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济宁市鱼台一中2013届高三上学期期中考试(数学理)


鱼台一中 2012-2013 学年高三第一次质量检测 数学(理)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,

i ? 3 ? 3i
B、

(

)

A、

/>1 3 ? i 4 12

1 3 ? i 4 12

C、

1 3 ? i 2 6

D、

1 3 ? i 2 6


2.在等差数列 {an } 中, 2(a1 ? a4 ? a7 ) ? 3(a9 ? a11 ) =24,则前 13 项之和等于( A.13 B.26 C.52 D.156 )
D.

3.若数列 ?an ? 中, an ? 43? 3n ,则 S n 取得最大值时 n 的值是(
A. 13 B. 14 4.下列各组函数是同一函数的是( C.

15

14 或 15



① f ( x) ?

?2 x3 与 g ( x) ? x ?2 x ; ② f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 ;
1 ; x0
) ④ f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1与 g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 。 C. ③④ D. ①④

③ f ( x) ? x0 与 g ( x ) ? A. ①②

B. ①③

5.下列各命题中,不正确的是( A.若 f ( x ) 是连续的奇函数,则 B.若 f ( x ) 是连续的偶函数,则

?

a

?a a

f ( x)dx ? 0 f ( x)dx ? 2? f ( x)dx
0 a

?

?a

C.若 f ( x ) 在 [a,b] 上连续且恒正,则 D.若 f ( x ) 在 [a,b] 上连续,且

?

b

a

f ( x)dx ? 0

?

b

a

f ( x)dx ? 0 ,则 f ( x) 在 [a,b] 上恒正

6.为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象 6

?

个长度单位 12 7.已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 ab ? 1 ,则函数 f ( x) ? a x 与函数 g ( x) ? ? logb x 的图象可能是

? 个长度单位 6 ? C.向右平移 个长度单位 12
A.向左平移

B.向右平移 D.向左平移

?

? 个长度单位 6

8.已知数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列,则 q= 1 1 A.1 或 ? B.1 C. ? D.-2 2 2 9.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定不成立的是 1 1 A. ? B. log2 a ? log2 b a b a?b C. a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2 D. b ? ab ? ?a 2 10.已知函数 f ( x) ? log2 | x ? 1| ,且关于 x 的方程 [ f ( x)] 2 ? af ( x) ? b ? 0 有 6 个不同的实数解, 若最小实数解为 ? 3 ,则 a ? b 的值为( A.-3 B.-2
2 2 3 c o? xs

) C.0 D.不能确定

11 . 函 数 f ( x)? s i n x? 2

, 函 数 g ( x) ? m cos(2 x ? ) ? 2m ? 3 (m ? 0) , 若 存 在 3 6

?

x1 , x2 ?[0, ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 m 的取值范围是 4 2 4 D. [ , ] 3 3 | x ?1| ?1 ?2 , 0 ? x ? 2, ? 12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 1 则函数 g ( x) = ? f ( x ? 2), x ? 2, ?2 xf ( x) ? 1 在 [ ?6, ?? ) 上的所有零点之和为 A.7 B.8 C.9 D.10 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共计 20 分.
A. (0,1] B. [1, 2]
? 13.若向量 a 与 b 的夹角是 60 , a ? 1 ,且 a ? b ? a 则 b ?

?

2 C. [ , 2] 3

?

?

?

?

? ?

?

?

?

1 ?2 14.计算: ( ) 3 ? (log 2 9) ? (log 3 4) ? ________. 8

?3x3 ? 9 x2 ? 12 x ? 4, x ? 1, ? 15.已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f (2m ? 1) ? f (m2 ? 2) ,则实数 m 的取值范围 ? x ? 1, x ? 1, ?




an ? 2 an ?1 ? ? ? ( ? 为常数) ,则称数列 {an } 为比 an ?1 an

16.在数列 {an } 中,如果对任意的 n ? N* ,都有

等差数列, ? 称为比公差.现给出以下命题:①若数列 {Fn } 满足 F1 ? 1 , F2 ? 1 , Fn ? Fn ?1 ? Fn ? 2 (n ? 3) ,则该数列不是比等差数列;②若数列 {an } 满足 an ? (n ? 1) ? 2n ?1 ,则数列 {an } 是比等差 数列, 且比公差 ? ? 2 ; ③等比数列一定是比等差数列, 等差数列不一定是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {an bn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是_________________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)

π 函数 f(x)=Asin(ω x- )+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间 6 π 的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α ∈(0,2π ),f( α )=2,求 α 的值. 2

18. (本小题满分 12 分)

?| x ? 1|? 2, ? 命题 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 (其中 a ? 0 ) ,命题 q : 实数 x 满足 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 0. ? (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
2 2

19. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的两边长分别为 AB ? 25 , AC ? 39 ,且 O 为 ?ABC 外 接圆的圆心. (注: 39 ? 3 ? 13 , 65 ? 5 ? 13 ) (1)若外接圆 O 的半径为 (2)求 AO ? BC 的值.

65 ,且角 B 为钝角,求 BC 边的长; 2

???? ??? ?

20. (本小题满分 12 分) 2012 年中秋、国庆长假期间,由于国家实行 6 座及以下小型车辆高 速公路免费政策,导致在长假期间高速公路出现拥堵现象。长假过后,据有关数据显示, 某高速收费路口从上午 6 点到中午 12 点,车辆通过该收费站的用时 y (分钟)与车辆到 达该收费站的时刻 t 之间的函数关系式可近似地用以下函数给出: ..

629 ? 1 3 3 2 ? ? 8 t ? 4 t ? 36t ? 4 , 6 ? t ? 9 ? ? t 288 ,9 ? t ? 10 y= f (t ) ? ? ? ? 6 3t ? ?3t 2 ? 66t ? 345,10 ? t ? 12 ? ?
求从上午 6 点到中午 12 点,通过该收费站用时最多的时刻。

21. (本小题满分 12 分) 已知数列

?an ? 的 相 邻 两 项 an , an?1 是 关 于 x 的 方 程 x 2 ? 2n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的 两 根 , 且 ?an ?和 ?bn ?的通项公式;

a1 ? 1 .
(1) 求数列 (2) 设

S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N * 都成立,

若存在, 求出 ? 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数), g n ( x) ? 1 ? x ?
x

x 2 x3 xn ? ? ? ? ( n ? N* ) . 2! 3! n!

(1)证明: f ( x) ? g1 ( x) ; (2)当 x ? 0 时,比较 f ( x) 与 g n ( x) 的大小,并说明理由; (3)证明: 1 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? (

2 2

2 3

2 4

2 n . ) ? g n (1) ? e ( n ? N* ) n ?1

参考答案:

1-5 BBBCD 6-10 DBACB 11-12 Cb 13. 2 14. 8 15.(-1,3) 16.①③ 17. (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期 T=π ,∴ω =2. π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x- )+1. 6 α π π 1 (2)f( )=2sin(α - )+1=2,即 sin(α - )= . 2 6 6 2 π π 11π ∵0<α <2π ,∴- <α - < , 6 6 6 π π π 5π ∴α - = ,或 α - = , 6 6 6 6 π 故 α = ,或 α =π . 3 18. (1)由 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .

?| x ? 1|? 2, ??1 ? x ? 3, ? 由?x?3 得? 解得 2 ? x ? 3 , ? x ? 2 ? 0, ? x ? ?3或x ? 2, ?
即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 (2,3) . (2)由(Ⅰ)知 p: a ? x ? 3a ,则 ?p : x ? a 或 x ? 3a ,

q: 2 ? x ? 3 ,则 ?q : x ? 2 或 x ? 3 ,
?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 ? p ? ? q ,且 ?q ? ?p , ?
?0 ? a ? 2, ∴? 解得 1 ? a ? 2 ,故实数 a 的取值范围是 (1, 2] . ?3a ? 3,

19. (1)由正弦定理有

AB AC ? ? 2R , sin C sin B 25 39 3 5 ? ? 65 ,∴ sin B ? , sin C ? , ∴ sin C sin B 5 13 12 4 且 B 为钝角,∴ cos C ? , cos B ? ? , 13 5 3 12 5 4 16 ? ? (? ) ? ∴ sin( B ? C ) ? sin B cos C ? sin C cos B ? ? , 5 13 13 5 65 BC ? 2 R ,∴ BC ? 2R sin A ? 65sin( B ? C ) ? 16 ; 又 sin A ???? ??? ??? ? ? ???? ???? ???? 2 (2)由已知 AO ? OC ? AC ,∴ ( AO ? OC )2 ? AC ,
即 | AO |2 ?2 AO ? OC ? | OC |2 ?| AC |2 ? 392

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

同理 AO ? OB ? AB ,∴ | AO |2 ?2 AO ? OB? | OB |2 ?| AB |2 ? 252 , 两式相减得 2 AO ? OC ? 2 AO ? OB ? (39 ? 25)(39 ? 25) ? 896 , 即 2 AO ? BC ? 896 ,∴ AO ? BC ? 448 . 20. 解:当 t ? [6,9) 时, f (t ) ? ? t ?
3

???? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

3 2 629 t ? 36t ? 4 4 3 2 3 3 得: f ?(t ) ? ? t ? t ? 36 ? ? (t ? 12)(t ? 8) 8 2 8

1 8

故: f (t ) 在 (6,8) 单调递增,在 (8,9) 单调递减, 因此, f (t ) max ? f (8) ?

75 ; 4

当 t ? [9,10] 时, f (t ) ? 即: t ? 24 ?[9,10] 。 所以, f (t ) max ? f (9) ?

t 288 t 288 t 288 , ? ?2 ? ? 8 。当且仅当 ? 6 3t 6 3t 6 3t

因此 f (t ) 在 [9,10] 单调递减,

73 。 6

当 t ? (10,12] 时, f (t ) ? ?3t 2 ? 66t ? 345 ,对称轴为 t ? 11 , 故 f (t )max ? f (11) ? 18 。

综上所述: f (t ) max

? 75 ? 4 ,6 ? t ? 9 ? ? 73 ? ? ,9 ? t ? 10 。 ?6 ?18,10 ? t ? 12 ? ?

故:通过收费站用时最多的时刻为上午 8 点。 21. (1) ∵

a n , a n?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根,

?an ? an?1 ? 2 n , ? b ? an an?1 . ∴? n

a ? an?1 ? 2 n ,得 由 n

1 1 ? ? a n?1 ? ? 2 n ?1 ? ?? a n ? ? 2 n ? 3 3 ? ?,

1 n? ? 2 1 a1 ? ? ?a n ? ? 2 ? 3 ? 是首项为 3 3 ,公比为 ? 1 的等比数列. 故数列 ?
1 1 1 n ?1 n a n ? ? 2 n ? ? ?? 1? a n ? 2 n ? ?? 1? 3 3 3 ∴ , 即 .

?

?

(2)

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? 1 2 n 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? ?? 1? ? ?? 1? ? ? ? ?? 1? 3

??

? ?

??


?? 1?n ? 1? 1 ? n ?1 ? ?2 ? 2 ? ? 3? 2 ?.
要使

bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N * 都成立,

?? 1?n ? 1? ? 0 ?? 1 2 n ?1 n ? ?2 n ?1 ? 2 ? ? 2 ? ?? 2 ? ? 1 3 2 * ? ? 即9 (*)对任意 n ?N 都成立.

?

?

1 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 3 当 n 为正奇数时, 由(*)式得 9 ,

?

?

?

?

1 n ?1 ? 1 2 ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 ? ? 2n ? 1 n ?1 3 3 即9 ,∵ 2 ? 1 ? 0 , ∴ 对任意正奇数 n 都成

?

??

?

?

?

?

?

1 n 2 ?1 立.当且仅当 n ? 1 时, 3 有最小值 1 .

?

?

∴ ? ? 1.

? 1 2 n ?1 2 ? 2 n ? 1 ? ?2 n ?1 ? 2 ? ? 0 3 ② 当 n 为正偶数时, 由(*)式得 9 ,

?

?

1 n ?1 2? n 2 ? 1 2n ?1 ? 2 ?1 ? 0 3 即9 ,

?

??

?

?

?

∵ 2 ?1 ? 0 ,
n

??


1 n ?1 2 ?1 6 对任意正偶数 n 都成立.

?

?

当 且 仅 当 n?2 时 ,

1 n ?1 3 2 ?1 6 有 最 小 值 2 .

?

?



3 ?? 2.
综上所述, 存在常数 ? ,使得

……12 分

bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N * 都成立, ? 的取值范围是 ?? ?, 1? .

22.(1)设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? e x ? x ? 1 ,所以 ?1? ( x) ? e x ? 1 当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 . 即函数 ?1 ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增,在 x ? 0 处取得唯一极小值,…2 分 因为 ?1 (0) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有 ?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 .即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 ,

所以 f ( x) ≥g1 ( x) (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? g n ( x) .用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x) ? g1 ( x) 。 ②假设当 n ? k ( k ? N* )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x) ? g k ( x) , 令 ? k ( x) ? f ( x) ? g k ( x) , ? k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ?1 ( x) ,

? 因为对任意的正实数 x , ? k ?1? ( x) ? f ? ? x ? ? g k ?1 ? x ? ? f ( x) ? g k ( x) ,
由归纳假设知, ? k ?1? ( x) ? f ( x) ? g k ( x) ? 0 . 即 ? k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,亦即 ? k ?1 ( x) ? ? k ?1 (0) , 因为 ? k ?1 (0) ? 0 ,所以 ? k ?1 ( x) ? 0 .从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? g k ?1 ( x) ? 0 . 即对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? g k ?1 ( x) .这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x ? 0 ,也有

f ( x) ? g k ?1 ( x) .由①、②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? g n ( x) .
(2)证明 1:先证对任意正整数 n , g n ?1? ? e . 由 (2) 当 x ? 0 时, 知, 对任意正整数 n , 都有 f ( x) ? g n ( x) . x ? 1 , g n ?1? ? f ?1? = e . 令 得 所 以 g n ?1? ? e . 再证对任意正整数 n ,

1 1 1 ?2? ?2? ?2? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? g n ?1? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? . 2! 3! n! ?2? ?3? ?4? ? n ?1 ?
要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ?
n

1

2

3

n

1 ? 2 ? ? ? 成立. n! ? n ?1 ?

n

即要证明对任意正整数 n ,不等式 n ! ? ?

? n ?1 ? ? (*)成立 ? 2 ?

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*) : 方法 1(数学归纳法) :

? 1?1 ? ①当 n ? 1 时, 1! ? ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ?
1

②假设当 n ? k ( k ? N* )时,不等式(*)成立,即 k ! ? ?

? k ?1 ? ? . ? 2 ?
k

? k ?1? ? k ?1? 则 ? k ? 1? ! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
k
k ?1

k ?1



?k ?2? k ?1 k ?1 k ?1 因为 ? 2 ? 1 ? ? ? ? k ? 2 ? ? ?1 ? 1 ? ? C0 ? C1 k? ? 1 ? ? ? ? C k ?1 ? k ?1 k ?1 1 ? ? ? ? ? ?2 k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1? ? k ?1? ? k ?1 ? ? ? 2 ? ?

? k ?1? 所以 ? k ? 1? ! ? 2 ? ? ? 2 ?

k ?1

?k ?2? ?? ? ? 2 ?

k ?1



这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立.由①、②知,对任意正整数 n ,不等式(*)都成 立. 综上可知,对任意正整数 n , 1 ? ?

?2? ?2? ?2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? g n ?1? ? e 成立 ?2? ?3? ?4? ? n ?1 ?

1

2

3

n


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