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2013版高三(理)一轮复习 3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) π 1.若函数 f(x)=2sin(ω x+φ),x∈R(其中 ω >0,|φ|< )的最小正周期是 π ,且 f(0) 2 = 3,则( ) 1 π (B)ω = ,φ= 2 3 π (D)ω =2,φ= 3 )

1 π (A)ω = ,φ= 2 6 π (C)ω =2,φ= 6

2.(2012·衡水模拟)下列函数中,图象的一部分如图所示的是(

π (A) y=sin(x+ ) 6 π (C)y=cos(4x- ) 3

π (B)y=sin(2x- ) 6 π (D)y=cos(2x- ) 6

π 2 3.(预测题)已知函数 f(x)=1+cos2x-2sin (x- ),其中 x∈R,则下列结论中正确的是 6 ( )

(A)f(x)是最小正周期为 π 的偶函数 (B)f(x)的一条对称轴是 x= (C)f(x)的最大值为 2 π (D)将函数 y= 3sin2x 的图象左移 个单位得到函数 f(x)的图象 6 π π 4.(易错题)已知简谐运动 f(x)=2sin( x+φ)(|φ|< )的图象经过点(0,1), 则该简谐运动 3 2 的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( π (A)T=6,φ= 6 π (C)T=6π ,φ= 6 ) π 3

π (B)T=6,φ= 3 π (D)T=6π ,φ= 3

π 5.(2012·揭阳模拟)要得到函数 y=sin(2x+ )的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象 4 ( )

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π (A)向左平移 个单位 4 π (B)向右平移 个单位 4 π (C)向右平移 个单位 8 π (D)向左平移 个单位 8 6.(2012·重庆模拟)若函数 y=Asin(ω x+φ)+m(A>0,ω >0)的最大值为 4,最小值为 0, π π 最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则它的解析式是( 2 3 π (A)y=4sin(4x+ ) 6 π (B)y=2sin(2x+ )+2 3 π (C)y=2sin(4x+ )+2 3 π (D)y=2sin(4x+ )+2 6 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 4π 7.(2012·东莞模拟)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点( ,0)中心对称,那么|φ| 3 的最小值是 . )

π π 8.函数 f(x)=2sin(ω x+ )(x∈R), f(α )=-2, f(β )=0, 且|α -β |的最小值等于 , 3 2 则正数 ω 的值为 9.给出下列命题: π 5π ①函数 f(x)=4cos(2x+ )的一个对称中心为(- ,0); 3 12 ②已知函数 f(x)=min{sinx,cosx},则 f(x)的值域为[-1, ③若 α 、β 均为第一象限角,且 α >β ,则 sinα >sinβ , 其中所有真命题的序号是 . 2 ]; 2 .

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2012·韶关模拟)已知函数 f(x)=2 3cos x-2sinxcosx- 3, (1)求函数的最小正周期及最小值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 11.已知弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化
2

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π 规律为 s=4sin(2t+ ),t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列 3 问题. (1)小球在开始振动(t=0)时,离开平衡位置的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少? (3)经过多长时间,小球往复振动一次? 【探究创新】 π (16 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图 2 所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3

答案解析 2π 1.【解析】选 D.由 T= =π,∴ω=2,由 f(0)= 3 ? 2sinφ= 3, ω ∴sinφ= 3 . 2

π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 3 1 π π 2.【解析】选 D.由图象知 A=1, T= ,所以 T=π,所以ω=2,排除 A、C;当 x= 时, 4 4 12 y=1,故选 D. 3. 【解题指南】先将 f(x)的解析式化为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后判断可知. π 【解析】选 D.∵f(x)=cos2x+cos2(x- ) 6

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π π =cos2x+cos2xcos +sin2xsin 3 3 3 3 π = cos2x+ sin2x= 3sin(2x+ ) 2 2 3 π = 3sin2(x+ ). 6 ∴D 正确. 2π 1 π 4.【解析】选 A.最小正周期为 T= =6;由 2sinφ=1,得 sinφ= ,因为|φ|< ,所 π 2 2 3 π 以φ= . 6 π π 5. 【解析】选 D.y=sin(2x+ )=sin[2(x+ )], 4 8 π 故只需将 y=sin2x 的图象向左平移 个单位即可. 8 6.【解题指南】先根据已知条件构造 A、m 的方程组,求得 A、m,再求得ω、φ,得到解析 式.
?A+m=4 ? 【解析】选 D.∵? ? ?-A+m=0 ?A=2 ? ,∴? ? ?m=2

.

π 2π ∵T= ,∴ω= =4.∴y=2sin(4x+φ)+2. 2 T π π ∵直线 x= 是其对称轴,∴sin(4〓 +φ)=〒1, 3 3 4π π 5π ∴ +φ= +kπ(k∈Z),∴φ=kπ- (k∈Z). 3 2 6 π 当 k=1 时,φ= ,故选 D. 6 7.【解析】设 y=3cos(2x+φ)的对称中心为(x0,0), π 则 2x0+φ= +kπ,k∈Z, 2 4π 又 x0= 为上式一个解, 3 4π π 13 ∴2· +φ= +kπ,∴φ=- π+kπ,k∈Z, 3 2 6 π ∴当 k=2 时,|φ|min= . 6 π 答案: 6 π T π 8.【解析】由 f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于 可知 = ,T=2π.∴ 2 4 2

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ω=1. 答案:1 9.【解题指南】根据三角函数的性质,逐一进行判断,要注意每个题目所给出的条件. 5 π 5 π π 5 【解析】对于①,令 x=- π,则 2x+ =- π+ =- ,有 f(- π)=0,因此(- 12 3 6 3 2 12 5 2 π, 0)为 f(x)的一个对称中心, ①为真命题; 对于②, 结合图象知 f(x)的值域为[-1, ], 12 2 1 ②为真命题;对于③, 令α=390°,β=60°,有 390°>60°, sin390°= <sin60° 但 2 = 3 ,故③为假命题,所以真命题为①②. 2

答案:①② 10.【解析】(1)∵f(x)=2 3cos x-2sinxcosx- 3 π = 3(cos2x+1)-sin2x- 3=2cos(2x+ ), 6 最小正周期为π. π 当 2x+ =π+2kπ(k∈Z), 6 5 即 x= π+kπ(k∈Z)时函数有最小值为-2. 12 π (2)2kπ-π≤2x+ ≤2kπ,k∈Z, 6 7π π 7π π ∴kπ- ≤x≤kπ- ,k∈Z,函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ- ],k∈ 12 12 12 12 Z. 11. 【解析】列表. t π 2t+ 3 π sin(2t+ ) 3 s 描点作图如图所示. π 12 π 2 1 4 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -4 5π 6 2π 0 0 13π 12 5 π 2 1 4
2

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π π (1)将 t=0 代入 s=4sin(2t+ ),得 s=4sin =2 3, 3 3 所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点的位移分别是 4 cm 和-4 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 【探究创新】 【解题指南】由图象直接得到 A,再根据周期求出ω,由定点求出φ,得到函数解析式.通 过代入经变换求出最值. 【解析】(1)由图象知 A=2,T=8, 2π π ∵T= =8,∴ω= . ω 4 π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(- +φ)=0. 4 π ∴φ=kπ+ ,k∈Z, 4 π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 4 π π ∴f(x)=2sin( x+ ). 4 4 (2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π π =2 2sin( x+ )=2 2cos x. 4 2 4 2 3π π π ∵x∈[-6,- ],∴- ≤ x≤- . 3 2 4 6 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. 4 【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧 (1)给出图象求 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的难点在于ω,φ的确定,本质为待定系数

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法,基本方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式; ②图象变换法, 即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到, 通常可由平衡点或最值 点确定周期 T,进而确定ω. (2)由图象求性质的时候,首先确定解析式,再根据解析式求其性质,要紧扣基本三角函数 的性质,例如单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点. π 【变式备选】已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图 2 所示.

(1)试确定 f(x)的解析式; a 1 2π (2)若 f( )= ,求 cos( -a)的值. 2π 2 3 T 5 1 1 【解析】(1)由题干图可知 A=2, = - = , 4 6 3 2 2π ∴T=2,ω= =π. T 1 π 将点 P( ,2)代入 y=2sin(πx+φ),得 2sin( +φ)=2. 3 3 π ∴φ=2kπ+ (k∈Z), 6 π π 又∵|φ|< ,∴φ= . 2 6 π 故所求解析式为 f(x)=2sin(πx+ )(x∈R). 6 a 1 a π 1 (2)∵f( )= ,∴2sin( + )= , 2π 2 2 6 2 a π 1 即 sin( + )= . 2 6 4 2π π a ∴cos( -a)=cos[π-2( + )] 3 6 2 π a a 7 2 π =-cos2( + )=2sin ( + )-1=- . 6 2 6 2 8

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