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高中数学第三章3.4基本不等式新人教版A必修5


2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标

思考:这会标中含有 怎样的几何图形? 思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?

问1:在正方形 ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a ?b 为S=———— , 问2:Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 A 2ab

D 形,它们的面积是S’=——— 问3:S与S’有什么样的关系?
H

从图形中易得,

s > s ’, 即

a +b

2

2

E F

G

a 2 ? b2 ? 2ab

B

C

问题1:那么它们有相等的情况 吗?何时相等?
?形的角度

图片说明:当直角三角形 变为等腰直角三角形,即 a=b时,正方形EFGH缩为一 个点,这时有

a=b
?数的角度

a ? b =2ab
2 2

当a=b时 a2+b2-2ab =(a-b)2=0

类 比 联 想 推 理 论 证

(特别的)如果 a>0 ,b>0 ,

用 a和 b代替a、b, 可得 a ? b ? 2 ab
也可写成

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当 a=b 时“=”号成
立 此不等式称为基本不等式

a?b ? 2
算术平均数

ab

几何平均数

(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

例 1 : ( 1 )用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形
菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少?
解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

x? y ? ? xy ? x ? y ? 2 100, 2 2( x ? y) ? 40 等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10.
因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最 短,最短的篱笆是40m.

结论1:两个正变量积为定值,则和有最小值, 当且仅当两值相等时取最值。

(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的 面积最大,最大面积是多少?
解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则 2( x + y )= 36 , x + y = 18

矩形菜园的面积为xym2
得 xy

?

x? y ? xy ? =18/2=9 2

81

当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立

因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园面积最大, 最大面积是81m2

结论2:两个正变量和为定值,则积有最大值, 当且仅当两值相等时取最值。

应用基本不等式求最值的条件:
一正 二定 三相等

a与b为正实数

积定和最小 和定积最大

若等号成立, a与b必须能 够相等

例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,
其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的 造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎 样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多 少?
分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低

解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: z ? 150 ? 4800 ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3y)
3 ? 240000 ? 720(x ? y)

由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 ? 720(x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy
z ? 240000 ? 720 ? 2 1600
z ? 297600



当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600元.

1.设计一副宣传画,要求画面面积为4840m2,画 面的宽与高的比为a(a<1),画面的上下各留出 8cm的空白,左右各留5cm的空白,怎样确定画 面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积 最小?
4840 3025 S ? (x ? 10)( ? 16) ? 5000 ? 16(x ? ) x x 3025 ? 5000 ? 16 ? 2 x ? ? 6760 x 3025 只有x ? 即x ? 55取" ? " x 4840 55 ? 88, a ? ?1 x 88

2.某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备 管理费共计9千元,这种生产设备的维修费各年为: 第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每 年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多 少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少?)
(0.2 ? 0.2x)x 10 ? 0.9x ? 10 x 2 y? ? 1? ? x x 10 ? 1? 2? 10 x ? ?3 x 10

10 x 只有 ? 即x ? 10取"= " x 10

1. 两个不等式 (1)

a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab

(当且仅当a ? b时取" ?"号)
a?b (2) ab ? (a>0,b>0) 当且仅当a=b时,等号成立 2

注意:1.两公式条件,前者要求a,b为实数;后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用:主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正,二定,三相等”

b >0,若 3是 1.设 a >0,
得最小值为(

3a 与 3b

1 1 的等比中项,则 a ? b

B)
B. 4

(2009年天津理6)

A. 8

C. 1

1 D. 4

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 2.(2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 ? x ? 0, y ? 0, ?

z ? ax ? by(
A.

a>0, b
B.

2 3 >0)的最大值为12,则 a ? b 的最小值为( A )

25 6

8 3

C.

11 3
y

D. 4

略解:
把点(4, 6)代入z ? ax ? by得4a ? 6b ? 12, 2 3 ? 2 3 ? 2a ? 3b 即2a ? 3b ? 6, 而 ? ? ? ? ? a b ?a b? 6 13 b a 13 25 ? ? ( ? ) ? ? 2 ? , 故选A 6 a b 6 6
-2

(4,6)

x? y?2?0
z ? ax ? by

2 0

2

3x ? y ? 6 ? 0

x

课堂作业
课本P106习题3.3 新学案第一.二课时 第1.2题


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