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北京市海淀区2014-2015学年高二第一学期期末练习数学试题解析版


北京市海淀区 2014-2015 学年高二第一学期期末练习数学文 海淀区高二年级第一学期期末练习 数学(文科) 2015.1 学校班级姓名成绩 本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.直线 y ? x ? 2 的倾斜角是()

π A

. 6 π B. 4 2π C. 3 3π D. 4
答案: B

π 解析由题可知直线斜率为 1,故倾斜角为 4
x2 y2 1 ? ?1 m 3 x 2.焦点在 轴上的椭圆 的离心率是 2 ,则实数 m 的值是()
A. 4

9 B. 4
C. 1

3 D. 4
答案: A

e?
解析:因为离心率

c m ?3 1 ? ? a 2 故 m=4 m

3.一个空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为()

高二数学试题文科第 1 页共 12 页

2 主(正)视图 2 左(侧)视图

2 俯视图

A. 8

8 B. 3 16 C. 3
D. 6 答案: B

1 8 ? 2? 2? 2 ? 3 解析:易知此几何体为底边长为 2,高为 2 的正四棱锥,其体积为 3
2 2 l : 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ,则直线 l 被圆 O 所截的弦长为() 4.已知圆 O : x ? y ? 1 ,直线

6 A. 5
答案: C

B. 1

8 C. 5

D.2

解析:

?3
圆心到直线的距离为 3 ? 4
2 2

?

3 8 5 圆的半径为 1,故弦长为 5

5.命题“ ?k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象经过第一象限”的否定是() A. ? k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象不经过第一象限 B. ? k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象经过第一象限 C. ? k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象不经过第一象限 D. ? k ? 0 ,使得直线 y ? kx ? 2 的图象不经过第一象限
高二数学试题文科第 2 页共 12 页

答案: C 解析: 命题的否定要注意以下两点①全称量词和存在量词要交换②保留条件不变, 结论变为 相反结论。故选 B。注意命题的否定与否命题的区别。 6.已知等差数列 {an } ,则“ a2 ? a1 ”是“数列 {an } 为单调递增数列”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案: C

a ? an ? d ? 0 即等差数 解析:必要性显然;若 a2 ? a1 ,则等差数列 {an } 的公差 d ? 0 故 n?1
列 {an } 为单调递增数列,充分性得证;故选 C

7.已知正四面体 A ? BCD 的棱长为 2 ,点 E 是 AD 的中点,则下面四个命题中正确的是() A. B. C. D.

? F ? BC , EF ? AD

? F ? BC , EF ? AC
? F ? BC , EF ? 3

? F ? BC , EF∥AC

答案: A 解析:当 F 为 BC 中点时,满足 EF ? AD

A

E D C

B F

高二数学试题文科第 3 页共 12 页

8.已知曲线

W: x 2 ? y 2 ? | y |? 1 ,则曲线 W 上的点到原点距离的最小值是()

1 A. 2
2 B. 2
C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 答案:C 解析:由题
2 W: x2 ? y 2 ? | y |? 1 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2 y ? y 2 化简得 x ? 1 ? 2 y

?1 ? 2 y, y ? 0 x2 ? ? ?1 ? 2 y, y ? 0 如图示: 即

? x, y ? 故 OP 考虑到对称性,设曲线 W 上的点 P
9.已知直线 答案: ?1 解析:由题 1 ? a ? 0 解得 a ? ?1
2

? x2 ? y 2 ?

?1 ? 2 y ? ? y 2

? 1? y ?

1 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.

x ? ay ? 1 ? 0 与直线 y ? ax 平行,则实数 a ? ___.

x2 y2 ? ?1 10.双曲线 16 9 的渐近线方程为________________.

3 y?? x 4 答案:

y??
解析:双曲线渐近线方程是

b x a

高二数学试题文科第 4 页共 12 页

x2 y2 ? ?1 11.椭圆 25 16 上一点 P 到一个焦点的距离为 4,则 P 到另一个焦点的距离是 6
答案:6 解析:由题 2a ? 10 根据椭圆定义可知 P 到另一个焦点的距离是 6

x2 y2 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b 12.已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若等边 △F1F2 P 的一个顶点

P 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的离心率为______.
1 答案: 2

解析:如图:

e?
可知

c 1 ? a 2
? ? ? ,且 ?
? ? l , 在 l 上 有 两 点 A, B, 线 段 AC ? ? , 线 段 BD ? ? ,
BD ? 12, 则线段 CD 的长为 13.

13. 已 知 平 面

AC ? l , BD ? l ,
α C

AB ? 4, AC ? 3,

l A β D B

答案:13 解析:因为 DC ? DB ? BA ? AC
高二数学试题文科第 5 页共 12 页



DC ? DB ? BA ? AC

2

?

?

2

? DB ? BA ? AC ? 169

2

2

2



DC ? 13

2 14.已知点 A( ?1,0) ,抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x, y ) 在抛物线上,且 | AP |? 2 | PF | ,



| OP |? ___ .

答案: 5

解析:

? PM 2 ? 2 ∴直线 P A 倾斜角 4 可知 P 坐标 如图,由抛物线形性质可知 PF ? PM 故 PA

?1, 2? 故 OP ?

5

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题共 10 分) 已知点

A(0,2) ,圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 .

(I)求经过点 A 且与圆 O 相切的直线方程; (II)若点 P 是圆 O 上的动点,求 OA ? AP 的取值范围.

答案:(I)所求的直线方程为 y ? 3x ? 2 或 y ? ? 3x ? 2 .(II) OA ? AP ?[?6, ?2] . 解析: (I)由题意知道,所求直线的斜率存在, 设切线方程为 y ? kx ? 2 ,即 kx ? y ? 2 ? 0 ,-------------1 分

所以圆心 O 到直线的距离为

d?

2 k 2 ? 1 ,-------------3 分

高二数学试题文科第 6 页共 12 页

d?
所以

2 k2 ?1

?1

,解得 k ? ? 3 ,-------------4 分

所求的直线方程为 y ? 3x ? 2 或 y ? ? 3x ? 2 .-------------5 分 (II)设点 P ( x, y ) , 所以 OA ? (0,2) , AP ? ( x, y ? 2) ,-------------6 分 所以 OA ? AP ? 2( y ? 2) .-------------7 分
2 2 又因为 x ? y =1 ,所以 ?1 ? y ? 1 ,-------------9 分

所以 OA ? AP ?[?6, ?2] . 16.(本小题共 12 分) 已知直线

l : y ? x ? t 与椭圆 C : x2 ? 2 y 2 ? 2 交于 A, B 两点.

(I)求椭圆 C 的长轴长和焦点坐标;

|AB |?
(II)若

4 2 3 ,求 t 的值.

答案:(I)长轴为 2a ? 2 2, 焦点坐标分别为 F1 ( ?1,0), F2 (1,0) (II) t ? ? 1
2 2 解析: (I)因为 x ? 2 y ? 2 ,

x2 ? y2 ? 1 2 所以 ,-------------1 分
所以 a ? 2, b ? 1 ,所以 c ? 1 ,-------------3 分 所以长轴为 2a ? 2 2, 焦点坐标分别为 F1 ( ?1,0), F2 (1,0) .-------------4 分 (II)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 ? 2 2 y ? x?t 因为 ? ,消元化简得 3x ? 4tx +2t ? 2 ? 0 ,-------------6 分

高二数学试题文科第 7 页共 12 页

? ? ? ? 16t 2 ? 12(2t 2 ? 2)=24 ? 8t 2 ? 0 ? ?4t ? ? x1 +x2 ? 3 ? 2 ? 2t ? 2 ? x1 x2 ? 3 所以 ? -------------8 分

所以

|AB|= 1 ? 12 | x1 ? x2 |? 4 2 3 ,

2 24 ? 8t 2 3 ,-------------10 分

又因为

|AB|=

2 4 2 24 ? 8t 2 = 3 ,解得 t ? ? 1 .-------------12 分 所以 3
17.(本小题共 12 分) 如图所示的几何体中,直线 AF ? 平面 ABCD ,且 A B CD 为正方形, ADEF 为梯形,

AF ? 2 DE =2a . DE∥AF ,又 AB ? 1,
F

E

A B C

D

(I)求证:直线

C E∥ 平面 AB F ; BD ? 平面 AC F

(II)求证:直线

(Ⅲ)若直线 AE ? CF ,求 a 的值.

答案:(I)略(II)略(Ⅲ) 解析:

a?

2 2

(I)因为 ABCD 为正方形,所以 AB 又 DE∥AF ,且 AB

CD .-------------1 分

AF ? A, CD

DE ? D .

所以平面 ABF∥平面 DCE .-------------3 分
高二数学试题文科第 8 页共 12 页

而 CE ? 平面 EDC , 所以 CE ∥平面 ABF .-------------4 分 (II)因为 ABCD 为正方形,所以 AC ? BD -------------5 分 因为直线 AF ? 平面 ABCD , 所以 AF ? BD ,-------------6 分 因为 AF

AC ? A ,

所以直线 BD ? 平面 ACF .-------------8 分 (Ⅲ)连接 FD . 因为直线 AF ? 平面 ABCD , 所以 AF ? CD , 又 CD ? AD , AD

AF ? A

所以 CD ? 平面 ADEF ,-------------9 分 所以 CD ? AE . 又 AE ? CF , FC

CD ? C ,

所以 AE ? 平面 FCD , 所以 AE ? FD .-------------11 分

所以

?EAD ? ?FDA ?

π 2,

所以

tan ?EAD ?

a 1 1 ? ? 1 tan ?EAD 2a

解得

a?

2 2 .-------------12 分

18.(本小题共 10 分)

x2 y2 ? ?1 A(0,3) 的直线与椭圆交于 P, Q 两点. 3 已知椭圆 4 ,经过点
(I)若

| PO |?| PA | ,求点 P 的坐标;
S△OAP =S△OPQ
,求直线

(II)若

PQ 的方程.

高二数学试题文科第 9 页共 12 页

3 3 3 3 P(1, ) P(?1, ) y ? x ? 3, y ? ? x?3 PQ 2 .(II)直线 2 2 或 2 答案:(I) 的方程为 .
解析: (I)设点 P( x1 , y1 ) ,由题意 |PO |?| PA | ,

所以点 P 在 OA 的中垂线上,而 OA 的中垂线为 把其代入椭圆方程,求得 x1 ? ?1 .

y?

3 3 y1 ? 2 ,所以有 2 .-------------2 分

3 3 P(1, ) P(?1, ) 2 .-------------4 分 2 或 所以
(II)设 Q ( x2 , y2 ) . 根据题意,直线 PQ 的斜率存在, 设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? 3 ,

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 3 所以 ? .
2 2 消元得到 (3 ? 4k ) x ? 24kx ? 24 ? 0 ,

? ?? ? (24k ) 2 ? 96(3 ? 4k 2 ) ? 0 ? ?24k ? ? x1 +x2 ? 3 ? 4k 2 ? 24 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? 所以 -------------6 分
因为 所以

S△OAP =S△OPQ

, ,

S△OAQ =2S△OPQ

1 1 | OA || x1 | =2 ? | OA || x2 | 2 即2 -------------7 分
所以有 | x1 | =2 | x2 | ,-------------8 分

因为

x1 x2 ?

24 ?0 3 ? 4k 2 ,

所以 x1,x2 同号,所以 x1 ? 2 x2 .

高二数学试题文科第 10 页共 12 页

? ? x1 ? 2 x2 ? ?24k ? ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ? 24 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ,-------------9 分 所以 ?

解方程组得到

k??

3 2 ,经检验,此时 ? ? 0 , y? 3 3 x ? 3, y ? ? x ? 3 2 2 或 .-------------10 分

所以直线 PQ 的方程为 法二:设 Q ( x2 , y2 ) , 因为

S△OAP =S△OPQ

,所以 |AP |?| PQ | .-------------6 分

即点 P 为线段 OQ 的中点, 所以 x2 =2 x1 , y2 ? 2 y1 ? 3 .-------------7 分 把点 P, Q 的坐标代入椭圆方程得到

? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 3 ? 2 2 ? (2 x1 ) ? (2 y1 ? 3) ? 1 ? 3 ? 4 -------------8 分
? x1 ? 1 ? x1 ? ?1 ? ? ? ? 3 3 y1 ? y1 ? ? ? 2 或者 ? 2 , 解方程组得到 ?

3 3 P(1, ) P(?1, ) 2 .-------------9 分 2 ,或者 即 k? 3 3 k?? 2, 2 或者 3 3 x ? 3, y ? ? x?3 2 2 .-------------10 分

所以直线 PQ 的斜率为

所以直线 PQ 的方程为

y?

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说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.

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