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江苏专用2018高考数学一轮复习第十章算法统计与概率第54课随机事件的概率课时分层训练


第十章 算法、统计与概率 第 54 课 随机事件的概率课时分层训练
A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、填空题 1.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北 四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是________事件. 互斥 件.] 2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B={抽到二等品}, 事件 C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品 不是一等品”的概率为________. 0.35 [∵事件 A={抽到一等品},且 P(A)=0.65, ∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 P=1-P(A)=1-0.65=0.35.] 3.给出下列三个命题,其中正确命题有________个. ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品;②做 7 次 3 抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此正面出现的概率是 ;③随机事件发生的频率就是 7 这个随机事件发生的概率. 0 3 [①错,不一定是 10 件次品;②错, 是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这 7 [由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事

是两个不同的概念.] 4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员 三次投篮恰有两次命中的概率: 先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数, 指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果. 经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 683 537 966 191 925 271 932 812 458 431 257 393 027 556 488 730 989 569 113

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 【导学号:62172300】 1 4 [20 组随机数中,恰有两次命中的有 5 组,因此该运动员三次投篮恰有两次命中的

5 1 概率为 P= = .] 20 4 5.(2017·云南昆明 3 月月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女
1

3 1 子单打比赛,甲夺得冠军的概率为 ,乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单 7 4 打冠军的概率为________. 19 28 [由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺

得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式 3 1 19 进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 + = .] 7 4 28 6.某袋中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出 一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编 号不同的概率是________. 5 6 [设 a,b 分别为甲、乙摸出球的编号.由题意,摸球试验共有 n=6×6=36 种不同

结果,满足 a=b 的基本事件共有 6 种, 6 5 所以摸出编号不同的概率 P=1- = .] 36 6 7.如图 54?1 所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数 字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是________. 【导学号:62172301】

图 54?1 4 5 [设被污损的数字为 x,则 1 5 1 5

x 甲= (88+89+90+91+92)=90, x 乙= (83+83+87+99+90+x),
若 x 甲= x 乙,则 x=8. 若 x 甲> x 乙,则 x 可以为 0,1,2,3,4,5,6,7, 8 4 故 P= = .] 10 5 8.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6),事件 A 表示“朝上 一面的数是奇数”,事件 B 表示“朝上一面的数不超过 2”,则 P(A+B)=________. 2 3 [将事件 A+B 分为:事件 C“朝上一面的数为 1,2”与事件 D“朝上一面的数为
2

3,5”. 则 C,D 互斥, 1 1 且 P(C)= ,P(D)= , 3 3 2 ∴P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)= .] 3 9.在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A,B,C,D 的概率分别是 0.2,0.2,0.3,0.3, 则下列说法正确的是________. ①A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件; ②B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件; ③A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件; ④A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件. ④ [由于 A,B,C,D 彼此互斥,且 A+B+C+D 是一个必然事件,故

其事件的关系可由如图所示的 Venn 图表示,由图可知,任何一个事件与其 余 3 个事件的和事件必然是对立事件, 任何两个事件的和事件与其余两个事 件的和事件也是对立事件,④正确.] 10.若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且 P(A)=2-a,P(B)=4a- 5,则实数 a 的取值范围是________.

?2-a>0, ?5,4? [由题意可知? ?4a-5>0, ?4 3? ? ? ? ?0<?2-a?+?4a-5?≤1.
5 4 解得 <a≤ .] 4 3 二、解答题 11.(2015·北京高考节选)某超市随机选取 1 000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、 丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 商品 顾客人数 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
3

甲 √ × √ √ √ ×

乙 × √ √ × × √

丙 √ × √ √ × ×

丁 √ √ × × × ×

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率. [解] (1)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙, 200 所以顾客同时购买乙和丙的频率为 =0.2. 1 000 (2)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁, 另有 200 位顾客同时购买了甲、 乙、丙, 其他顾客最多购买了 2 种商品, 所以顾客在甲、 乙、 100+200 丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 =0.3. 1 000 12.某班选派 5 人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下: 获奖人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 3 4 0.2 5

x

y

z

(1)若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56,求 x 的值; (2)若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96,最少 3 人的概率为 0.44,求 y,z 的值. 【导 学号:62172302】 [解] 记事件“在竞赛中,有 k 人获奖”为 Ak(k∈N,k≤5),则事件 Ak 彼此互斥. (1)∵获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56, ∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56, 解得 x=0.3. (2)由获奖人数最多 4 人的概率为 0.96,得

P(A5)=1-0.96=0.04,即 z=0.04.
由获奖人数最少 3 人的概率为 0.44,得 P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44, 即 y+0.2+0.04=0.44, 解得 y=0.2. B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.掷一个骰子的试验,事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”,事件 B 表示“出现小于 5 的点数”,若 B 表示 B 的对立事件,则一次试验中,事件 A+ B 发生的概率为________. 2 3 [掷一个骰子的试验有 6 种可能结果.

2 1 4 2 依题意 P(A)= = ,P(B)= = , 6 3 6 3 2 1 ∴P( B )=1-P(B)=1- = . 3 3 ∵ B 表示“出现 5 点或 6 点”的事件,

4

因此事件 A 与 B 互斥, 1 1 2 从而 P(A+ B )=P(A)+P( B )= + = .] 3 3 3 2.某城市 2017 年的空气质量状况如表所示: 污染指数 T 概率 P 30 1 10 60 1 6 100 1 3 110 7 30 130 2 15 140 1 30

其中污染指数 T≤50 时,空气质量为优;50<T≤100 时,空气质量为良;100<T≤150 时,空气质量为轻微污染,则该城市 2017 年空气质量达到良或优的概率为________. 3 5 1 1 1 3 [由题意可知 2017 年空气质量达到良或优的概率为 P= + + = .] 10 6 3 5

3.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔 付结果统计如下: 赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 130 2 000 100 3 000 150 4 000 120

(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,车 主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率. [解] (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”, B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”, 150 120 以频率估计概率得 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12. 1 000 1 000 由表格知,赔付金额大于投保金额即事件 A+B 发生, 且 A,B 互斥, 所以 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27, 故赔付金额大于投保金额的概率为 0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”,由已知,样本车辆中车主为新 司机的有 0.1×1 000= 100( 辆) ,而赔付金额为 4 000 元的车辆中,车主为新司机的有 0.2×120=24(辆), 24 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 =0.24, 100 因此,由频率估计概率得 P(C)=0.24. 4.不透明袋中有 3 个白球,3 个黑球,从中任意摸出 3 个球,求下列事件发生的概率: (1)摸出 1 个或 2 个白球; (2)至少摸出 1 个白球. [解] 将白球分别编号为 1,2,3,黑球分别编号为 4,5,6,则从 6 个球中任意摸出 3 个
5

球,结果如下: 三白为(1,2,3); 两白一黑为(1,2,4), (1,2,5), (1,2,6), (1,3,4), (1,3,5), (1,3,6), (2,3,4), (2,3,5), (2,3,6);一白两黑为(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5), (3,4,6),(3,5,6);三黑为(4,5,6). 共有 20 种不同的结果. 从 6 个球中任取 3 个, 记“恰有 1 个白球”为事件 A1, “恰有 2 个白球”为事件 A2, “恰 有 3 个黑球”为事件 B,事件 A1 与 A2 为互斥事件,则 9 9 9 (1)摸出 1 个或 2 个白球的概率 P1=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= + = . 20 20 10 (2)“至少摸出一个白球”的对立事件为“摸出的 3 个球都是黑球”,所以所求概率 P2 1 19 =1-P(B)=1- = . 20 20

6


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