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2011届江苏高考数学仿真模拟押题卷8


2011 届高考数学仿真押题卷——江苏卷(8)
一、填空题: 1、已 知 M = { x ? x -3 |< 4 } , N = { x |
2

x ?1 x ? 2

? 0 , x ? Z } , M ? N ? {0}

2、若将复数 (1 ? i ) (1 ? 2 i ) 表示为 p ? qi ( p , q ? R ) )的形式,则 p ? q ? 8



3、 在样本的频率分布直方图中, 一共有 n 个小矩形, 若中间一个小矩形的面积等于其余 (n-1) 个小矩形面积之和的
1 5

,且样本容量为 240,则中间一组的频数是 60
3

4、一个盒子中装有 4 张卡片,上面分别写着如下四个定义域为 R 的函数:f1(x)=x , f2 (x)=|x|, f3(x)=sinx, f4(x)=cosx 现从盒子中任取 2 张卡片,将卡片上的函数相乘 得到一个新函数,所得函数为奇函数的概率是
2 3

5、.已知三条不重合的直线 m、n、l 两个不重合的平面 a、b,有下列命题 ①若 l∥a,m∥b,且 a∥b,则 l∥m ②若 l⊥a,m⊥b,且 l∥m,则 a∥b ③若 m ? a,n ? a,m∥b,n∥b,则 a∥b ④若 a⊥b,a∩b= m,n ? b,n⊥m,则 n⊥a 其中真命题的个数是 2 6、 设 P 是 椭 圆
x
2

?

y
9

2

? 1 上 一 点 , M、N

分别是两圆: (x+4) +y =1 和(x-4) +y =1 上的点,

2

2

2

2

25

则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 8,12 7、已 知 直 线 a x
a 1 3 ? b y ? 2 ? 0 与 曲 线 y ? x 在 点 P (1, 1) 处 的 切 线 互 相 垂 直 , 则 为 ? b 3

8、双曲线的渐近线方程为 y ? ?

3 4

x ,则双曲线的离心率是

5 3



5 4

9. O 是锐角 ? ABC 所在平面内的一定点,动点 P 满足: O P ? O A ? ?

??? ?

??? ?

? ? ? ? ??? ? AB ?

??? ? AB
2

?

S in ? A B C

???? AC

2

? ? ? S in ? A C B ? ?

???? AC

, ? ? ? 0 , ? ? ? ,则动点 P 的轨迹一定通过 ? ABC 的___内___心.

2 2 10. 对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x 的上确

界,若 a , b ? R , 且 a ? b ? 1 ,则 ?

?

1 2a

?

2 b

的上确界为_______ ?

9 2

_______.

11. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,且 AM= AB,点 P 在平
3

1

面 ABCD 上, 且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 在
2 3 1 9

平面直角坐标系 xoy 中,动点 P 的轨迹方程是_______ y 2

?

x?

_______.

n ?1 2 12. 设函数 f ( x ) ? a 1 ? a 2 x ? a 3 x ? ? ? a n x , f ( 0 ) ?

1 2

,数列 { a n } 满足

f (1) ? n a n ( n ? N )
2 *

,则数列 { a n } 的通项 a n =

1 n ( n ? 1)



13. 函数 f(x)是奇函数,且在[-1,1]是单调增函数,又 f(-1)=-1, 则满足 f(x)≤

t +2at+1 对 所 有 的 x ∈ [ - 1,1] 及 a ∈ [ - 1,1] 都 成 立 的 t 的 范 围 是

2

? ? ? . ? 2 ? ? ? 0? ? ? 2 , ? ? ?
??? ?

.
??? ? ??? ? ????
??? ?

14. 已知 O 为坐标原点,O P ? ? x , y ? ,O A ? ? a , 0 ? ,O B ? ? 0 , a ? ,O C ? ? 3, 4 ? , P A 、 记
??? ? ???? PB 、 PC

中的最大值为 M,当 a 取遍一切实数时,M 的取值范围是

?7 ? ?

2

6 ?, ?

?

.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分)

15、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sinB+sinC= 3 ,试判断△ABC 的形状。 解: (Ⅰ)由 2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC, 得 2a =(2b-c)b+(2c-b)c,…………………………………………………… 2 分 即 bc= b + c - a ,
? cos A ?
b
2

2

2

2

2

? c ? a
2

2

?

1 , 2

………………………………………………4 分

2bc

∠A=60°. …………………………………………………………………………5 分

(Ⅱ)∵A+B+C=180°. ∴B+C=180-60=120°.…………………………………………6 分
由 s in B ? s in C ? 3,

得 s in B ? s in (1 2 0 ? ? B ) ?

3.

…………………………………………………………7 分 ………………………………………8 分

? s in B ? s in 1 2 0 ? c o s B ? c o s 1 2 0 ? s in B ?

3.

?

3 2

s in B ?

3 2

cos B ?

3,

即 sin(B+30°)=1. …………………………………………………………10 分 ∴0<B<120°,30°<B+30°<150°. ∴B+30°=90°, B=60°. ………………………………………………11 分 ∴A=B=C=60°,△ABC 为正三角形. ………………………………………12 分 16、将数列 { a n } 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: 将数列 { a n } 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2,a 3 a 4,a 5,a 6 a7,a8,a9,a10 ……
? 记表中的第一列数 a 1, a 2, a 4, a 7, 构成的数列为 ? b n ? ,b1 ? a 1 ? 1 .S n 为数列 ? b n ? 的前

n

项和,且满足

2 bn bn S n ? S n
2

? 1( n ≥ 2 ) .

(Ⅰ)证明数列 ?

? 1 ? ? 成等差数列,并求数列 ? b n ? 的通项公式; ? Sn ?

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a 8 1 ? ? 证明: (Ⅰ) 由已知
4 91
2 bn bn S n ? S n
2

时,求上表中第 k ( k ≥ 3 ) 行所有项的和.
2 ( S n ? S n ?1 ) ( S n ? S n ?1 ) S n ? S n
2

? 1 , S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n , 又 所以

?1,



2 ( S n ? S n ?1 ) ? S n ?1 S n

? 1 ,所以

1 Sn

?

1 S n ?1

?

1 2

(n ? 2) ,

又 S 1 ? b1 ? a 1 ? 1 .

所以数列 ?

? 1 ? ? 是 首 项 为 ? Sn ?

1,公差为

1 2

的等差数列.由上式可知

1 Sn

?1?

1 2

( n ? 1) ?

n ?1 2





Sn ?

2 n ?1









n≥ 2





bn ?

S n ? ?1 S n ? n ?1

2

2 n

?

? 1,         n ? 1, ? ? .? n ? ? b 2 , n ≥ 2. (n ? n1 ) ? ? ? n ( n ? 1)
2

(Ⅱ) 设上表中从第三行起, 解: 每行的公比都为 q , q ? 0 . 且 因为 1 ? 2 ? ? ? 12 ? 78 , 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 ? a n ? 的前 78 项,故 a 8 1 在表中第 13 行第三列, 因此 a 81 ? b 13 ? q 有项的和为 S , 则S ?
b k (1 ? q )
k

2

? ?

4 91

又 b1 3 ? ?

2 13 ? 14

,所以 q ? 2 .

记表中第 k ( k ≥ 3 ) 行所

1? q

? ?

2 k ( k ? 1)

?

1? 2

k

1? 2

?

2 k ( k ? 1)

(1 ? 2 )( k ? 3 ).
k

17、已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差 都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于点 P,且与曲线 C 相交于 A、B 两点的直线, 且| O P
|? 1

,问:是否存在上述直线 l 使 A P ? P B

? 1

成立?若存在,求出直线 l 的方程,若

不存在,请说明理由 解: (Ⅰ)设 M(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 M(x,y)满足
( x ? 1)
2

? y
2

2

? x ? 1( x ? 0 ),

化简, y =4x(x>0). ………………………………………………………………………3 得 分 注: (1)未写 x>0 的不扣分; 2 (2)由抛物线的定义直接得方程,只要设出方程 y =2px.说明 p=2,也可得 3 分. (Ⅱ)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). , 假设使 A P ?P B
??? ???
? 1 成立的直线

l 存在.

①当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 | O A
m k
2

???

|? 1 .



? 1, 即 m ?1

2

? k

2

? 1.

①……………………………………………………………4


??? ??? ??? ? A P ?P B ? 1, | O P |? 1 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? O A ?O B ? ( O P ? P A ) ?( O P ? P B )

…………………………………………………………5



???? ??? ??? ??? ??? ??? ??? 2 ? O P ? O P ?P B ? P A ?O P ? P A ?P B

=1+0+0-1=0,即 x1x2+ y1y2=0. ……………………………………………………6 分 将 y=kx+m 代入方程 y =4x,得 k x +(2km-4)x+m =0. ………………………………………7 分 ∵l 与 C 有两个交点,∴k≠0,
x1 ? x 2 ? 4 ? 2 km k
2

2

2 2

2

, x1 x 2 ?

m k

2 2

.



∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) (kx2+m) 2 2 =(1+k )x1x2+km (x1+x2)+ m =0. 将②代入③得
(1 ? k ) ?
2

③……………………………………………8 分

m k

2 2

? km ?
2

4 ? 2 km k
2

? m

2

? 0.

化简,得 m +4km=0. ……………………………………………………………………9 分
? | O P |? 1 ∴m≠0
k ?

???

① ∴m+4k=0
1 15 或 m ? k ? 1 15 4 15



由①、④得
m ?

…………………………………………………10 分

4 15

得存在两条直线 l 满足条件,其方程为: y

?

15 15

x ?

4 15 15

, y ?

15 15

x ?

4 15 . 15

②当 l 垂直于 x 轴时,则 n 为 x 轴,P 点坐标为(1,0) ,A(1,2) ,B(1,-2).
??? ??? ??? ???
? A P ? ( 0 , ? 2 ) , P B ? ( 0 , ? 2 ) , 则 A P ?P B ? 4 ? 1, 不 符 合 题 意 .

综上,符合题意的直线 l 有两条: y 分

?

15 15

x ?

4

15 15

? y ? ?

15 15

x ?

4

15 . 15

………12

注:第Ⅱ问设 l 的方程为 x=ly+m,联立 y =4x 建立 y 的一元二次方程更简单,且不需讨 论. 18、已知函数 f ( x ) ? x ( x ? a )( x ? b ) ,点 A ( m , f ( m )), B ( n , f ( n )) . (1)设 b ? a ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 的导函数 f ? ( x ) 满足:当 | x |? 1 时,有 | f ' ( x ) |?
f ( x ) 的表达式;

2

3 2

恒成立,求函数

(3)若 0 ? a ? b ,函数 f ( x ) 在 x ? m 和 x ? n 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 .问:是否

存在常数 a , b ,使得 OA ? OB ? 0 ? 若存在,求出 a , b 的值;若不存在,请说明理由. (1)
1
?

f ( x) ? x ? 2ax ? a x
3 2 2



f ?( x ) ? 3 x ? 4 a x ? a
2

2

? 0

, 得: x 1

?

a 3

, x2

? a


a 3

当 a ? 0 时,
?

x1 ? x 2 ?

所求单调增区间是 ( ? ? ,
a 3

a 3

)

,( a , ? ? ) ,

单调减区间是 (
a 3

,a )

2

当 a ? 0 时,所求单调增区间是 ( ? ? , a ) , ( 当 a ? 0 时,
f ?( x ) ? 3 x
2

, ?? )

, 单调减区间是( a ,



3

?

≥0

所求单调增区间是 ( ? ? , ? ? ) .
? f ? ? x ? ? 3x ? 2 ? a ? b ? x ? ab,
2

(2) f ? x ? ? x 3 ? ? a ? b ? x 2 ? a b x
?


3 2 ? f ? ?1 ? 3 ? , 2

x ? ? ? 1,1 ?
3 ? 2 ? ?? f 1? ?


3 ?, 2 3 ? 2


f ??? ? 0


3 ?, 2



f ?? x ? ?

3 2

? ?

? ? ? ? ? 即?? ? ? ?? ?

3 2 3

? 3 ? 2 ? a ? b ? ? ab ?

3 2

,

3 ? ?ab ? ? , ? 3 ? 2 ? a ? b ? ? ab ? , 得? 2 2 2 ? a ? b ? 0, ? 3 3 ? ab ? , 2 2

3

此时,满足当 x ? [ ? 1,1] 时 | (3)存在 a , b 若OA ?OB 由于 0 ?
??? ??? ? ? ? 0

f ?( x ) | ≤

3 2

恒成立.? f ? x ? ? x ?
3

3 2

x .

使得 O A ?O B ? 0 . ,即 m ? n
? f (m ) ? f (n ) ? 0
? m n ? m n ( m ? a )( m ? b )( n ? a )( n ? b ) ? 0 a ) (n ?

??? ??? ? ?

a ?b

,知 m n

? 0

? ( m ? a ) ( m ? b ) ( n?

1 b) ? 1 ? ○
? ab 3

由题设, m , n 是 2 1 ○代入○得: a b ( a
2

f ?( x ) ? 0

的两根

?m ? n ?

2(a ? b) 3

,mn

2 ○

? b) ? 9
2

? (a ? b) ? (a ? b) ? 4ab ?
2

9 ab

? 4ab



2

36 ? 12

, 当 且 仅 当

ab ?

3 2

时 取 “ = ”

?a?b ?a?b
b ? 2

≥2 ≤
3 ? 2
2

3

3

?a ? b ? 2

3



? ab ?

3 2



0? a ?b

?a ?

2

3 ? 2

6



6



附加题
1、变换 T 1 是逆时针旋转 是M
?1 ? ? ?0 1? ? . 1?

?
2

的旋转变换,对应的变换矩阵是 M 1 ;变换 T 2 对应用的变换矩阵

2

(Ⅰ)求点 P ( 2 ,1) 在 T 1 作用下的点 P ' 的坐标; (Ⅱ)求函数 y ? x 的图象依次在 T 1 , T 2 变换的作用下所得曲线的方程.
2

解: (Ⅰ)M 1 ? ?

?0 ?1

? 1? ? ,M 1 0 ?

?2? ?0 ? ? ? ? ?1 ? ?1

? 1? ? 0 ? ?1 ?1

?2? ? ? 1? ? ? ? ? ? 所以点 P ( 2 ,1) 在 T 1 作用下的点 P ' ?1 ? ? 2 ? ? 1? ?x? ? ,设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之 0 ? ?y? x0 ? y0 ? x x0 ? y ? ? x0 ? y y0 ? y ? x

的坐标是 P '( ? 1, 2 ) 。 (Ⅱ) M ? M 2 M 1 ? ?

对应的变换前的点是 ?

? x0 ? ? x0 ? ?x? ? ? 则 M ? ? ? ? ? ,也就是 ? ?y? ? y0 ? ? y0 ? ?
/

,即 ?

,所

以,所求曲线的方程是 y ? x ? y 。
2

2、已知圆的极坐标方程为: ? 2

? 4

? ? ? 2 ? cos ? ? ? ?? 6 ? 0 4 ? ?



⑴将极坐标方程化为普通方程; ⑵若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

3、投掷四枚不同的金属硬币 A、B、C、D,假定 A、B 两枚正面向上的概率均为

1 2

,另两枚

C、D 为非均匀硬币,正面向上的概率均为 a(0<a<1) ,把这四枚硬币各投掷一次,设孜表 示正面向上的枚数. (1)若 A、B 出现一正一反与 C、D 出现两正的概率相等,求 a 的值; (2)求孜的分布列及数学期望(用 a 表示) ; (3)若出现 2 枚硬币正面向上的概率最大,试求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)由题意,得 2
? ? 1 ? ? 1 ?? 2 ? ?1 ? ? ? a .? a ? 2 ?? 2 ? ? 2 . 2

………………………………2 分

(Ⅱ)着=0,1,2,3,4.
p ( ? ? 0 ) ? C 2 (1 ?
0

1 2

) C 2 (1 ? a )

2

0

2

?

1 4

(1 ? a ) ;

2

………………………………………………3


p ( ? ? 1) ? C 2
1

1 2

(1 ?

1 2

) C 2 (1 ? a )

0

2

? C 2 (1 ?

0

1 2

) C a (1 ? a ) ?

2

2

1 2

(1 ? a ) ;

……………………4 分

p (? ? 2 ) ? C 2 ( ? 1 4
p (? ? 3) ? C 2 (
2

2

1 2

) C 2 (1 ? a ) ? C 2
2

2

0

2

1

1 2

(1 ?

1 2

) C 2 a (1 ? a ) ? C 2 (1 ?
1 0

1 2

) C2a

2

2

2

(1 ? 2 a ? 2 a ) ; ………………………………………………………………5
1 2 1 2 1 2 a , 2



) C 2 a (1 ? a ) ? C 2

2

1

1

(1 ?

)C 2 a

2

2

?

…………………………………6 分

p (? ? 4 ) ? C 2 (

2

1 2

) C2a

2

2

2

?

1 4

a .

2

…………………………………………………………7 分

得孜的分布列为: 孜 p
1 4

0
(1 ? a )
2

1
1 2 (1 ? a ) 1 4

2
(1 ? 2 a ? 2 a )
2

3
a 2 1

4
a 4
2

孜的数学期望为:
E? ? 1 ? 1 2 (1 ? a ) ? 2 ? 1 4 1 4 又 a 2 ? 1 4 1 4 且 p (? ? 2 ) ? p (? ? 3) ? 1 4 (1 ? 2 a ? 2 a ) ?
2

(1 ? 2 a ? 2 a ) ? 3 ? 1 2

2

a 2

? 4?

1 a 4

2

? 2 a ? 1,

……………………8 分 …………………9 分

(Ⅲ)?

0 ? a ? 1, 显 然

(1 ? a )

2

?

(1 ? a ) , 即 p ( ? ? 0 ) ? p ( ? ? 1) ;

a ,即 p (? ? 3) ? p (? ? 4 ).

2

…………………………………………………10 分
2

由 p ( ? ? 2 ) ? p ( ? ? 1) ?

(1 ? 2 a ? 2 a ) ?

1 2 a 2

(1 ? a ) ? ? 1 (2a 4

1 (2a 4

2

? 4 a ? 1)

≥0 .

? ?

2

? 1)

≥0 . ………………11 分

得 ?

? 2 a ? 4 a ? 1 ? 0, ?
2

解得

2 ? 2

2

? 2a ? 1 ? 0. ?
?2 ? ?
2 2

2

? a ?

2 . 2

即 a的 取 值 范 围 是 ?

,

2 ? 2

? . ……………………………………………………12 分 ?


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