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浙江省温州八校2014届高三上学期期初联考(理科)数学试卷2013.9.2


浙江省温州八校 2014 届高三上学期期初联考(理科)数学试 卷 2013.9.2
说明: 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页.
满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A, B 相互独立,那么

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

p ,那么

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p)n ?k ,(k ? 0,1, 2,?, n)

球的表面积公式 一、

V?

1 h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 3

S ? 4πR2
球的体积公式

其中 S1、S 2 分别表示棱台的上、下底面积,

h 表示棱台的高
其中 R 表示球的半径

4 V ? πR3 3

选择题部分(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求.
1.设复数 z 满足 (1 ? i) z

? 2i ,则 z ? ( ▲ )
B. ? 1? i C. 1? i D. 1? i

A. ? 1? i

2.已知集合 A ? {x | 0 ? log 4

x ? 1} , B ? {x | x ? 2},则 A ? C R B ? ( ▲ )
C. (2,4) D. (1,4)

2 A. ?1,?

B. [ 2,4)

3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ▲ ) A. y ? x ? 1
4.将函数 y ?

B. y ? ? x

2

C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

3 cos x ? sin x 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的

图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ▲ ) A.

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

5.已知 q 是等比数列 {an } 的公比,则“ q ? 1 ”是“数列 {an } 是递减数列”的( ▲ )
(高三第一次八校联考)理科数学试卷第 1 页

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6.某程序框图如图所示,则该程序运行后的输出结果是( ▲ )

A.

11 12

B.

1 6

C.

3 4

D.

25 24

7. 已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足

l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则( ▲ )
A. ? // ? ,且 l // ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

?x ? 1 ? 8.已知 a ? 0 ,x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , z ? 2 x ? y 的最小值为 1 , a ?( ▲ ) 若 则 ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

9.设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a 2 b2

| PF1 | ? | PF2 |? 6a ,且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为( ▲ )
A. 2 B.

3 2

C. 3

D.

6 2

10.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2 x. 若存在 a ?

?? 3,? ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 有三 3

个不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是( ▲ ) A. ? , ?

?9 5? ?8 4?

B. ?1,

? 25 ? ? ? 24 ?

C. ?1, ?

? 9? ? 8?

D. ?1, ?

? 5? ? 4?

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上.

(高三第一次八校联考)理科数学试卷第 2 页

2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 ▲ .
12.已知 ? an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d

? 0 , S n 为其前 n 项
.

2

1

1

1

和,若 a1、a 2、a5 成等比数列,则 S8 ? _____ ▲
5

? 2 a? 7 13.设常数 a ? R ,若 ? x ? ? 的二项展开式中 x 项的系数为 x? ?
▲ ?10 ,则 a ? ______ .
14.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同

一人的 2 张参观券要连号,那么不同的分法种数是



.

15.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos?
2

?



.

16.已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x 于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ACB 为直

角,则 a 的取值范围为



.

17.在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,若两定点 A, B 满足

OA ? OB ? OA ? OB ? 2 ,
▲ .

则点集 P | OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 2, ? , ? ? R 所表示的区域的面积是

?

?

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

19. (本题满分 14 分)一个袋子里装有 7 个球, 其中有红球 4 个, 编号分别为 1,2,3,4;

白球 3 个, 编号分别为 2,3,4. 从袋子中任取 4 个球 (假设取到任何一个球的可能 性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 个球中, 含有编号为 3 的球的概率; (Ⅱ) 在取出的 4 个球中, 红球编号的最大值设为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

20. (本题满分 14 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 ,
?

(高三第一次八校联考)理科数学试卷第 3 页

PB ? BC ? CA ? 2 , E 为 PC 的中点,点 F 在 PA 上,且 2PF ? FA . (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 BEF ; (Ⅱ)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角
(锐角)的余弦值.

x2 y 2 3 1 21. (本题满分 15 分)如图,椭圆 C: 2 + 2 =1(a >b>0) 经过点 P (1, ), 离心率 e = , a b 2 2
直线 l 的方程为 x =4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过 点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M , 记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 . 问: 是否存在常数 ? , 使得 k1 +k2 =? k3 . 若存在求

? 的值;若不存在,说明理由.

22. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x e 的定义域为(0, ? ? ).

?1 x

(Ⅰ)求函数 f (x) 在 [m, m ? 1]( m ? 0) 上的最小值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ?

1 ,如果 x1 ? x2 ,且 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,证明: x1 ? x 2 ? 2 . f ( x)

2013 学年第一学期温州八校高三期初联考

理科数学试卷参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

A

C

D

B

D

A

D

B

C

B

(高三第一次八校联考)理科数学试卷第 4 页

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.

? 3

12.64

13. ? 2

14.96

15.

2 5 5

16. ?1,?? ?

17. 16 3

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解:(Ⅰ)由已知及正弦定理得 sin A ? sin B cosC ? sin C sin B ……2 分 又 A ? ? ? ( B ? C ) ,故 sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cos B sin C ……4 分 得 sin B ? cos B ,又 B ? ?0, ? ? ,所以 B ? (Ⅱ) ⊿ ABC 的面积 S ?

?
4

.

……7 分

1 2 ac sin B ? ac 2 4
2 2

由已知及余弦定理得 4 ? a ? c ? 2ac cos 又 a ? c ? 2ac .故 ac ?
2 2

?
4

……10 分

4 2? 2

,当且仅当 a ? c 时,等号成立.

因此⊿ ABC 的面积的最大值为 2 ? 1 . 19.解: (Ⅰ) 设“取出的 4 个球中,含有编号为 3 的球”为事件 A,则

……14 分

P ( A) ?

2 C1 C 3 ? C 2 C 5 6 2 5 2 ? 4 7 C7

所以,取出的 4 个球中,含有编号为 3 的球的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

6 . 7

??5 分 ??6 分

P ( X ? 1) ?

C3 1 3 ? , 4 C 7 35 C3 2 5 ? , 4 C7 7

P ( X ? 2) ?

C3 4 4 ? , 4 C 7 35 C3 4 6 ? , 4 C7 7
??10 分

P ( X ? 3) ?

P ( X ? 4) ?

所以随机变量 X 的分布列是 X P 1 2 3 4

2 4 7 7 1 4 2 4 17 随机变量 X 的数学期望 EX ? 1 ? . ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 35 35 7 7 5 1 35 4 35
20.解:(Ⅰ)∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB 由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB
?

??14 分

???1 分 ???2 分

(高三第一次八校联考)理科数学试卷第 5 页

又∵ PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC 注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE ∵ ? PB ? BC , E 为 PC 中点,∴ BE ? PC ∵ PC ? AC ? C , BE ? 平面 PAC 而 BE ? 平面 BEF ,∴ 平面PAC ? 平面BEF ???3 分 ???4 分 ???5 分 ???6 分

(Ⅱ)如图,以 C 为原点、 CA 所在直线为 x 轴、 CB 为 y 轴建立空间直角坐标系. 则 B(0,2,0), A(2,0,0), P(0,2,2), E (0,1,1) ?8 分

BE ? (0,?1,1)

z

1 2 2 4 BF ? BP ? PF ? BP ? PA ? ( ,? , ) ???10 分 3 3 3 3
设平面 BEF 的法向量 m ? ( x, y, z ) . 则 ?2

?y?z ?0 2 4 x? y? z ?0 ?3 3 3 ? ? ?
x

解得 m ? (1,?1,?1)

???12 分 则 cos ? m, n ??

取平面 ABC 的法向量为 n ? (0,0,1)

| m?n | | m || n |

?

3 , 3

故平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值为

3 . 3

??14 分

21.解:(Ⅰ)由 P(1, ) 在椭圆上得,
2

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b
2



依题设知 a ? 2c ,则 b ? 3c
2 2


2

②代入①解得 c ? 1, a ? 4, b ? 3 .

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 4 3

??5 分

(Ⅱ)由题意可设 AB 的斜率为 k , 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)
(高三第一次八校联考)理科数学试卷第 6 页



代入椭圆方程 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 并整理, 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , ??7 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x1 x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



在方程③中令 x ? 4 得, M 的坐标为 (4,3k ) .

3 3 3 y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1. 从而 k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y1 ?
注意到 A, F , B 共线,则有 k ? k AF ? kBF ,即有

y1 y ? 2 ?k. x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 2 y1 ?
x1 ? x2 ? 2 3 ? 2k ? ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
⑤ ??11 分

8k 2 ?2 3 4k 2 ? 3 ? 2k ? 1 , ④代入⑤得 k1 ? k2 ? 2k ? ? 8k 2 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 1 又 k3 ? k ? ,所以 k1 ? k2 ? 2k3 .故存在常数 ? ? 2 符合题意. 2

??15 分

22.解:(Ⅰ) f ( x) ?
'

xe x ? e x ' ' ,则 x ? 1时, f ( x) ? 0 ; 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 。 2 x

所以,函数 f (x) 在(0,1)上是减函数,在(1,+ ? )上是增函数.??2 分 当 m ? 1 时,函数 f (x) 在[m,m+1]上是增函数,

此时 f ( x) min

em ? f ( m) ? ; m

当 0 ? m ? 1 时,函数 f (x) 在[m, 1]上是减函数,在[1,m+1]上是增函数,

(高三第一次八校联考)理科数学试卷第 7 页

此时 f ( x) min ? f (1) ? e ; (Ⅱ)证明:考察函数 g ( x) ? xe
?x

???6 分 , g ( x) ? (1 ? x)e
' ?x

所以 g(x)在( ??,1 )内是增函数,在( 1, ?? )内是减函数.(结论 1) 考察函数 F(x)=g(x)-g(2-x),即 F ( x) ? xe 于是 F '( x) ? ( x ? 1)(e
2 x ?2 ?x

? ( x ? 2)e x ?2

? 1)e? x ? 1 ? 0, 又e? x ? 0, 所以F ' (x)>0,

当 x>1 时,2x-2>0,从而 e

2x-2

从而函数 F(x)在[1,+∞)是增函数。 又 F(1)= e ? e ? 0,所以x>1时,有 F(x)>F(1)=0,即 g(x)>g(2-x). (结论 2)
-1 -1

?????????10 分 若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,由结论 1 及 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,得 x1 ? x 2 ? 1 ,与 x1 ? x2 矛盾; 若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,由结论 1 及 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾; ?????????12 分 若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0, 不妨设 x1 ? 1, x2 ? 1 由结论 2 可知,g( x 2 )>g(2- x 2 ),所以

g ( x1 ) ? g ( x2 ) >g(2- x 2 )。

因为 x2 ? 1 ,所以 2 ? x2 ? 1 ,又由结论 1 可知函数 g(x)在区间(-∞,1)内是增函数, 所以 x1 > 2 ? x2 ,即 x1 ? x2 >2. ?????????15 分

(高三第一次八校联考)理科数学试卷第 8 页


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