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高中数学 选修2-1 模块综合检测


选修 2-1 模块综合检测
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) ? 1.若命题 p:?x∈R,2x2+1>0,则 p 是( ).
A.?x∈R,2x2+1≤0 B.?x∈R,2x2+1>0 2 C.?x∈R,2x +1<0 D.?x∈R,2x2+1≤0 2.“a>0”是“|a|>0”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 x y 3.若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双曲 a b 线离心率的取值范围是( ) A.e> 2 B.1<e< 2 C.e>2 D.1<e<2 4.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( ). x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 12 12 4 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 10 6 6 10 x2 2 5.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ). A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 6.过点(2,-2)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线的双曲线方程为( ). x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 2 4 4 2 y2 x2 y2 x2 C. - =1 D. - =1 4 2 2 4 7.已知 a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( ). A.90° B.60° C.30° D.0° x2 y2 8.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离心率 a b 等于( ). A. 3 B.2 C. 5 D. 6 9.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( ). 10 1 3 10 3 A. B. C. D. 10 5 10 5 2 2 10.已知椭圆 x +2y =4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ). 30 3 A.3 2 B.2 3 C. D. 6 3 2 11.命题 p:关于 x 的不等式(x-2) x2-3x+2≥0 的解集为{x|x≥2}, 命题 q:若函数 y=kx2-kx-1 的值恒小于 0,则-4<k≤0;那么不 正确的是( . A.“ p ”为假命题 B.“ q ”为假命题 C.“p 或 q”为真命题 D.“p 且 q”为假命题 12.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2, AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( ).
? ?

).

6 3 15 C. 5 题 答 A.

号 案

1

2

2 5 B. 5 10 D. 5 3 4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ,且|a|=|b|=4,那么 b· (2a+b)的值为________. y2 2 14.已知双曲线 x - =1,那么它的焦点到渐近线的距离为________. 3 15.给出如下三种说法: ①四个实数 a,b,c,d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc; ②命题“若 x≥3 且 y≥2,则 x-y≥1”为假命题; ③若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中正确说法的序号为________. x2 y2 16.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为双曲线上一点, a b 且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(10 分)已知命题 p:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数,q:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的命题,并 指出其真假. 18.(12 分)F1,F2 是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F1QF2 中的 ∠F1QF2 的外角平分线引垂线,垂足为 P,求点 P 的轨迹. 19.(12 分)若 r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.已知?x∈R,r(x)为假命题且 s(x) 为真命题,求实数 m 的取值范围. x2 y2 2 20.(12 分)已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 , a b 2 过点 B(0,-2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积. 21.(12 分)已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,M,N 分别为 AB,PC 的三等分点,且 → PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,求MN的坐标. 22.(12 分)如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=1,AC=AA1= 3,∠ABC=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角 A—A1C—B 的正切值大小.

选修 2-1 模块综合检测答案
1.D [ P :?x∈R,2x2+1≤0.] 2.A [因为|a|>0?a>0 或 a<0,所以 a>0?|a|>0,但|a|>0 ? a>0,所以 a>0 是 |a|>0 的充分不必要条件.] c 3. C [由题意, 以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点, 故 >a, 2 c ∴ >2.] a c 4.A [由题意知 c=4,焦点在 x 轴上,又 e= =2,∴a=2,∴b2=c2-a2=42-22=12, a x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1.] 4 12 5.C [设椭圆的另一焦点为 F,由椭圆的定义知|BA|+|BF|=2 3,且|CF|+|AC|=2 3,所 以△ABC 的周长=|BA|+|BC|+|AC|=|BA|+|BF|+|CF|+|AC|=4 3.] x2 x2 6.D [与双曲线 -y2=1 有公共渐近线方程的双曲线方程可设为 -y2=λ, 2 2 y2 x2 由过点(2,-2),可解得 λ=-2.所以所求的双曲线方程为 - =1.] 2 4 7.A [(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+1+sin2α)-(sin2α+1+cos2α)=0,∴a+b 与 a-b 的夹角为 90° .] x2 y2 b 8.C [双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,因为 y=x2+1 与渐近线相切, a b a 2 c2-a2 b b c2 故 x2+1± x=0 只有一个实根,∴ 2-4=0,∴ 2 =4,∴ 2=5,∴e= 5.] a a a a 9.C [
?

以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AB=1,则 AA1=2,依题设有点 B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),E(1,0,1), → → ∴BE=(0,-1,1),CD1=(0,-1,2). 0+1+2 3 10 → → ∴cos〈BE· CD1〉= = .] 10 2· 5
2 ?x2 ① ? 1+2y1=4 [令直线 l 与椭圆交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则? 2 2 ? ?x2+2y2=4 ② ①-②得:(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,即 2(x1-x2)+4(y1-y2)=0, ?x+2y-3=0 ? 1 ∴kl=- ,∴l 的方程:x+2y-3=0,由? 2 ,得 6y2-12y+5=0. 2 2 ? x + 2 y - 4 = 0 ?

10.C

5 ∴y1+y2=2,y1y2= . 6 1? 30 2 ∴|AB|= ? ?1+k2??y1-y2? = 3 .] 11.D 12.D [

以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角 坐标系, 则点 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1). → → → ∴BC1=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),且AC为平面 BB1D1D 的一个法向量.

BC1 ? AC → → ???? = ∴cos〈BC1,AC〉= BC1 ? AC

???? ? ????

4 10 = . 5 5· 8 10 .] 5

∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 13.0 14. 3

解析:焦点(±2,0),渐近线:y=± 3x,焦点到渐近线的距离为

2 3 ? 3?2+1

= 3.

15.①② 解析:对①a,b,c,d 成等比数列,则 ad=bc,反之不一定.故①正确;对②,令 x=5, y=6,则 x-y=-1,所以该命题为假命题,故②正确;对③,p∧q 假时,p,q 至少有一 个为假命题,故③错误. 16.(1,3] 解析:设|PF2|=m,则 2a=||PF1|-|PF2||=m,2c=|F1F2|≤|PF1|+|PF2|=3m. c 2c ∴e= = ≤3,又 e>1,∴离心率的取值范围为(1,3]. a 2a 17.解:“p 或 q”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数或不相等. “p 且 q”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数且不相等. “非 p”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根不都是实数. ∵Δ=24-24=0,∴方程有两相等的实根. ∴p 真,q 假.∴“p 或 q”真,“p 且 q”假,“非 p”假. 18.解:

x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),点 F1,F2 是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点, a b QP 是△F1QF2 中的∠F1QF2 的外角平分线(如图), 过点 F2 作 F2P⊥QP 于 P 并延长交 F1Q 的延长线于点 H, 则 P 是 F2H 的中点,且|F2Q|=|QH|, 1 1 1 因此|PO|= |F1H|= (|F1Q|+|QH|)= (|F1Q|+|F2Q|)=a, 2 2 2 ∴点 P 的轨迹是以原点为圆心, 以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与 x 轴的交点). π? 19.解:由于 sin x+cos x= 2sin? ?x+4?∈[- 2, 2],?x∈R,r(x)为假命题, 即 sin x+cos x>m 恒不成立. ∴m≥ 2.① 又对?x∈R,s(x)为真命题.

∴x2+mx+1>0 对 x∈R 恒成立. 则 Δ=m2-4<0,即-2<m<2.② 故?x∈R,r(x)为假命题,且 s(x)为真命题, 应有 2≤m<2. x2 20.解: (1)易得椭圆方程为 +y2=1. 2 (2)∵F1(-1,0),∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2, y=-2x-2 ? ?2 由?x ,得 9x2+16x+6=0. 2 + y = 1 ? ?2 ∵Δ=162-4× 9× 6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点,

?x +x =- 9 设为 C(x ,y ),D(x ,y ),则? 2 x= ?x · 3
1 2 1 1 2 2 1 2

16 ,

16?2 2 10 ∴|CD|= 1+?-2?2|x1-x2|= 5· ?x1+x2?2-4x1x2= 5· ? ?- 9 ? -4×3= 9 2, 4 5 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= , 5 1 4 故 S△CDF2= |CD|· d= 10. 2 9 21.解:方法一

→ → → ∵PA=AB=AD=1,且 PA⊥面 ABCD,AD⊥AB,∴可设DA=i,AB=j,AP=k, 以{i,j,k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. → → → → ∵MN=MA+AP+PN 2→ → 2→ =- AB+AP+ PC 3 3 2→ → 2 → → → =- AB+AP+ (-AP+AD+AB) 3 3 1→ 2 → 1 2 → = AP+ AD= k+ (-DA) 3 3 3 3 2 1 =- i+ k. 3 3 1 → ? 2 ∴MN=?-3,0,3? ?. → → → 方法二 设DA=i,AB=j,AP=k,以{i,j,k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐 标系,过 M 作 AD 的平行线交 CD 于点 E.可知 NE∥PD. 1 2 1 → → → → 1→ → 1 → → ∵MN=ME+EN=AD+ DP=-DA+ (DA+AP)=-i+ (i+k)=- i+ k, 3 3 3 3 3 1? → ? 2 ∴MN=?-3,0,3?. 22. (1)证明:∵三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱, ∴AB⊥AA1.

在△ABC 中,AB=1,AC= 3,∠ABC=60° , 由正弦定理得∠ACB=30° , ∴∠BAC=90° ,即 AB⊥AC,

如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3), → ∴AB=(1,0,0), → A1C=(0, 3,- 3), → → ∴AB· A1C=1× 0+0× 3+0× (- 3)=0, ∴AB⊥A1C. → (2)解:如图,可取 m=AB=(1,0,0)为平面 AA1C 的法向量,设平面 A1BC 的法向量为 n=(l,m,n). → → → 则BC· n=0,A1C· n=0,又BC=(-1, 3,0),

?-l+ 3m=0, ∴? ? 3m- 3n=0,

∴l= 3m,n=m.

不妨取 m=1,则 n=( 3,1,1). 3×1+1×0+1×0 15 m· n cos〈m,n〉= = = . 2 2 2 2 2 2 |m|· |n| 5 ? 3? +1 +1 · 1 +0 +0 设二面角 A—A1C—B 的大小为 θ, 15 10 ∴cos θ=cos〈m,n〉= ,sin θ= . 5 5 6 6 从而 tan θ= ,即二面角 A—A1C—B 的正切值为 . 3 3


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