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福建省泉州市晋江市平山中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题-理


平山中学 2015-2016 学年高二上学期期末考 数学(理科)试卷
(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分.每题只有一个选项符合题目要求) . 1.如果命题 p ? q 是真命题,命题 ? p 是假命题,那么( ) A.命题 p 一定是假命题 B.命题 q 一定是假命题 C.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 是真命题或

假命题 2.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则( ) A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 )

x2 y 2 4 3. “双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ”是“双曲线的方程为 ? ? 1 ”的( 3 9 16 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D..不充分不必要条件 4.命题“若 a ? b ,则 a ? 8 ? b ? 8 ”的逆否命题是( ) A.若 a ? b ,则 a ? 8 ? b ? 8 B.若 a ? 8 ? b ? 8 ,则 a ? b C.若 a ≤b,则 a ? 8 ? b ? 8 D.若 a ? 8 ? b ? 8 ,则 a ≤b 2 5.若向量 a=(1,0,z)与向量 b=(2,1,2)的夹角的余弦值为 ,则 z 等于( ) 3 A.0 B.1 C.-1 D.2
6.已知 a ? ?2, ? 3, 1? , b ? ?4, 2, x? ,且 a ? b ,则实数 x 的值是( A. 2 B.-2 C. ? )

2 3

D.

2 3

7.如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点,

1 1 BC ? BD 等于( ) 2 2 A. AD B. GA C. AG D. MG 2 2 x y ? ? 1 的渐近线的距离为( ) 8.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到双曲线 12 4 3 3 A. 1 B. 3 C. D. 3 6 1 9.设双曲线的焦点在 y 轴上,两条渐近线为 y ? ? x ,则该双曲线的 2 离心率 e ? ( ) 5 5 A. 5 B. 5 C. D. 4 2
则 AB ?

1

10. “方程 + =1 表示椭圆”是“-3<m<5”的( )条件 5-m m+3 A.必要不充分 B.充要 C.充分不必要 D.不充分不必要

x2

y2

x2 y 2 3 11.椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F ,过 F2 的直 1 、 F2 ,离心率为 a b 3 线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( ) x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 D. ? ?1 12 8 3 2 x2 2 12.若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线 2 ? y ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右 a ??? ? ??? ? 支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为( ) 7 7 A. [3-2 3, ??) B. [- , ?? ) C. [3 ? 2 3, ??) D. [ , ??) 4 4
A. B. C. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.向量 a ? (1,2,?2), b ? (?3, x, y), 且 a // b ,则 x-y= 14.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F( ? 2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长 的 2 倍,则该椭圆的标准方程是__ _ _____ 15.抛物线 y ? 8x 上一点 P 到焦点的距离为 10,则 P 点的横坐标为_
2
? ?

x2 y 2 ? ?1 12 4

x2 ? y2 ? 1 3

___

16.设双曲线 - =1,F1 ,F2 是其两个焦点,点 M 在双曲线上. 4 9 若∠F1MF2=90°,则△F1MF2 的面积是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题 10 分)根据下列条件求方程. (1) 若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合, 求抛物线的准线方程 (5 分) 9 5 (2) 已知双曲线的离心率等于 2, 且与椭圆 程. (5 分)
2

x

2

y

2

x2 y2

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,求此双曲线标准方 25 9

2

18.(本题 10 分) 2 2 2 2 一动圆与圆 x +y +6x+5=0 外切,同时与圆 x +y -6x-91=0 内切,求动圆圆心的轨 迹方程,并说明它是什么曲线.

19.(本题 10 分) 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,求抛物线的方程。
2
?

20.(本题 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)证明 AC⊥BC1; (2)证明 AC1∥平面 CDB1.

3

21.(本题 14 分) 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD⊥AB, AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点. (1)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (7 分) (2)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF⊥AC,求二面角 F ?AB?P 的余弦值. (7 分)

22. (本题 14 分) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F (2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (4 分) (2 )是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等 于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 (10 分)

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平山中学 2015-2016 学年高二上学期期末考 数学(理科)试卷 (满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分.每题只有一个选项符合题目要求) . 1.如果命题 p ? q 是真命题,命题 ? p 是假命题,那么( D ) A.命题 p 一定是假命题 B.命题 q 一定是假命题 C.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 是真命题或假命题 2.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则(C ) A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

x2 y 2 4 3. “双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ”是“双曲线的方程为 ? ? 1 ”的(A) 3 9 16 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D..不充分不必要条件 4.命题“若 a ? b ,则 a ? 8 ? b ? 8 ”的逆否命题是( D ) A.若 a ? b ,则 a ? 8 ? b ? 8 B.若 a ? 8 ? b ? 8 ,则 a ? b C.若 a ≤b,则 a ? 8 ? b ? 8 D.若 a ? 8 ? b ? 8 ,则 a ≤b 2 5.若向量 a=(1,0,z)与向量 b=(2,1,2)的夹角的余弦值为 ,则 z 等于( A ) 3 A.0 B.1 C.-1 D.2
6.已知 a ? ?2, ? 3, 1? , b ? ?4, 2, x? ,且 a ? b ,则实数 x 的值是( B A. 2 B.-2 C. ? )

2 3

D.

2 3

7. 如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点,

1 1 BC ? BD 等于( C ) 2 2 A. AD B. GA C. AG D. MG 2 2 x y 2 ? ? 1 的渐近线的距离为( A ) 8.抛物线 y ? 8x 的焦点到双曲线 12 4 3 3 A. 1 B. 3 C. D. 3 6 1 9.设双曲线的焦点在 y 轴上,两条渐近线为 y ? ? x ,则该双曲线的 2 离心率 e ? ( B ) 5 5 A. 5 B. 5 C. D. 4 2
则 AB ? 1 0. “方程 + =1 表示椭圆”是“-3<m<5”的( C ) 条件 5-m m+3 A.必要不充分 B.充要 C.充分不必要 D.不充分不必要
5

x2

y2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,过 F2 的直 2 a b 3 线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( D)
11.椭圆 C:

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 D. 12 8 3 2 x2 2 12.若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线 2 ? y ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右 a ??? ? ??? ? 支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( C ) 7 7 A. [3-2 3, ??) B. [- , ?? ) C. [3 ? 2 3, ??) D. [ , ??) 4 4
A. B. C. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.向量 a ? (1,2,?2), b ? (?3, x, y), 且 a // b ,则 x-y= -12 14.已知椭 圆中心在原点,一个焦点为 F( ? 2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该 椭圆的标准方程是___
? ?

x2 y 2 ? ?1 12 4

x2 ? y2 ? 1 3

x2 y2 ? ? 1 _____ 16 4

15.抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到焦点的距离为 10,则 P 点的横坐标为_8___ 16.设双曲线 - =1, F1, F2 是其两个焦点, 点 M 在双曲线上. 若∠F1MF2=90°, 则△F1MF2 4 9 的面积是 9 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题 10 分)根据下列条件求方程. (1) 若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合, 求抛物线的准线方程 (5 分) 9 5 x2 y2 解:易知椭圆 + =1 的右焦点为(2,0),-------------1 分 9 5 x2 y2 ∵抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合, 9 5 ∴p=4,-----2 分 抛物线的准线方程为 x=-2. -----2 分
2

x2 y2

x2 y2

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,求此双曲线标准方 (2) 已知双曲线的离心率等于 2, 且与椭圆 25 9
程. (5 分) 解:

6

-----1 分

-----2 分

18. (本题 10 分) 2 2 2 2 一动圆与圆 x +y +6x+5=0 外切,同时与圆 x +y -6x-91=0 内切,求动圆圆心的轨 迹方程,并说明它是什么曲线. 解:两圆的方程可以分别化为 C1:(x+3)2+y2=4,C2:(x-3)2+y2=100,-----2 分 ∴两圆的圆心分别为 C1(-3,0),C2(3,0),半径分别为 r1=2,r2=10. 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,两切点为 T1,T2. 由平面几何的知识知:|MC1|=r1+r,|MC2|=r2-r,-----2 分 ∴|MC1|+|MC2|=r1+r2. -----2 分 ∴动圆圆心 M 到 C1 与 C2 的距离之和为定值. 由椭圆的定义知,动圆圆心 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点, 1 1 以 (r1+r2)= (2+10)=6 为长半轴长的椭圆,-----2 分 2 2 其方程为 + =1. -----2 分 36 27 19. (本题 10 分).过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线 于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,求抛物线的方程。
2
?

x2

y2

解析:由题意可知过焦点的直线方程为 y ? x ?

p ,-----2 分 2

? y 2 ? 2 px p2 ? 2 联立有 ? ? x ? 3 px ? ? 0 ,-----2 分 p 4 y ? x ? ? ? 2 ?x1? x 2 ? 3 p -----2 分

? AB ?x1 ? x 2 ? p ? 4 p ? 8 ? p ? 2 -----2 分
∴抛物线的方程 y ? 4 x .-----2 分 20. (本题 12 分)如图,在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点.(1)证明 AC⊥BC1; (6 分) (2)证明 AC1∥平面 CDB1. (6 分)
2

7

解:∵直三棱柱 ABC?A1B1C1 的底面边长分别为 AC=3,BC=4,AB=5, ∴△ABC 为直角三角形,AC⊥BC. ∴AC,BC,C1C 两两垂直. -----2 分 如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, ?3 ? 则 C(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C1(0, 0, 4), A1(3, 0, 4), B1(0, 4, 4), D? ,2,0? ?2 ? .--2 分 → → (1)证明:∵AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4), → → ∴AC·BC1=0,AC⊥BC1. -----2 分 → ? 3 ? → (2)证法一:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,则 E(0,2,2),DE=?- ,0,2?,AC1= ? 2 ? 1 → → (-3,0,4),∴DE= AC1,DE∥AC1. -----2 分 2 ∵DE? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1,-----2 分 ∴AC1∥平面 CDB1. -----2 分 → → ?3 ? → 证法二:易知AC1=(-3,0,4),CD=? ,2,0?,CB1=(0,4,4).设平面 CDB1 的一个法 ?2 ? 向量为 n=(x,y,z),-----1 分 → 3 n·CD= x+2y=0, 2 则 -----1 分 → n·CB1=4y+4z=0. 取 y=3 得 x=-4,z=-3, ∴n=(-4,3,-3). → → ∵AC1·n=-3×(-4)+0×3+4×(-3)=0.∴AC1⊥n. -----2 分 又 AC1?平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1. -----2 分 21.(本题 14 分)如图,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC =AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点. (1)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (7 分) (2)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF⊥AC,求二面角 F?AB?P 的余弦值. (7 分)

? ? ?

解:以 A 为原点建立空间直角坐标系,可得 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0, 0,2).由 E 为棱 PC 的中点,得 E(1,1,1). → → (1)向量BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2). ----2 分

8

→ ? ?n·BD=0, 设 n=(x,y,z)为平面 PBD 的法向量,则? → ? ?n·PB=0,
? ?-x+2y=0, 即? ----2 分 ? ?x-2z=0.

→ n·BE → 不妨令 y=1,可得 n=(2,1,1)为平面 PBD 的一个法向量.于是有 cos〈n,BE〉= → |n||BE| = 3 = .----2 分 6× 2 3 2

3 .----1 分 3 → → → → (2)向量BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0), → → 由点 F 在棱 PC 上,设CF=λ CP,0≤λ ≤1. ----1 分 → → → → → 故BF=BC+CF=BC+λ CP=(1-2λ ,2-2λ ,2λ ). → → 由 BF⊥AC,得BF·AC=0,因此 2(1-2λ )+2(2-2λ )=0. 3 → ? 1 1 3? 解得 λ = ,即BF=?- , , ?.----1 分 4 ? 2 2 2? x=0, → ? ? ?n1·AB=0, ? 设 n1=(x,y,z)为平面 FAB 的法向量,则? 即? 1 1 3 → - x+ y+ z=0. ? ?n1·BF=0, ? ? 2 2 2 不妨令 z=1,可得 n1=(0,-3,1)为平面 FAB 的一个法向量. ----2 分 取平面 ABP 的法向量 n2=(0,1,0),则 n1·n2 -3 3 10 cos〈n1,n2〉= = =- .----2 分 |n1||n2| 10 10×1 ∴直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3 10 易知二面角 F?AB?P 是锐角,∴其余弦值为 .----1 分 10 22. (本题 14 分)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右 焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (4 分) (2)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等 于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 (10 分) 解:解:(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 且可知左焦点为 F′(-2,0), 从而有 解得 ,----1 分 ,----1 分 (a>b>0),

又 a2=b2+c2,所以 b2=12,----1 分
9

故椭圆 C 的方程为

。----1 分 ,----1 分

(2)假设存在符合题意的直线 l 的方程为



得 3x2+3tx+t2-12=0,----2 分

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点,所以△=(3t)2-4×3(t2-12)≥0, 解得 。----2 分 ,----2 分

另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得 从而 由于 ,----2 分 ,

所以符合题意的直线 l 不存在。----2 分

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