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江苏省盐城市2013-2014学年高二数学下学期期终考试(四星)苏教版


2013/2014 学年度第二学期高二年级期终考试 数 学 试 题
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.命题“ ?x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是
2



. ▲ .

2.设复数 z 满足 iz ? ?3 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z 的实部为

3.某校高一年级有 400 人,高二年级有 600 人,高三年级有 500 人,现要采取分层抽样的方法从全校学 生中选出 100 名学生进行问卷调查,那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 4.“ x ? 2 ”是“ x ? 4 ? 0 ”的
2







条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既

不充分也不必要”中选择一个填空). 5.一个盒子中放有大小相同的 3 个白球和 1 个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不同色的概率为 ▲ . 6.根据如图所示的伪代码,可知输出的 S 的值为 ▲ . 7.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知中心在坐标原点的双曲线 C 经过点 (1, 0) , 的右焦点 F 与抛物线 y ? 8x 的焦点相同,则该双曲线的标准方程
2

i ?1 While i ? 8 i ?i?2 S ? 2i ? 3 End While Pr int S
第6题

且它







? y ? x, ? 8.已知点 P ? x , y ? 在不等式组 ? y ? ? x , 所表示的平面区域内,则 z ? 2 x ? y ?x ? 2 ?
大值为 9. 已知 2 ? ▲ .

的最

2 2 a a 3 3 4 4 , 3? ? 3 , 4? , ?., 类比这些等式, 若 6 ? ? 6 ( a, b ?2 ?4 15 15 8 8 3 3 b b
▲ .

均为正实数) ,则 a ? b = 10. (理科学生做)已知 ( x ? ▲ .

3

2 n ) 展开式中所有项的二项式系数和为 32,则其展开式中的常数项为 x

(文科学生做)已知平面向量 a , b 满足 | a |? 2 , | b |? 2 , | a ? 2b |? 5 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为 ▲ . 11. (理科学生做) 现从 8 名学生中选出 4 人去参加一项活动, 若甲、 乙两名同学不能同时入选, 则共有 种不同的选派方案.(用数字作答)


1

(文科学生做)设函数 f ( x) ?

e x ? ae? x 是奇函数,则实数 a 的值为 x2





12.设正实数 x, y, z 满足 x2 ? 3xy ? 9 y 2 ? z ? 0 ,则当

xy x 取得最大值时, 的值为 z y






13.若函数 f ( x) ? (mx ?1)e x 在 (0, ??) 上单调递增,则实数 m 的取值范围是 14.设点 P 为函数 f ( x ) ?



1 2 x ? 2ax 与 g ( x) ? 3a2 ln x ? 2b (a ? 0) 图象的公共点,以 P 为切点可作直线 2 l 与两曲线都相切,则实数 b 的最大值为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) (理科学生做)设某地区 O 型血的人数占总人口数的比为

1 ,现从中随机抽取 3 人. 2

(1)求 3 人中恰有 2 人为 O 型血的概率; (2)记 O 型血的人数为 ? ,求 ? 的概率分布与数学期望.

(文科学生做)设函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 8a2 (a ? 0) ,记不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A . (1)当 a ? 1 时,求集合 A ; (2)若 (?1,1) ? A ,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 2 (理科学生做)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? an ? 2nan ? 2 . (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)先猜想出 ?an ? 的一个通项公式,再用数学归纳法证明你的猜想.

(文科学生做)在 Rt ?ABC 中, ?BAC ? , AB ? AC ? 6 ,设 BD ? ? BC(? ? 0) . 2 uu u r uuu r (1)当 ? ? 2 时,求 AB ? AD 的值;
2

?

uuu r

uuu r

uuu r uuu r (2)若 AC ? AD ? 18 ,求 ? 的值.

17. (本小题满分 14 分) ( 理科学 生做 ) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ?
AC ? BC ? AA1 ? 2 .

?
2

, D, E 分别是 AB, BB1 的中点, 且

(1)求直线 BC1 与 A1D 所成角的大小; (2)求直线 A1 E 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

C1 A1

B1

E C A D 第 17 题 B

(文科学生做)设函数 f ( x) ?

2x ? a ( a ? 2) . x ?1

(1)用反证法证明:函数 f ( x ) 不可能为偶函数; (2)求证:函数 f ( x ) 在 (??, ?1) 上单调递减的充要条件是 a ? 2 .

18. (本小题满分 16 分) 如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆 PH , HA, HB, HC 构成,其底端三点 A, B, C 均匀地 固定在半径为 3m 的圆 O 上 (圆 O 在地面上) ,P, H , O 三点相异且共线,PO 与地面垂直. 现要求点 P 到地面的距离恰为 3 3m ,记用料总长为 L ? PH ? HA ? HB ? HC ,设 ?HAO ? ? . (1)试将 L 表示为 ? 的函数,并注明定义域; P (2)当 ? 的正弦值是多少时,用料最省?

H

C B θ A 第 18 题
3

O

19. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其中 b ? a ,过椭圆 E 2 a b 2 内一点 P (1,1) 的两条直线分别与椭圆交于点 A, C 和 B, D , 且满足 AP ? ? PC ,BP ? ? PD , 其中 ? 5 为正常数. 当点 C 恰为椭圆的右顶点时,对应的 ? ? . 7 (1)求椭圆 E 的离心率; y (2)求 a 与 b 的值; A (3)当 ? 变化时, k AB 是否为定值?若是,请求出此定值;
如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 E : 若不是,请说明理由. D B P O C 第 19 题 x

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? ax (a ? R) . (1)当 a ? ?9 时,求函数 f ( x) 的极大值;

(2)若函数 f ( x) 的图象与函数 ? ( x) ? ? x ln x 的图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围; (3)设 g ( x) ? | f ( x) | ,当 a ? 0 时,求函数 g ( x) 的单调减区间.

四星高中使用 高二数学试题参考答案 一、填空题:每小题 5 分,计 70 分. 1. ?x ? R, x ? x ? 2 ? 0 ;
2

2.1; 8.6; 12.3;

3.40; 9.41;

4.充分不必要;

5.

1 ; 2

6.21;

7. x ?
2

y2 ? 1; 3

10.(理) ? 80 , (文)

5 ; 16

11.(理)55, (文) ? 1 ;

13. ?1, ?? ? ;

3 14. e 3 4

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) (理)解: (1)由题意,随机抽取一人,是 O 型血的概率为

1 , 2

????2 分

1 3 ????6 分 ? 3 人中有 2 人为 O 型血的概率为 P ? C32 ( )3 ? . 2 8 (2) ? 的可能取值为 0,1,2,3, ????8 分 1 1 3 1 3 1 1 3 ( ) ? , P (? ? 2) ? C32 ( )3 ? , ? P(? ? 0) ? C30 ( )3 ? , P(? ? 1) ? C3 2 8 2 8 2 8
4

1 3 1 3 P(? ? 3) ? C3 ( ) ? , ????12 分 2 8 3 ????14 分 ? E (? ) ? . 2 2 (文) (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ? 8 ,解不等式 x ? 2 x ? 8 ? 0 ,得 ? 2 ? x ? 4 , ??5 分 ????6 分 ?集合A ? ?x | ?2 ? x ? 4? .
(2)? x ? 2ax ? 8a ? 0 ,? ( x ? 4a)(x ? 2a) ? 0 ,
2 2

又? a ? 0 ,? ?2a ? x ? 4a ,? A ? ? ?2a,4a? . 又

????9 分

? ?1,1? ? A ,? ?

?? 1 ? ?2a 1 ?1 ? ,解得 a ? ,? 实数 a 的取值范围是 ? , ?? ? . ??14 分 2 ?2 ? ?1 ? 4a

16. (本小题满分 14 分) 2 (理)解: (1)由条件 an?1 ? an ? 2nan ? 2 ,依次得 a2 ? a12 ? 2a1 ? 2 ? 5 ,
2 2 a3 ? a2 ? 4a2 ? 2 ? 7 , a4 ? a3 ? 6a3 ? 2 ? 9 , (2)由(1) ,猜想 an ? 2n ? 1 . 下用数学归纳法证明之: ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 ,猜想成立; ②假设当 n ? k 时,猜想成立,即有 ak ? 2k ? 1 , 2 k

????6 分 ????7 分 ????8 分 ????9 分

则当 n ? k ? 1 时,有 ak ?1 ? a ? 2kak ? 2 ? ak (ak ? 2k ) ? 2 ? (2k ? 1) ?1 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1, 即当 n ? k ? 1 时猜想也成立, ????13 分 综合①②知,数列 ?an ? 通项公式为 an ? 2n ? 1 . ????14 分 (文)解: (1)当 ? ? 2 时, BD ? 2BC , 所以 AD ? AB ? BD ? AB ? 2BC ? AB ? 2( AC ? AB) ? 2 AC ? AB , ????3 分

? AB ? AD ? AB ? (2 AC ? AB ) ? 2 AB ? AC ? AB ? 0 ? 36 ? ?36 .
? AC ? ? AC ? (1 ? ? ) AB ? ? AC ? (1 ? ? ) AC ? AB ? 36? , 1 ? 36 ? ? 18 ,解得 ? ? . 2

2

(2)因为 AC ? AD ? AC ? ( AB ? BD) ? AC ? ( AB ? ? BC ) ? AC ? [ AB ? ? AC ? AB ]

?

?

?

????7 分

?

2

????12 分 ????14 分

(说明:利用其它方法解决的,类似给分) 17. (本小题满分 14 分) (理)解:分别以 CA 、 CB 、 CC1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得: A(2, 0, 0) , B(0, 2, 0) , C (0,0,0) , A 1 (2,0, 2) , B 1 (0, 2, 2) , C1 (0,0, 2) , 又? D, E 分别是 AB, BB1 的中点,? D(1,1, 0) , E (0, 2,1) . (1)因为 BC1 ? (0, ?2,2) , A 1D ? (?1,1, ?2) , 所以 cos BC1 , A1 D ? ????3 分

BC1 ? A1 D BC1 ? A1 D

?

?6 3 ?? , 2 2 2? 6

????7 分

? 直线 BC1 与 A1 D 所成角的大小为

? . 6
?CA1 ? e ? 0 ? ? ?CD ? e ? 0
,得 ?

????8 分

(2)设平面 A1CD 的一个法向量为 e ? ( x, y, z) ,由 ?

?2 x ? 2 z ? 0 , ?x ? y ? 0
????10 分

? 可取 e ? (1, ?1, ?1) ,

5

又? A 1E, e ? 1E ? (?2,2, ?1) ,所以 cos A

A1E ? e ?3 3 , ? ?? 3 | A1E | . | e | 3 ?3
3 . 3

????13 分

? 直线 A1 E 与平面 A1CD 所成角的正弦值为
(文)解:(1)假设函数 f ( x ) 是偶函数, 则 f (?2) ? f (2) ,即

????14 分 ????2分 ????4分 ????6分 ????8分

?4 ? a 4 ? a ? ,解得 a ? 2 , ?1 3 这与 a ? 2 矛盾,所以函数 f ( x ) 不可能是偶函数. 2?a 2x ? a (2)因为 f ( x ) ? ,所以 f ?( x) ? . ( x ? 1) 2 x ?1 2?a ? 0, ①充分性:当 a ? 2 时, f ?( x) ? ( x ? 1) 2 所以函数 f ( x ) 在 (??, ?1) 单调递减; ②必要性:当函数 f ( x ) 在 (??, ?1) 单调递减时, 2?a ? 0 ,即 a ? 2 ,又 a ? 2 ,所以 a ? 2 . 有 f ?( x) ? ( x ? 1) 2

????10分

????13分

综合①②知,原命题成立. ????14分 (说明:用函数单调性的定义证明的,类似给分;用反比例函数图象说理的,适当扣分) 18. (本小题满分 16 分) 解: (1)因 PO 与地面垂直,且 AO ? BO ? CO ,则 ?AOH , ?BOH , ?COH 是 全等的直角三角形,又圆 O 的半径为3, 所以 OH ? 3 tan ? , AH ? BH ? CH ?

3 , cos ?

????3分

又 PH ? 3 3 ? 3tan ? ,所以 L ? 3 3 ? 3 tan ? ? 若点 P, H 重合,则 tan ? ? 3 ,即 ? ? 从而 L ? 3 3 ? 3 tan ? ?

?
3

9 , cos ?

????6分

,所以 ? ? (0,

?
3

),

9 ? , ? ? (0, ) . ????7分 cos ? 3 9 3 ? sin ? ? 3 3 ? 3? (2)由(1)知 L ? 3 3 ? 3 tan ? ? , cos ? cos ? 3sin ? ? 1 1 所以 L? ? 3 ? ,当 L? ? 0 时, sin ? ? , ????11分 2 cos ? 3 1 ? ? 令 sin ? 0 ? , ? 0 ? (0, ) ,当 ? ? (? 0 , ) 时, L? ? 0 ;当 ? ? (0,?0 ) 时, L? ? 0 ; 3 3 3
所以函数 L 在 (0,?0 ) 上单调递减,在 (? 0 , 所以当 ? ? ?0 ,即 sin ? ? 19. (本小题满分 16 分)

? ) 上单调递增, 3

????15分 ????16分

1 时,L 有最小值,此时用料最省. 3

3 3 1 3 a ,所以 b 2 ? a 2 ,得 a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? c 2 , 4 4 4 2 c 1 所以离心率 e ? ? . ???4 分 a 2 5 12 ? 5a 12 , ), (2)因为 C ( a, 0) , ? ? ,所以由 AP ? ? PC ,得 A( ???7 分 7 7 7
解: (1)因为 b ?
6

(12 ? 5a) 2 122 ? ? 1 ,解得 a ? 2 , 将它代入到椭圆方程中,得 3 49a 2 49 ? a 2 4 所以 a ? 2, b ? 3 . (3)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,

???10 分

1 ? x1 ? x3 ? ?1 ? ? ? 由 AP ? ? PC ,得 ? , ???12 分 ? y ? 1 ? y1 ? 1 3 ? ? ? 2 2 x2 y2 x2 y2 x y 又椭圆的方程为 ? ? 1 ,所以由 1 ? 1 ? 1, 3 ? 3 ? 1 , 4 3 4 3 4 3 1 ? x 1 ? y 1 1 ? 1) 2 ? 4( ? 1) 2 ? 12 得 3x12 ? 4 y12 ? 12 ①, 且 3( ②, ? ? 1 2 2 2 由②得, 2 [3(1 ? x1 ) ? 4(1 ? y1 ) ] ? [3(1 ? x1 ) ? 4(1 ? y1 )] ? 5 , ? ? 1 2 2 2 即 2 [(3 x1 ? 4 y1 ) ? 7 ? 2(3 x1 ? 4 y1 )] ? [7 ? (3 x1 ? 4 y1 )] ? 5 , ? ? 2 19 ? 14? ? 5? 结合①,得 3x1 ? 4 y1 ? , ???14 分 2? ? 2 19 ? 14? ? 5? 2 同理,有 3x2 ? 4 y2 ? ,所以 3x1 ? 4 y1 ? 3x2 ? 4 y2 , 2? ? 2 3 y ? y2 3 从而 1 ???16 分 ? ? ,即 k AB ? ? 为定值. 4 x1 ? x2 4
法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) , 由 AP ? ? PC ,得 ?

? x1 ? ? x3 ? 1 ? ? ? x2 ? ? x4 ? 1 ? ? ,同理 ? ,??12 分 ? y2 ? ? y4 ? 1 ? ? ? y1 ? ? y3 ? 1 ? ?

2 2 ? ?3 x1 ? 4 y1 ? 12 A , B 将 坐标代入椭圆方程得 ? 2 ,两式相减得 2 ? ?3 x2 ? 4 y2 ? 12 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,

即 3( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )k AB ? 0 , ??14 分 同理, 3( x3 ? x4 ) ? 4( y3 ? y4 )kCD ? 0 , 而 k AB ? kCD ,所以 3( x3 ? x4 ) ? 4( y3 ? y4 )k AB ? 0 , 所以 3? ( x3 ? x4 ) ? 4? ( y3 ? y4 )k AB ? 0 , 所以 3( x1 ? ? x3 ? x2 ? ? x4 ) ? 4( y1 ? ? y3 ? y2 ? ? y4 )k AB ? 0 , 即 6(1 ? ? ) ? 8(1 ? ? )k ? 0 ,所以 k AB ? ?

3 为定值. 4

???16 分

(说明:只给对结论但未正确证明的,给 2 分)

20. (本小题满分 16 分) 解: (1)当 a ? ?9 时,由 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ? 1) =0,得 x ? 3 或 x ? ?1 , ???2分
7

列表如下:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?1)
+ 递增

-1 0 极大

(?1,3)
- 递减

3 0 极小

(3, ??)
+ 递增 ???4分
2

所以当 x ? ?1 时,函数 f ( x ) 取得极大值为5. (2)由 f ( x) ? ? x ln x ,得 x ? 3x ? ax ? ? x ln x ,即 a ? ? x ? 3x ? ln x , 1 ?2( x ? 1)(2 x ? 1) 令 h( x) ? ? x2 ? 3x ? ln x ,则 h?( x) ? ?2 x ? 3 ? ? , x x 列表,得
3 2

???6 分

x
f ?( x ) f ( x)

1 (0, ) 2
- 递减

1 2
0 极小值

1 ( ,1) 2
+ 递增

1 0 极大值 2

(1, ??)
- 递减 ???8 分

5 ? ln 2 4

由题意知,方程 a ? h( x) 有三个不同的根,故 a 的取值范围是 ( ? ln 2, 2) . (3)因为 f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? a ? 3? x ? 1? ? a ? 3 ,
2

5 4

???10 分

所以当 a ? 3 时, f ( x) 在 R 上单调递增; 当 0 ? a ? 3 时, f ?( x) ? 0 的两根为 1 ? 1 ?
a a a ,且 0 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? , 3 3 3

a a a a 所 以此 时 f ( x) 在 (??,1 ? 1 ? ) 上 递增 ,在 (1 ? 1 ? ,1 ? 1 ? ) 上 递减 ,在 (1 ? 1 ? , ??) 上 递 3 3 3 3 增; ???12 分 2 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,或 x ? 3x ? a ? 0 (*),

当a ?

3 9 9 9 ?a , 时,方程(*)无实根或有相等实根;当 0 ? a ? 时,方程(*)有两根 ? 2 4 4 4 ???13 分

从而 ①当 a ? 3 时,函数 g ( x) 的单调减区间为 (??, 0) ;
a a 9 ②当 ≤a ? 3 时,函数 g ( x) 的单调减区间为 (??, 0) , (1 ? 1 ? ,1 ? 1 ? ) ; 3 3 4

???14 分 ???15 分

③ 当 0?a?

a 3 9 9 ? a) , 时 , 函 数 g ( x) 的 单 调 减 区 间 为 (??, 0) , (1 ? 1 ? , ? 3 2 4 4 a 3 9 (1 ? 1 ? , ? ? a) . ???16 分 3 2 4

8


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