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2013年-2015年安徽省数学竞赛初赛试题


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2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00—11:30) 题号 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 作答; 3.书写不要超过装订线; 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? e ? x ,x ? R 的最小值 是 2. 设 x1 ? 1,xn ? . 2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔 4.不得使用计算器. 一 二 9 10 11 12 总分

xn?1 ? 1 ,n ? 2 .数列 {xn } 的通项公式是 2 xn?1 ? 4


xn ?

3. 设平面向量 ? , ? 满足 1 ? | ? |,| ? |,| ? ? ? | ? 3 ,则 ? ? ? 的取值范围是 . 4. 设 f ( x) 是定义域为 R 的具有周期 2? 的奇函数, 并且 f (3) ? f (4) ? 0 , 则 f ( x) 在 [0,10] 中至少有 个零点.

5. 设 a 为实数, 且关于 x 的方程 (a ? cos x)(a ? sin x) ? 1 有实根, 则 a 的取值范围 是 . 6. 给定定点 P(0,1) ,动点 Q 满足线段 PQ 的垂直平分线与抛物线 y ? x 2 相切,则
Q 的轨迹方程是


z ?i 1? z

7. 设 z ? x ? yi 为复数,其中 x, y 是实数,i 是虚数单位,其满足 z 的虚部和

的实部均非负,则满足条件的复平面上的点集 ( x, y ) 所构成区域的面积是 . 8. 设 n 是正整数.把男女乒乓球选手各 3n 人配成男双、女双、混双各 n 对,每
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位选手均不兼项,则配对方式总数是



二、解答题(第 9 题 20 分,第 10━12 题 22 分,共 86 分)
9.

设正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 .求证: a 2 ?

1 1 ? b2 ? ? 3 . a b

10. 在如图所示的多面体 ABCDEF 中,已知

AD, BE, CF 都与平面 ABC 垂直.设
AD ? a,BE ? b,CF ? c ,
AB ? AC ? BC ? 1 .求四面体 ABCE 与 BDEF

公共部分的体积(用 a, b, c 表示) .

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11. 设平面四边形 ABCD 的四边长分别为 4 个连续的正整数。 证明: 四边形 ABCD

的面积的最大值不是整数。

12. 已知 31 位学生参加了某次考试,考试共有 10 道题,每位学生解出了至少 6

道题.求证:存在两位学生,他们解出的题目中至少有 5 道相同.

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