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吉林省实验中学2016届高三上学期第一次模拟数学(理)


吉林省实验中学 2016 届高三年级第一次模拟考试

数学(理)试卷
考试时间: 120 分钟 试卷满分: 150 分

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
2 (1)已知集合 A ? {x ?1 ? x ? 1} , B ? {x

x ? 2 x ? 0} ,则 A ? (CU B) ?

(A) [?1, 0]

(B) [1,2]

(C) [0,1]

(D) (??,1] ? [2, ??)

(2)设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 (A) 1 ? i (B) 1 ? i

2 2 ?z = z

(C) ?1 ? i

(D) ?1 ? i

(3)下列函数中,既是偶函数又在 ? ??, 0 ? 上单调递增的函数是 (A) y ? x
2

(B) y ? 2

x

(C) y ? log 2

1 x

(D) y ? sin x

(4)若 p : x ? 1, q :

1 ? 1 ,则 p 是 q 的 x
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

开始 输入a0 , a1 , a2 , a3 , x0

k ? 3, S ? a3

(5)如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为 (A) a1 ? x0 (a3 ? x0 (a0 ? a2 x0 )) 的值 (B) a3 ? x0 (a2 ? x0 (a1 ? a0 x0 )) 的值 (C) a0 ? x0 (a1 ? x0 (a2 ? a3 x0 )) 的值 (D) a2 ? x0 (a0 ? x0 (a3 ? a1x0 )) 的值

k ?0


否 输出S 结束

k ? k ?1

S ? ak ? S ? x0

(6)将函数 y ? 3sin(2 x ? (A)在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

, ] 上单调递减 12 12

? 7?

(C)在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3

? 个单位长度,所得图象对应的函数 2 ? 7? ] 上单调递增 (B)在区间 [ , 12 12 ? ? (D)在区间 [ ? , ] 上单调递增 6 3
y 1 y= x
3

1 , 0≤y≤ 1? ,向区域内随机投 (7)如图,设区域 D ? ?( x,y) | 0≤x≤

一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落到阴影区域

-1-

O

1

x

M ? ?( x,y) | 0≤x≤ 1 , 0≤y≤x3? 内的概率是
(A)
1 4

(B)

1 3

(C)

2 5

(D)

2 7

(8)设 a,b,c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面, 则下列命题中,逆命题不成立的是 (A)当 c⊥ ? 时,若 c⊥ ? ,则 ? ∥ ? (B)当 b ? ? 时,若 b⊥ ? ,则 ? ? ? (C)当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b (D)当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c∥ ? ,则 b∥c (9)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 (A)64 (B)72 或 76 (C)80 (D)112 (10)若关于 x 的方程 x 3 ? 3x ? a ? 0 有三个不同的实数解,则实数 a 的取值范围 (A) ? 2 ? a ? 0 (B) 0 ? a ? 2 (C) ? 2 ? a ? 2 (D) ? 2 ? a ? 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

x 2 5 1 - ) 的展开式中 的系数为 2 x x ?x ? y ? 5 ? 0 ? (14)已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y ? 3 的最大值是 ?y ? 0 ?
(13)在( ( 15 ) 已 知 数 列

?an ?

为 等 比 数 列 , 且 a2

0 1 3

? a

2 ? d ,x 则 2? 0 145 ? x 0

2

a2 0 (1 a a 2? 4 ?2 2 0 1

a2 的值为 )1 4 0

2 0 1 6

-2-

? 1 1 ? 1? ? ? 2 x ? 4 ,x ? ? 0, ? 3 ? ? 2? ? ?? (16)已知函数 f ( x) ? ? , g ? x ? ? a sin ? x ? ? ? ? 2a ? 2 ? a ? 0 ? , 3 2 ? ?3 ? ? 2x , x ? ? 1, ? 1? ? ?2 ? ? x?2

给出下列结论:
? 2? ①函数 f ? x ? 的值域为 ? 0, ? ; ? 3? 1? 上是增函数; ②函数 g ? x ? 在 ? 0,

1? 内恒有解; ③对任意 a ? 0 ,方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? 0,

4 4 ④若存在 x1,x2 ??0, 1? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则实数 a 的取值范围是 ≤a≤ . 9 5 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题 (17) (本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与内角 C 互补, AB =1,BC =3,CD = AD =2
(Ⅰ)求角 C 的大小及线段 BD 长; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积.

(18) (本小题满分 12 分) 为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的 态度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据: 处罚金额 x(单位:元) 会闯红灯的人数 y 0 80 5 50 10 40 15 20 20 10

(Ⅰ)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯的概 率的差是多少? (Ⅱ)若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ②若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望.

(19) (本小题满分 12 分) 正 ? ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E 、F 分别是 AC 和 BC 边的中点, 现将 ? ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B . (Ⅰ)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)求二面角 E ? DF ? C 的余弦值; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ? DE ?证明你的结论.
A E

-3-

A

E

(20) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 10 ) 在椭圆上. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (1, 0) ,点 H (2, a b 3
(I)求椭圆的方程; (II)点 M 在圆 x ? y ? b 上,且 M 在第一象限,过 M 作圆 x ? y ? b 的切线交椭
2 2 2 2 2 2

圆于 P , Q 两点,求证:△ PF2Q 的周长是定值.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a . x

(I)当 a = - 3 时,求函数 f ( x) 的单调增区间; (II)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为
2

3 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅲ)若函数 f ( x) ? x 在 (1, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

-4-

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆周角 ???C 的平分线与圆交于点 D , 过点 D 的切线与弦 ? C 的延长线交于点 ? , ?D 交 ? C 于点 F . (I)求证: ?C//D? ;

?C ? ? ?C ,求 ???C . ? ?? ? 若 D , ? , C , F 四点共圆,且 ?

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知椭圆 C :

? x ? ?3 ? 3t x2 y 2 ? ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) . 4 3 y ? 2 3 ? t ? ?

(I)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; 坐标.

(II)设 ? ?1,0 ? ,若椭圆 C 上的点 ? 满足到点 ? 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (II)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,

1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证: m ? 2n ? 4 . m 2n

-5-

2015、9、11 高三一模数学理答案
一、选择题 DACAC 二、填空题 13.-20 BABBC CB

14.-3

15. ?

2

16. ①②④

三、解答题 解 :

(18)解:(Ⅰ)由条件可知,处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差是

40 10 3 ? ? .---- 4 分 200 200 20
(Ⅱ)①设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 A,从 5 种金额中随机抽取 2 种,总的抽选 方法共有 C52 ? 10 种, 满足金额之和不低于 20 元的有 6 种, 故所求概率为 P( A) ? 6分 ②根据条件,X 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为 X P(X) 5 10 15 20 25 30 35

6 3 ? . ---10 5

1 10

1 10

1 5

1 5

1 5
----10 分

1 10

1 10

-6-

1 1 1 1 1 1 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 35 ? ? 20 ---- 12 分 10 10 5 5 5 10 10 19. (Ⅰ)如图:在△ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF. ∴AB∥平面 DEF. ---- 4 分 (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,直线 DB、DC 为 x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0, EX ? 5 ?
0,2)B(2,0,0)C(0, 2 3,0, ), E(0, 3,1), F (1, 3,0) ……4 分 平面 CDF 的法向量为 DA ? (0,0,2) 设平面 EDF 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则?

? ?DF ? n ? 0 ? ?DE ? n ? 0

即?

?x ? 3y ? 0 ? ? ? 3y ? z ? 0
?

? , 取n ? (3, ? 3,3) ,
A

z

cos ? DA , n ??

DA ? n | DA || n |

21 , 7
D

E

y
C F B x P

∴二面角 E—DF—C 的余弦值为 ---- 8 分 (Ⅲ)设 P( x, y,0),则 AP ? DE ?

21 ; 7

3y ? 2 ? 0? y ?

2 3 3

又 BP ? ( x ? 2, y,0), PC ? (?x,2 3 ? y,0) ,

??? ? ??? ? ? BP / / PC ?( x ? 2)(2 3 ? y) ? ?xy ? 3x ? y ? 2 3
把y?

2 3 4 1 代入上式得x ? ,? BP ? BC , 3 3 3
4 2 3 , 0) ,使 AP ? DE . ----12 分 3 3

∴在线段 BC 上存在点 P( ,

20 解: (I)根据已知,椭圆的左右焦点为分别是 F1 (?1,0) , F2 (1, 0) , c ? 1 , ∵ H (2,

2 10 ) 在椭圆上, 3

∴ 2a ? HF1 ? HF2 ? (2 ? 1)2 ? (

2 10 2 2 10 2 ) ? (2 ? 1)2 ? ( ) ?6, 3 3

a ? 3,b ? 2 2 ,
椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1; 9 8
-7-

…………(6 分)

(II)方法 1:设 P ? x1 , y1 ? , Q( x2 , y2 ) ,则

x12 y12 ? ?1, 9 8

PF2 ?

? x1 ?1? ? y12 ?
2

? x1 ? 1? ? 8(1 ?
2

x12 x ) ? ( 1 ? 3)2 , 9 3

∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 在圆中, M 是切点,

x1 , 3

x12 1 ∴ PM ? | OP | ? | OM | ? x ? y ? 8 ? x ? 8(1 ? ) ? 8 ? x1 , 9 3
2 2 2 1 2 1 2 1

∴ PF2 ? PM ? 3 ?

1 1 x1 ? x1 ? 3 , 3 3

同理 QF2 ? QM ? 3 ,∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 3 ? 3 ? 6 , 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . 方法 2:设 PQ 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) , …………(12 分)

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 x2 ,得 (8 ? 9k ) x ? 18kmx? 9m ? 72 ? 0 ?1 ? ? 8 ?9
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? 18km 9m 2 ? 72 x x ? , , 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

2 2 ∴ | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

? 1? k

2

?18km 2 9m2 ? 72 ( ) ? 4? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

? 1? k 2

4 ? 9 ? 8 ? (9k 2 ? m2 ? 8) , (8 ? 9k 2 )2
2 2

∵ PQ 与圆 x ? y ? 8 相切,∴ ∴ | PQ |? ?

m 1? k
2

? 2 2 ,即 m ? 2 2 1 ? k 2 ,

6km , 8 ? 9k 2
2 2 1 2

x12 x 2 ∵ PF2 ? ? x1 ? 1? ? y ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ? ) ? ( 1 ? 3) , 9 3

-8-

x1 x 1 ,同理 QF2 ? (9 ? x2 ) ? 3 ? 2 , 3 3 3 x1 ? x2 6km 6km 6km ? ? 6? ? ? 6, ∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 6 ? 2 2 3 8 ? 9k 8 ? 9k 8 ? 9k 2
∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . 21.解: (1)由题意, f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ? …………(12 分)

1 a x?a ? ? 2 . x x2 x

a ? ?3 时, f ?( x) ?

x ?3 x2

∴ f ( x) 的单调减区间为 (0,3) ,单调增区间为 (3, ??) .……3 分 (2)由(1)可知, f ?( x) ?

x?a x2

①若 a ? ?1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立, f ( x) 在 [1, e] 上为增函数, ∴ [ f ( x)]min ? f (1) ? ?a ?

3 3 ,∴ a ? ? (舍去) . 2 2

②若 a ? ?e ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立, f ( x) 在 [1, e] 上为减函数, ∴ [ f ( x)]min ? f (e) ? 1 ?

e a 3 ? ,∴ a ? ? (舍去) . 2 e 2

③若 ?e ? a ? ?1 ,当 1 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (1, ?a) 上为减函数, 当 ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (?a, e) 上为增函数, ∴ [ f ( x)]min ? f ( ? a ) ? ln( ? a ) ? 1 ?

3 ,∴ a ? ? e 2

综上所述, a ? ? e .………………………………………………………………9 分 (3)∵ f ( x) ? x ,∴ ln x ?
2

a ? x 2 .∵ x ? 0 ,∴ a ? x ln x ? x3 在 (1, ??) 上恒成立, x

令 g ( x) ? x ln x ? x3 , h( x) ? g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x 2 ,则 h?( x) ?

1 1 ? 6 x2 ? 6x ? . x x

∵ x ? 1 ,∴ h?( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立,∴ h( x) 在 (1, ??) 上是减函数, ∴ h( x) ? h(1) ? ?2 ,即 g ?( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 (1, ??) 上也是减函数,∴ g ( x) ? g (1) ? ?1 . ∴当 f ( x) ? x 在 (1, ??) 恒成立时, a ? ?1 .……………………………………12 分
2

22、解: (Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB,
-9-

所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE. …4 分 (Ⅱ)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED 由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF. 设∠DAC=∠DAB=x, 因为⌒ AC=⌒ BC,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, π 在等腰△ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= , 7 2π 所以∠BAC=2x= . …10 分 7 ?x=2cos θ, 23、解: (Ⅰ)C:? (θ 为为参数) ,l:x- 3y+9=0. ?y= 3sin θ
A

E C D F B

…4 分

(Ⅱ)设 P(2cos θ, 3sin θ),则|AP|= (2cos θ-1)2+( 3sin θ)2=2-cos θ, |2cos θ-3sin θ+9| 2cos θ-3sin θ+9 P 到直线 l 的距离 d= = . 2 2 3 4 由|AP|=d 得 3sin θ-4cos θ=5,又 sin 2 θ +cos 2 θ=1,得 sin θ= , cos θ=- . 5 5 8 3 3 故P - , . 5 5

(

)

…10 分

24. 解: (1)当 a=2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 4 ,
不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ; 2 2

? ?

1? ?

?7 ?

? ?

……………5 分

(2) f ? x ? ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ? x ? ? 1 解集是 ? 0, 2? ,

?a ? 1 ? 0 1 1 ,解得 a=1,所以 ? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? ?? m 2n ?a ? 1 ? 2
所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ?

?1 1 ? ? ? ? 4. ? m 2n ?

……………10 分

- 10 -


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