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四川省汉源县第一中学2011-2012学年高二数学上学期期中考试 理 新人教A版


汉源一中高 2013 级高二上期理科数学半期试题
(测试范围:直线与圆的方程、椭圆的方程) 本试卷分第Ⅰ部分(选择题)和第Ⅱ部分(非选择题)共 150 分 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ部分(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷上。 1. 直线 y ? kx 与直线 y ? 2 x ? 1 垂直,则 k 等于( A. ?2 B. 2 C. ? )

1 2

D.

1 3
) D. (2, 0), 2

2.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 的圆心坐标和半径分别为( A. (0, 2), 2 B. (2, 0), 4 C. (?2,0), 2 )

|x| 3.方程 y= 2 表示的曲线为图中的(

x

4. 直线 3x ? y ? 2 ? 0 截圆 x2 ? y 2 ? 4 得到的弦长为( A. 1 B. 2 3 C. 2 2 D. 2



5.如右图,定圆半径为 a ,圆心为 (b, c ) ,则直线 ax ? by ? c ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的交点在( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限
y

。 6. 已知直线 ax ? by ? c ? 0(abc ? 0)与圆x 2 ? y 2 ? 1 相切,则三条边 长分别为|a|,|b|,|c|的三角形 。 x O A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2 2 2 2 7.点 M(x0,y0)是圆 x +y =a (a>0)内不为圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a 与该圆的位置关系是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交

8.设 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,若|PF1|等于 4,则|PF2|等于( 169 144 A.22 C.20 B.21 D.13

x2

y2

)

→ → 9.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取

-1-

值范围是( A.(0,1) C.?0,

)

? 1? B.?0, ? ? 2?
D.?

? ?

2? ? 2?

? 2 ? ,1? ?2 ?


10.若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

11.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( C. 1 ?

A. 2

B. 1 ? 2

2 2

D. 1 ? 2 2

12.将直线 2 x ? y ? ? ? 0 ,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 相 切,则实数 ? 的值为( A. ?3或7 B. ?2或8 ) C. 0或10 D. 1或11

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分) 13. 点 (2, 0) 到直线 y ? x ? 1 的距离为_______. 14. 圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是________.
2 2 2 2

15.圆 x +y -2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为______. 16.若过椭圆 + =1 内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是________. 16 4 三、解答题: (10+10+12+12+12+14=70 分,共 6 小题) 17. (本小题满分 10 分)已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截 得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程。

2

2

x2

y2

18.(本小题满分 12 分)设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= 到这个椭圆上的点的最远距离为 7,求这个椭圆的方程.

3 ? 3? .已知点 P?0, ? 2 ? 2?

-2-

19、 (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A(0, 1) , AB 边上的中线 CD 所在的直线方程为

2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 .
(1)求 ?ABC 的顶点 B 、 C 的坐标; (2)若圆 M 经过不同的三点 A 、 B 、 P(m, 0) ,且斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P ,求 圆 M 的方程.

20. (本题满分 12 分)自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在 2 2 直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程。 解:

21.(本题满分 12 分)已知椭圆 x +(m+3)y =m(m>0)的离心率 e= 轴和短轴的长及顶点坐标.

2

2

3 ,求 m 的值及椭圆的长 2

22. (本小题满分 14 分)已知椭圆的长轴长为 2a,焦点是 F1(- 3,0)、F2( 3,0),点 F1 到 直线 x=-

a2

3 的距离为 , 过点 F2 且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆交于 A、 B 两点, 使得|F2B| 3 3

-3-

=3|F2A|. (1)求椭圆的方程; (2)求直线 l 的方程. 解:

汉源一中高二上期理科数学半期试题答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 题 号 答 案 1 C D 2 C 3 B 4 D 5 B 6 C 7 A 8 9 C A 10 11 B 12 A

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分) 13. ___

2 __ __;14. __ 相交______;15. __ 2 2

__;16. ___ x+2y-4=0______.

三、解答题: (10+10+12+12+12+14=70 分,共 6 小题)

1 8、 (本小题满分 10 分)解析: 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由

x2 y2 a b

-4-

c 3 = 得 a=2b. a 2

? 3?2 ? 1?2 2 2 2 |PM| =x +?y- ? =-3?y+ ? +4b +3(-b≤y≤b), ? 2? ? 2?
1 ? 3?2 2 若 b< ,则当 y=-b 时,|PM| 最大,即?b+ ? =7, 2 ? 2? 3 1 则 b= 7- > ,故舍去. 2 2 1 1 2 2 若 b≥ 时,则当 y=- 时,|PM| 最大,即 4b +3=7, 2 2 解得 b =1. ∴所求方程为 +y =1. 4 19、 (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A(0, 1) , AB 边上的中线 CD 所在的直线方程为
2

x2

2

2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 .
(1)求 ?ABC 的顶点 B 、 C 的坐标; (2)若圆 M 经过不同的三点 A 、 B 、 P(m, 0) ,且斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P ,求 圆 M 的方程. 解: (1) AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 ,所以, AC : x ? 0 , 又 CD : 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以, C (0, ? ) , 设 B(b, 0) ,则 AB 的中点 D ( , ) ,代入方程 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 解得 b ? 2 ,所以 B(2, 0) . (2)由 A(0, 1) , B(2, 0) 可得,圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 , 注意到 BP 也是圆 M 的弦,所以,圆心在直线 x ? 设圆心 M 坐标为 (

1 2

b 1 2 2

m?2 上, 2

m?2 , n) , 2

因为圆心 M 在直线 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,所以 2m ? 2n ? 1 ? 0 …………①, 又因为斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P ,所以 kMP ? ?1 ,

n ? ?1 ,整理得 m ? 2n ? 2 ? 0 …………②, m?2 ?m 2 5 由①②解得 m ? ?3 , n ? ? , 2

-5-

所以, M ( ?

1 5 1 49 50 , ? ) ,半径 MA ? , ? ? 2 2 4 4 2

所以所求圆方程为 x2 ? y 2 ? x ? 5 y ? 6 ? 0 。 20. (本题满分 12 分)自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在 2 2 直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程。 解: 自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在 2 2 直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程。 2 2 解法一 已知圆的标准方程是(x-2) +(y-2) =1,它关于 x 轴的对称 2 2 圆的方程是(x-2) +(y+2) =1。 设光线 L 所在的直线的方程是 y-3=k(x+3) (其中斜率 k 待定) ,由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2)到这条直线 的距离等于 1, 即 d=

| 5k ? 5 | 1? k 2

=1。 整理得 12k +25k+12=0, 解得 k= -

2

3 4

或 k= -

4 4 4 。 故所求直线方程是 y-3= - (x+3), 或 y-3= - (x+3), 即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0。 3 3 3
2 2

解法二 已知圆的标准方程是(x-2) +(y-2) =1,设交线 L 所在的直线的方程是

3(1 ? k ) ,0) , k 3(1 ? k ) 因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线 L′所在直线的方程为 y= -k(x+ ),即 k
y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) ,由题意知 k≠0,于是 L 的反射点的坐标是(y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线的距离为 1,即 d= 下同解法一。 21.(本题满分 12 分)

| 5k ? 5 | 1? k 2

=1。以

x2 y2 解:椭圆方程可化为 + =1. m m m+3 m m?m+2? m 因为 m- = >0,所以 m> . m+3 m+3 m+3 m m?m+2? 2 2 2 2 即 a =m,b = ,c= a -b = . m+3 m+ 3 3 m+2 3 由 e= ,得 = ,解得 m=1. 2 m?m+3? 2 1 y2 2 所以 a=1,b= ,椭圆的标准方程为 x + =1.
2 1 4 所以椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1, 四个顶点的坐标分别为 1 1 A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,- ),B2(0, ). 2 2
-6-

22. 已知椭圆的长轴长为 2a,焦点是 F1(- 3,0)、F2 ( 3,0),点 F1 到直线 x=-

a2
3



距离为

3 ,过点 F2 且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,使得|F2B|=3|F2A|. 3

(1)求椭圆的方程; (2)求直线 l 的方程. 解析: (1)∵F1 到直线 x=-

a2
3

的距离为

3 , 3

∴- 3+ ∴a =4.
2

a2
3



3 . 3

而 c= 3, ∴b =a -c =1. ∵椭圆的焦点在 x 轴上, ∴所求椭圆的方程为 +y =1. 4 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2). ∵|F2B|=3|F2A|,
2 2 2

x2

2

x +3x 3= , ? ? 1+3 ∴? y +3y 0= ? ? 1+3 ,
2 1 2 1

?x2=4 3-3x1, ? ?y2=-3y1.
2 1

x ? ? 4 +y =1, x ∵A、B 在椭圆 +y =1 上,∴? 4 ?4 3-3x ? +?-3y ? =1. ? ? 4
2 2 1 2 2 1 2 1

10 x= ? ? 3 3, ∴? 2 y= ? ? 3 3?取正值?.
1 1

-0 3 3 ∴l 的斜率为 = 2. 10 - 3 3 3

2

∴l 的方程为 y= 2(x- 3),即 2x-y- 6=0.

-7-


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