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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:2-3-1 抛物线及其标准方程


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
2.3 抛 物 线

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
第 1 课时 抛物线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第二章

2.3

第1课时

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课程目标解读

第二章

2.3

第1课时

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了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程,能 根据条件确定抛物线的标准方程. 与椭圆、双曲线的标准方程比较,加深理解. 经历抛物线标准方程的推导过程,对四种不同形式方程加 以对比,提高分析归纳能力.

第二章

2.3

第1课时

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重点难点展示

第二章

2.3

第1课时

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本节重点:抛物线的定义及标准方程. 本节难点:建立标准方程时坐标系的选取.

第二章

2.3

第1课时

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学习要点点拨

第二章

2.3

第1课时

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1.抛物线不是双曲线的一支,双曲线有渐近线,而抛物 线没有. 2.对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上,否则 动点的轨迹是一条直线. 3.由抛物线的定义推导出它的标准方程时,要考虑怎样 选择坐标系. 由定义可知直线 KF 是曲线的对称轴, 所以把 KF 作为 x 轴可以使方程不出现 y 的一次项.因为 KF 的中点适合 条件,所以它在抛物线上,因而以 KF 的中点为原点,就不会 出现常数项,这样建立坐标系,得出的方程形式比较简单.
第二章 2.3 第1课时

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4.二次函数与抛物线的标准方程的关系 二次函数的图象是开口向上或开口向下的抛物线,因此抛 物线开口向左或向右不能认为是二次函数的图象.二次函数 y
2 b 4ac-b =ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-2a, 4a ),对称轴为 x

b =-2a,它是由 y=ax2(a≠0)平移得到,而 y=ax2 的标准方程 1 1 为 x =ay,当 a>0 时,开口向上,顶点(0,0),焦点(0,4a),对
2

1 称轴为 y 轴;当 a<0 时,开口向下,顶点(0,0),焦点(0,4a), 对称轴为 y 轴.
第二章 2.3 第1课时

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5.关于抛物线的标准方程 (1)p 的几何意义:焦参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正数. (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同, 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. 1 (3)焦点的非零坐标是一次项系数的 . 4 可用如下口诀帮助记忆: 对称轴要看一次项,符号确定开口方向.

第二章

2.3

第1课时

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如果 y 是一次项,负时向下,正向上. 如果 x 是一次项,负时向左,正向右. 焦点非零坐标值、一次项系数的四分之一. 6.求抛物线标准方程的方法: ①直接法:直接利用题中已知条件确定焦参数 p. ②待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件, 确定焦参数 p. 当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为 y2= mx 或 x2=my.
第二章 2.3 第1课时

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7.利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离 转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方 便.要注意灵活运用定义解题.

第二章

2.3

第1课时

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课前自主预习

第二章

2.3

第1课时

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1.平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(定点不在定直线

距离相等 上)_________的点的轨迹叫做抛物线, 定点 F _________叫做抛物线的 定直线 l 焦点,___________叫做抛物线的准线.
2.同一条抛物线在坐标平面内的位置不同,方程也不同, 顶点在原点,以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式. 请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准 线方程

第二章

2.3

第1课时

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图形

焦点

准线

方程

p p F(2,0) x=- 2 ________ ______

y2=2px(p>0) ____________

p F(-2,0) x=p 2 ______ ______

2 y_________ =-2px(p>0)

第二章

2.3

第1课时

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p F(0,2) ________

p y=-2 ______

x2=2py(p>0) ___________

p F(0,-2) _______

p y=2 _____

x2__________ =-2py(p>0)

第二章

2.3

第1课时

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3.过抛物线焦点的直线与抛物线相交,被抛物线所截得的

焦点弦 线段,称为抛物线的_________.
4.通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于

2p A、B 两点,线段 AB 称为抛物线的通径,通径|AB|的长等于__.

第二章

2.3

第1课时

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5.抛物线上的点到焦点的距离,叫做焦半径,当 y2 = p 2px(p>0)时,抛物线上的点的坐标 P(x0,y0),焦点 F( ,0),则 2 p 焦半径|PF|=x0+2.

第二章

2.3

第1课时

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课堂典例讲练

第二章

2.3

第1课时

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思路方法技巧
命题方向
[例 1]

求抛物线的焦点及准线

设抛物线的方程为 y=ax2(a≠0),求抛物线的焦点

坐标与准线方程.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

1 抛物线方程 y=ax (a≠0)化为标准形式:x =ay,
2 2

1 1 p 1 当 a>0 时,则 2p=a,解得 p=2a,2=4a, 1 1 ∴焦点坐标是(0,4a),准线方程是 y=-4a. 1 p 1 当 a<0 时,则 2p=- , =- . a 2 4a 1 1 ∴焦点坐标是(0,4a),准线方程是 y=-4a, 1 1 综上,焦点坐标是(0,4a),准线方程是 y=-4a.
第二章 2.3 第1课时

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[点评]

求抛物线的焦点及准线的步骤:

(1)把解析式化为抛物线标准方程形式; (2)明确抛物线开口方向; (3)求出抛物线标准方程中 P 的值; (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程.

第二章

2.3

第1课时

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(1)(2012~2013 学年度黑龙江鹤岗一中高二期末测试)抛 x2 物线 C:y=- 8 的焦点坐标为________; (2)抛物线 x2=-y 的准线方程为________.
1 [答案] (1)(0,-2) (2)y=4

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

(1)抛物线 C 的标准方程为 x2=-8y,2p=8, p=4,

p ∴ =2,故抛物线 C 的焦点坐标为(0,-2). 2 1 p 1 (2)抛物线 x =-y 中,2p=1,p=2,2=4,故抛物线的准
2

1 线方程为 y=4.

第二章

2.3

第1课时

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命题方向

抛物线的标准方程

[例 2]

求满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

(1)当焦点在 x 轴上时,设所求的抛物线方程为 y2

2 =-2px,由过点(-3,2)知,4=-2p(-3),得 p= ,此时抛物 3 4 线的标准方程为 y =-3x;
2

9 当焦点在 y 轴上时, 同理可得, 抛物线标准方程为 x =2y,
2

4 9 2 故所求的抛物线方程为 y =- x 或 x = y. 3 2
2

第二章

2.3

第1课时

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(2)令 x=0 得 y=-2,令 y=0 得 x=4,故抛物线的焦点 p 为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时, =4,故 p=8,此时抛 2 p 物线方程为 y =16x,当焦点为(0,-2)时,2=2,故 p=4,此
2

时抛物线方程为 x2=-8y,从而所求的抛物线的标准方程为 y2 =16x 或 x2=-8y.

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程

的形式;已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式, 需根据四种抛物线的图像及开口方向确定.

第二章

2.3

第1课时

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根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2); (2)焦点在 x 轴负半轴上,焦点到准线的距离是 5.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

p (1)因为抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上, 且- = 2

-2,所以 p=4,所以,所求抛物线的标准方程是 x2=-8y. (2)由焦点到准线的距离为 5,知 p=5,又焦点在 x 轴负半 轴上,所以,所求抛物线的标准方程是 y2=-10x.

第二章

2.3

第1课时

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建模应用引路
命题方向
[例 3]

抛物线的实际应用
如图(1)所示,花坛水池中央有一喷泉,水管 O′P

=1m, 水从喷头 P 喷出后呈抛物线状, 先向上至最高点后落下, 若最高点距水面 2m,P 距抛物线的对称轴 1m,则水池的直径 至少应设计多少米?(精确到 1m)

第二章

2.3

第1课时

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图(1) [分析] 图(2)是图(1)中位于直线 O′P 右边的部分,故

O′B 为水池的半径,以抛物线的顶点为原点,对称轴为 y 轴 建立平面直角坐标系,则易得 P 点坐标,再由 P 在抛物线上求 出抛物线方程,再由 B 点纵坐标求出 B 点的横坐标即可获解.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

如图(2)所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方

程为 x2=-2py(p>0).

图(2)

第二章

2.3

第1课时

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1 依题意有 P(-1,-1)在此抛物线上,代入得 p=2. 故得抛物线方程为 x2=-y. 又 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线方程得 x= 2, 即|AB|= 2,则|O′B|=|O′A|+|AB|= 2+1, 因此所求水池的直径为 2(1+ 2)m,约为 5m, 即水池的直径至少应设计为 5m.

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将

题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线 方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论.

第二章

2.3

第1课时

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某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶 5m 时,水面宽为 3 8m, 一木船宽 4m, 2m, 高 载货后木船露在水面上的部分高为4m, 问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?

第二章

2.3

第1课时

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[分析]

要解决本题,首先要建立适当的坐标系,求出拱

桥的方程,然后求出船与桥恰有两个触点时的坐标,进而转化 为水面与拱顶的距离.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

以拱桥顶为坐标原点,拱高所在直线为 y 轴,建

立如图所示的坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),由题 意知,点 A(4,-5)在抛物线 x2=-2py(p>0)上. 16 ∴16=-2p×(-5),2p= 5 . 16 ∴抛物线方程为 x =- y(-4≤x≤4). 5
2

设水面上涨,船面两侧与抛物线拱桥接触于 B、B′时, 船开始不能通航,设 B(2,y′).

第二章

2.3

第1课时

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16 5 由 2 =- 5 ×y′,∴y′=-4.
2

3 ∴水面与抛物线拱顶相距|y′|+4=2(m). 水面上涨到与抛物线拱顶相距 2m 时,木船开始不能通航.

第二章

2.3

第1课时

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探索延拓创新
命题方向
[例 4]

抛物线定义的应用
(1)设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则 )

点 P 到该抛物线焦点的距离是( A.4 C.8 B.6 D.12

第二章

2.3

第1课时

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(2)过点 A(1,0),且与直线 l:x=-1 相切的圆的圆心的轨 迹是( ) B.椭圆 D.抛物线

A.圆 C.双曲线 [分析]

(1)根据点 P 到 y 轴的距离求出它到抛物线准线的

距离,利用抛物线定义转化为它到焦点的距离. (2)根据动圆过点 A,且与直线 l 相切,可知圆心到点 A 的 距离等于它到直线 l 的距离,由抛物线定义知动圆圆心的轨迹 是抛物线.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

(1)抛物线 y2=8x 的准线为 x=-2,因为点 P 到 y

轴的距离是 4,故点 P 到准线的距离是 6,根据抛物线的定义 知点 P 到该抛物线焦点的距离是 6.

第二章

2.3

第1课时

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(2)如图,设动圆的圆心为 M,由题意,M 到直线 l 的距离 等于圆的半径|MA|, 由抛物线的定义知, M 的轨迹是以 A(1,0) 点 为焦点,以直线 l 为准线的抛物线.

[答案] (1)B (2)D

第二章

2.3

第1课时

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(1)设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切, 则 C 的圆心轨迹为( A.抛物线 C.椭圆 ) B.双曲线 D.圆

(2)若抛物线 y2=4x 上有一点 P 到焦点的距离为 5,则点 P 的坐标为________.
[答案] (1)A (2)(4,± 4)

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

(1)由题意知动圆圆心 C 到点(0,3)的距离与到定直

线 y=-1 的距离相等,根据抛物线的定义可知,圆心 C 的轨 迹是抛物线.

第二章

2.3

第1课时

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(2)设 P 的坐标为(x0,y0), ∵抛物线方程为 y2=4x. ∴准线方程为 x=-1. ∴|PF|=x0+1=5. ∴x0=4.
2 代入抛物线方程,得 y0=4x0=16,

∴y0=± 4.

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

在解答有关抛物线上任意一点 P(x0,y0)到焦点 F

的距离(常称为焦半径)的问题时,有以下结论(p>0): p (1)对于抛物线 y =2px,|PF|=2+x0;
2

p (2)对于抛物线 y =-2px,|PF|=2-x0;
2

p (3)对于抛物线 x =2py,|PF|=2+y0;
2

p (4)对于抛物线 x =-2py,|PF|=2-y0.
2

第二章

2.3

第1课时

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名师辨误做答
[例 5] 设抛物线 y2=mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,

求抛物线的方程. [错解] m 准线方程为 x=- 4 ,

因为准线与直线 x=1 的距离为 3, m 所以准线方程为 x=-2,所以- 4 =-2,所以 m=8, 故抛物线方程为 y2=8x.

第二章

2.3

第1课时

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[辨析]

题目条件中未给出 m 的符号,当 m>0 或 m<0 时,

抛物线的准线是不同,错解考虑问题欠周到.

第二章

2.3

第1课时

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[正解]

m 当 m>0 时, 准线方程为 x=- , 由条件知 1-(- 4

m 4 )=3,所以 m=8. 此时抛物线方程为 y2=8x; m m 当 m<0 时,准线方程为 x=- 4 ,由条件知- 4 -1=3, 所以 m=-16,此时抛物线方程为 y2=-16x. 所以所求抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-16x.

第二章

2.3

第1课时

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课堂巩固练习

第二章

2.3

第1课时

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一、选择题 1.(2012~2013 学年度山东潍坊高二期末测试)抛物线 y2=4x 的准线方程为( A.x=-2 C.x=-1 ) B.x=2 D.x=1

[答案] C
[解析] p ∵2p=4,p=2,∴ =1, 2

∴抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1.

第二章

2.3

第1课时

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2.(2012~2013 学年度陕西西安市第一中学高二期末测试)顶 点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( A.y2=-4x C.y2=-4x 或 x2=4y B.x2=4y D.y2=4x 或 x2=4y )

[答案]

C

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

由题意可设抛物线的标准方程为 x2=2py(p>0)或 y2=

-2p′x(p′>0),将点(-4,4)代入得,p=2,p′=2,故抛物线的 标准方程为 y2=-4x 或 x2=4y.

第二章

2.3

第1课时

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3.已知抛物线的准线方程为 x=-7,则抛物线的标准方程为 ( ) A.x2=-28y C.y2=-28x B.y2=28x D.x2=28y

[答案]

B

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

p ∵ =7,∴p=14, 2

∵抛物线的焦点在 x 轴上的正半轴上, ∴抛物线的标准方程为 y2=28x.

第二章

2.3

第1课时

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二、填空题 4.(2012~2013 学年度浙江宁波市重点中学高二期末测试)抛 物线 y=4x2 的焦点坐标是________.

[答案]

1 (0,16)

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

1 将抛物线方程化为标准方程为 x = y,焦点在 y 轴正 4
2

1 1 p 1 半轴上,2p= ,p= , = , 4 8 2 16 1 ∴抛物线 y=4x 的焦点坐标是(0, ). 16
2

第二章

2.3

第1课时

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5.在抛物线 y2=12x 上,与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 ________.

[答案]

(6,± 2) 6

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

设抛物线的焦点 F(3,0),准线 x=-3,抛物线上的点

P,满足|PF|=9,设 P(x0,y0), p 则|PF|=x0+ =x0+3=9, 2 ∴x0=6,∴y0=± 2. 6

第二章

2.3

第1课时

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三、解答题 6.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)准线方程为 2y+4=0; (2)过点(3,-4); (3)焦点在直线 x+3y+15=0 上.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

(1)准线方程为 2y+4=0,即 y=-2,故抛物线焦点
2

p 在 y 轴的正半轴上,设其方程为 x =2py(p>0).又 =2,所以 2p 2 =8,故抛物线的标准方程为 x2=8y. (2)∵点(3,-4)在第四象限, ∴设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0)或 x2=-2p1y(p1>0). 把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y,得(-4)2 16 9 =2p· =-2p1· 3,3 (-4),即 2p= ,2p1= . 3 4
2

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16 9 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y = x 或 x =- y. 3 4
2

(3)令 x=0 得 y=-5;令 y=0 得 x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为 x2=-20y 或 y2=-60x.

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