垂足为 E,沿 AE 剪下△ ABE,将它平移至△ DCE′ 的位置, 拼成四边形 AEE′D,则四边形 AEE′D 的形状为( )

A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 (2)如图 2,在(1)中的四边形纸片 AEE′D 中,在 EE′上取一点 F,使 EF=4,剪下△ AEF,将 它平移至△ DE′F′ 的位置,拼成四边形 AFF′D. ① 求证四边形 AFF′D 是菱形; ② 求四边形 AFF′D 两条对角线的长.
A D A D

B

E 图1

C

E'

E

F 图2

E'

F'

答案:解析: (1) 由平移知: AE / / DE′, ∴四边形 AEE′D 是平行四边形,又 AE⊥BC, ∴∠AEE′=90°, ∴四边形 AEE′D 是矩形,∴C 选项正确. (2) ① ∵AF / / DF′, ∴四边形 AFF′D 是平行四边形, ∵AE=3, EF=4 ,∠E=90° , ∴AF=5, ∵S□ABCD=AD· AE=15, ∴AD=5 , ∴AD=AF , ∴四边形 AFF′D 是菱形. ② 如下图, 连接 AF′, DF , 在 Rt△ AEF′中, AE=3, EF′=9, ∴AF′= 3 10 FE′=1, DE′=AE=3, ∴DF= 10

在 Rt△ DFE′中,

∴四边形 AFF′D 两条对角线的长分别是 3 10 和 10 .

A

D

E

F

E'

F'
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20.(2015?江苏南京,第 24 题 8 分)如图,AB∥CD,点 E,F 分别在 AB,CD 上,连接 EF, ∠AEF、∠CFE 的平分线交于点 G,∠BEF、∠DFE 的平分线交于点 H. (1)求证:四边形 EGFH 是矩形; (2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,过 G 作 MN∥EF,分别交 AB,CD 于点 M, N,过 H 作 PQ∥EF,分别交 AB,CD 于点 P,Q,得到四边形 MNQP,此时,他猜想四边 形 MNQP 是菱形,请在下列框中补全他的证明思路.

【答案】 ( 1 )证明见试题解析; ( 2 )答案不唯一,例如: FG 平分∠CFE ; GE=FH ; ∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH. 【解析】试题分析: (1)利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90° , 进而得出∠GEH=90° ,进而求出四边形 EGFH 是矩形; (2) 利用菱形的判定方法首先得出要证? MNQP 是菱形, 只要证 MN=NQ, 再证∠MGE=∠QFH 得出即可. 试题解析: ( 1 ) ∵EH 平 分 ∠BEF , ∴∠FEH= ∴∠EFH= ∠BEF , ∵FH 平 分 ∠DFE ,

∠DFE , ∵AB∥CD , ∴∠BEF+∠DFE=180° , ∴∠FEH+∠EFH= × 180° =90°, ∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°, ∴∠EHF=180°﹣

( ∠BEF+∠DFE ) =

=90°, 同 理 可 得 : ∠EGF=90°, ∵EG 平 分 ∠AEF , ( ∠FEH+∠EFH ) =180°﹣ 90° ∴∠EFG= ∠AEF,∵EH 平分∠BEF,∴∠FEH= ∠BEF,∵点 A、E、B 在同一条直线 ( ∠AEF+∠BEF )

上 , ∴∠AEB=180°, 即 ∠AEF+∠BEF=180°, ∴∠FEG+∠FEH= = × 180° =90° ,即∠GEH=90° ,∴四边形 EGFH 是矩形;

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考点:1.菱形的判定;2.全等三角形的判定与性质;3.矩形的判定. 31. (2015· 湖南省益阳市,第 18 题 10 分)如图,在? ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于 点 O,∠CAB=∠ACB,过点 B 作 BE⊥AB 交 AC 于点 E. (1)求证:AC⊥BD; (2)若 AB=14,cos∠CAB= ,求线段 OE 的长.

考点: 菱形的判定与性质;平行四边形的性质;解直角三角形. 分析: (1)根据∠CAB=∠ACB 利用等角对等边得到 AB=CB,从而判定平行四边形 ABCD 是菱形,根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论; (2)分别在 Rt△ AOB 中和在 Rt△ ABE 中求得 AO 和 AE,从而利用 OE=AE﹣AO 求 解即可. 解答: 解: (1)∵∠CAB=∠ACB, ∴AB=CB, ∴? ABCD 是菱形. ∴AC⊥BD; (2)在 Rt△ AOB 中,cos∠CAB= ∴AO=14× = , = ,AB=14,

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在 Rt△ ABE 中,cos∠EAB= ∴AE= AB=16, ∴OE=AE﹣AO=16﹣ = .

= ,AB=14,

点评: 本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识, 解题的关键是读懂题意,选择合适的边角关系,难度不大.

32、 (2015· 湖南省常德市,第 26 题 10 分)如图,在菱形 ABCD 中,E 是 CD 上的一点,连 接 BE 交 AC 于 O,连接 DO 并延长交 BC 于 E。 (1)求证:△ FOC≌△EOC (2)将此图中的 AD、BE 分别延长交于点 N,作 EM∥BC 交 CN 于 M,再连接 FM 即得到 图 5。 求证:①

CF BE ? ;②FD=FM CB BN
A

A

【解答与分析】主要考点菱形的性质
B (1)可以通过多组三角形全等证得 D O F C M
图5

EM∥BCD (2)利用 来转化比: B

BE CM ? O BN CN E F CM CE ? C CN CD
再利用 CE=CF,CD=CB,即可得证

E

CE CF ? CD CB
证明 FD=FM 即可以利用:

N

CM CF ? CN CB
得到 FM∥BN,再利用 EM∥BC 得到四边形 FMEB 为平行四边形, 从而 FM=BE=FD

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(1)证明:易证△ ABO≌△ADO ∴BO=DO,∠ABO=∠ADO 易证:∠CBO=∠CDO 易证:△ FBO≌△EDO ∴BF=DE 易证:CF=CE ∵在△ FOC≌△EOC 中 OC=OC ∠FCO=∠ECO CF=CE ∴△FOC≌△EOC ∴OF=OE ∴BE=DF

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(2)∵EM∥BC ∴

BE CM ? BN CN

∵EM∥AD ∴

CM CE ? CN CD

∵CE=CF,CD=CB

CM CF ? CN CB CF BE ? ∴ CB BN CM CF ? ∵ CN CB
∴ ∴FM∥BN ∵EM∥BC ∴四边形 FMEB 为平行四边形 ∴FM=BE ∵BE=DF ∴FD=FM 33. (2015· 湖北省武汉市,第 22 题 8 分)已知锐角△ ABC 中,边 BC 长为 12,高 AD 长为 8 (1) 如图,矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上,其余两个顶点 E、F 分别在 AB、AC 边上,EF 交 AD 于点 K ① 求
EF 的值 AK

② 设 EH=x,矩形 EFGH 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式,并求 S 的最大值 (2) 若 AB=AC,正方形 PQMN 的两个顶点在△ ABC 一边上,另两个顶点分别在△ ABC 的另 两边上,直接写出正方形 PQMN 的边长

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【 思路 分析 】 ( 1 )根据 △ AEF∽△ABC ,对应 高的 比等 于相 似比 可得

EF AK ? ,即 BC AD

EF AD - DK EF ? ,代入数值可确定 的值; AK BC AD
(2)结合
EF 的值,用 x 表示 EF,从而可以把矩形 EFGH 的面积为 S 写成 x 的二次函数, AK

根据二次函数可确定矩形的最大面积.
(3)分两种可能:①两顶点 M、N 在底边 BC 上,根据(1)知

PQ 3 ? 和 AK=8-PQ 求解; AK 2

②两顶点 M、N 在腰 AB 上时,作 AB 上的高,转化为(1)形式求解. 解: (1)∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC,

EF AK EF AK ? ? ,即 BC AD 12 8 EF 3 ? ; ∴ AK 2
∴ (2)由题意知 EH=KD=x,AK=8-x.

EF 3 ? , AK 2 EF 3 ? , ∴ 8-x 2 3 ∴EF= (8 ? x ) , 2 3 3 2 ∴S=EF× EH= (8 ? x ) x= - (x - 4) ? 24 , 2 2
∵ ∴S 的最大值是 24; (3)①两顶点在底边 BC 上时,由(1)知 ∴AK=AD-DK=AD-PQ=8-PQ, ∴

PQ 3 ? ,∵PQMN 是正方形, AK 2

PQ 3 ? , 8 - PQ 2

∴PQ=4.8;

②正方形两顶点 M、 N 在腰 AB 上时如图时,作 CH⊥AB 于 H, 交 PQ 于 G, 则 CG=CH-HG=CH -PQ=9.6-PQ,
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如图: ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=6 又 AD=8, ∴AB=10, ∴AB× CH=BC× AD, ∴CH=9.6. 由(1)知

PQ 25 PQ AB 25 ? ? ? ,即 , 9.6 - P Q 24 CG CH 24

∴PQ=

240 , 49 240 . 49

综上,正方形 PQMN 的边长为 4.8 或

备考指导:(1)相似三角形对应高的比等于对应边的比; (2)最值问题,最终转化为二次函 数最值问题来解答.根据相似列比例式、勾股定理、三角函数都表示线段长度的方法; (3) 对于―神同形异‖、层层递进式的几何证明计算题,后面的结论一般都需要前面结论来证明, 注意前后结论之间的―继承性‖. 34 .(2015?山东莱芜,第 23 题 10 分) 在 ABCD 中,AC、BD 交于点 O,过点 O 作直线 EF、GH,分别交平行四边形的四条边于

E、G、F、H 四点,连结 EG、GF、FH、HE. (1)如图①,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由; (2)如图②,当 EF⊥GH 时,四边形 EGFH 的形状是 ; ;

(3)如图③,在(2)的条件下,若 AC=BD,四边形 EGFH 的形状是

(4)如图④,在(3)的条件下,若 AC⊥BD,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由.
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【答案】 (1)平行四边形(2)菱形(3)菱形(4)正方形

(3)当 AC=BD 时,对四边形 EGFH 的形状不会产生影响,故结论同(2) ; (4)当 AC=BD 且 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 是正方形,则对角线相等且互相垂直平分; 可通过证△ BOG≌△COF,得 OG=OF,从而证得菱形的对角线相等,根据对角线相等的菱 形是正方形即可判断出 EGFH 的形状. 试题解析:解: (1)四边形 EGFH 是平行四边形. 证明:∵ ∴点 O 是 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O. ABCD 的对称中心.

∴EO=FO,GO=HO. ∴四边形 EGFH 是平行四边形. (2)菱形. (3)菱形. (4)四边形 EGFH 是正方形. ∵AC=BD, ∴ ABCD 是矩形.

又∵AC⊥BD, ∴ ∴ ABCD 是菱形. ABCD 是正方形,

∴∠BOC=90° ,∠GBO=∠FCO=45° .OB=OC. ∵EF⊥GH ,

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∴∠GOF=90° . ∴∠BOG=∠COF. ∴△BOG≌△COF. ∴OG=OF, ∴GH=EF. 由(1)知四边形 EGFH 是平行四边形, 又∵EF⊥GH,EF=GH. ∴四边形 EGFH 是正方形. 考点:平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质

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