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山东省济宁市微山一中2012-2013学年高二5月质检 数学文


微山一中 2012-2013 学年高二 5 月质量检测 数学(文)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知

a ? 2i ? b ? i ( a,b ?R,i 为虚数单位)则 a ? b ? ( i A.1 B.2 C. ?1

) D.

?3 )

2.已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a 2 ? b2 ? c2 ≥3”的否命题是(
2 2 2 A.若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 C.若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c ≥3 2 2 2 B.若 a+b+c=3,则 a ? b ? c <3

2 2 2 D.若 a ? b ? c ≥3,则 a+b+c=3

3. ab ? 4 ” 是“直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 bx ? 2 y ? 2 ? 0 “ 平行” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? ? 2 ? 3? ? 1 ? ? ( ? 为参数)与 y 坐标轴的交点是( ) 4. 曲线 ? 1? ? ? y? 1? ? ? 2) 1) 5) A. (0, B. (0, C. (0, ? 4) D. (0, 5 5 9 ? x ? 1 ? 2t 5.若直线的参数方程为 ? ( t 为参数),则直线的斜率为( ) ? y ? 2 ? 3t 2 3 2 3 A. B. ? C. D. ? 3 2 3 2 ? x ? 2 cos? 6. 直线:3x-4y-9=0 与圆: ? ( ? 为参数)的位置关系是( ) ? y ? 2 sin ?
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D.相交且过圆心 a 0.2 7.设 a>1,则 log0.2a , 0.2 , a 的大小关系是( ) a 0.2 a 0.2 A.0.2 <log0.2a<a B.log0.2a<0.2 <a 0.2 a a 0.2 C.log0.2a<a <0.2 D.0.2 <a <log0.2a x 2 8.方程 2 -x =0 的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 x 9.函数 f(x)=e - 的零点所在的区间是( )

x

? 1? ?1 ? A.?0, ? B.? ,1? 2? ? ?2 ? ? 3? ?3 ? C.?1, ? D.? ,2? ? 2? ?2 ? 10.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程是(
第 1 页 1 10 页 共

)

A.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0
25 16

B.2x+y-1=0 D.2x+y-5=0

???? ???? ? ? 2 2 ???? ? 11.已知动点 P ( x, y ) 在椭圆 x ? y ? 1 上,若 A 点坐标为 (3,0) , | AM |? 1 ,且 PM ? AM ? 0 ,

???? ? 则 | PM | 的最小值是(
A. 2 12.函数 f ( x) ?

) B. 3 C. 2 D. 3 )

a?b?c a 3 b 2 则 的最小值为 ( x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上单调递增, b-a 3 2 A.1 B.3 C.4 D.9 二、填空题(本大题共 4 小题.每小题 5 分.共 20 分) 13.已知某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 24, 则正(主)视图中 a 的值为 .
2 2 14.已知双曲线 x ? y ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 16 9

右焦点 F2 的直线 l 交双曲线的右支于 A 、 B 两点,若 | AB |? 5 ,则

?ABF1 的周长为
15.已知 F1、F2 分别是双曲线 若 . ?F1PF2 ? 90? ,且 ?F1 PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是 16 . 下 列 命 题 : ① 若 f ? x ? 存 在 导 函 数 , 则 f ??2 x ? ? [ f ?2 x ?]? ; ② 若 函 数 ?? ? h ? x ? ? cos4 x ? sin 4 x , 则 ; ③ 若 函 数 h ?? ? ? 0

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线上的一点, a 2 b2

f ? x ? ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ,则“ a ? b ? c ? 0 ”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函 sin x 2? 2? ? 数 f ?x ? ? 的 单 调 递 增 区 间 是 ? 2 k? ? ,2 k ? ? ? ??k ? z ? . 其 中 真 命 题 为 2 ? cos x 3 3 ? ?
____.(填序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
3 若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4 .当 x ? 2 时,函数 f (x) 取得极值 -

? 12 ? g ? x ? ? ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3?? ? x ? 2012 ?? x ? 2013? ,则 g ??2013? ? 2012! ;④若三次函数

4 . 3

(1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.

第 2 页 2 10 页 共

18. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上.若椭圆上的点 A(1, 和等于 4. (1)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过点 Q(1, 0) 的直线与椭圆交于两点 M 、 N ,当 ?OMN 的面积取得最大值时,求直 线 MN 的方程.

3 ) 到焦点 F1 、 F2 的距离之 2

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
2

(1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 的取值范围; (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ?

5 x ? b 在区间 ?0, 2? 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 2 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln ? n ? 1? 都成立. 4 9 n

20. (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为平行四边形, 且 AD ? 2 , AB ? AA ? 3 , ?BAD ? 60 , E 为 AB 的中点. 1
?

D1 A1 B1

C1

(1) 证明: AC1 ∥平面 EB1C ; (2)求直线 ED1 与平面 EB1C 所成角的正弦值.

D

C

A

E

B

第 3 页 3 10 页 共

21. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F ? 0, p ? ( p ? 0 ) , 直线 l : y ? ? p ,点 P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF 与 x 轴的交点, 过 R 、 P 分别作直线 l1 、 l2 ,使 l1 ? PF , l2 ? l l1 ? l2 ? Q . (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l 上任取一点 M 做曲线 C 的两条切线,设切点为 A 、 B ,求证:直线 AB 恒过 一定点; (3)对(2)求证:当直线 MA, MF , MB 的斜率存在时,直线 MA, MF , MB 的斜率的倒数成 等差数列. y . F O R

l2 l 1


?


x

l

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值范围.

第 4 页 4 10 页 共

参考答案: 1-5 AABBD 6-10 CBCBB 11-12 BB 13. 6 14. 26 15. 5 16.③⑤ 17.(1) f '( x) ? 3ax ? b
2

所以 f '(2) ? 0 , f (2) ? ?

4 . 3

?12a ? b ? 0 1 ? 即? 4 ,由此可解得 a ? , b ? 4 3 ?8a ? 2b ? 4 ? ? 3 ?
(2) f ( x) ?

1 3 x ? 4x ? 4 3

f '( x) ? x2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2)
所以 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极大值

28 4 ,在 x ? 2 处取得极小值 ? 3 3

所以 ?

4 28 ?k? 3 3

18. (1)椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1,焦点坐标为 (? 3,0) , ( 3,0) 4

(2)MN 斜率不为 0,设 MN 方程为 x ? my ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1可得 (m2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 联立椭圆方程: 4
记 M、N 纵坐标分别为 y1 、 y2 , 则 S ?OMN ? 设t ? 则S ?

1 1 16m2 ? 48 2 m2 ? 3 | OQ | ? | y1 ? y2 |? ?1? ? 2 2 m2 ? 4 m2 ? 4

m2 ? 3(t ? 3)
2t 2 ? (t ? 3) ,该式在 [ 3, ??) 单调递减,所以在 t ? 3 ,即 m ? 0 时 S 取 t ?1 t ? 1 t
2

最大值

3 . 2
第 5 页 5 10 页 共

' 19. 解:(1) f ? x ? ?

1 ? 2 x ? 1, x?a

? x ? 0 时, f ? x ? 取得极值, ? f ' ? 0? ? 0,


1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. 0?a

( 2 ) 由 a ?1 知

f ? x ? ? ln ? x ?1? ? x2 ? x,



5 f ? x? ? ? x ? b , 得 2

3 x ? b ? 0, 2 3 5 2 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的实数 2 2 ln ? x ? 1? ? x 2 ?
根 等 价 于

? ? x ? ? 0 在 区 间 ?0, 2? 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 .

?' ? x? ?

1 3 ? ? 4 x ? 5?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?
'

当 x ? 0,1 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增; 当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减.
'

? ?

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 2 ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 ? 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . 2
2 (3) f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知 f ' ? x ? ?

?

?

? x ? 2 x ? 3? , ? x ? 1?

令f 增;

'

? x? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ? 2 (舍去),
'

3

? 当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递

当 x ? 0 时, f

? x? ? 0 , f ? x ? 单调递减.

? f ? 0? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上的最大值.

? f ? x ? ? f ? 0? ,故 ln ? x ?1? ? x2 ? x ? 0 (当且仅当 x ? 0 时,等号成立)
对任意正整数 n ,取 x ?

1 ?1 ? 1 1 ? 0 得, ln ? ? 1? ? ? 2 , n ?n ? n n

? n ?1 ? n ?1 ? ln ? ?? 2 . ? n ? n
第 6 页 6 10 页 共

故2?

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln ? n ? 1? . ? 4 9 n 2 3 n

20. (1) 证明:连接 BC1 , B1C ? BC1 ? F 因为 AE ? EB , FB ? FC1 ,所以 EF ∥ AC1 , 因为 AC1 ? 面 EB1C , EF ? 面 EB1C , 所以 AC1 ∥面 EB1C .

(2)作 DH ? AB ,分别令 DH , DC, DD1 为

x 轴, y 轴, z 轴,建立坐标系如图
因为 ?BAD ? 60? , AD ? 2 ,所以 AH ? 1 , DH ? 3

所以 E ( 3, , 0) ,D1 (0,0,3) ,C (0,3, 0) ,B1 ( 3,2,3) ,

1 2

???? ? ???? ??? ? 1 3 5 ED1 ? (? 3, ? ,3), EB1 ? (0, ,3), EC ? (? 3, , 0) 2 2 2 ? ??? ? ? ???? ? 设面 EB1C 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,所以 n ? EB1 ? 0 , n ? EC ? 0
?3 ? 5 3 1 ? y ? 3z ? 0 化简得 ? 2 ,令 y ? 1 ,则 n ? ( ,1, ? ) . ? 6 2 ?? 3x ? 5 y ? 0 ? ? 2

? ???? ? ? ???? ? n ? ED1 9 30 设 ? ? n , ED1 ,则 cos ? ? ? ???? ? ? ? 70 n ? ED1

设直线 ED1 与面 EB1C 所成角为 ? ,则 cos? ? cos(? ? 90 ) ? ? sin ?
?

所以 sin ? ?

9 30 9 30 ,则直线 ED1 与面 EB1C 所成角的正弦值为 . 70 70

21. (1)依题意知,点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP , ∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线.
第 7 页 7 10 页 共

∴ PQ ? QF . 故动点 Q 的轨迹 C 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线, 其方程为: x2 ? 4 py( p ? 0) . (2)设 M (m, ? p) ,两切点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由 x 2 ? 4 py 得 y ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x. 4p 2p
1 x1 ( x ? x1 ) ① 2p

∴两条切线方程为 y ? y1 ?

y ? y2 ?

1 x2 ( x ? x2 ) ② 2p

对于方程①,代入点 M (m, ? p) 得, ? p ? y1 ?

1 1 2 x1 x1 (m ? x1 ) ,又 y1 ? 4p 2p

∴?p?

1 2 1 x1 ? x1 (m ? x1 ) 整理得: x12 ? 2mx1 ? 4 p2 ? 0 4p 2p

2 同理对方程②有 x2 ? 2mx2 ? 4 p2 ? 0

即 x1 , x2 为方程 x2 ? 2mx ? 4 p2 ? 0 的两根. ∴ x1 ? x2 ? 2m , x1 x2 ? ?4 p2 设直线 AB 的斜率为 k , k ? ③
2 y2 ? y1 x2 ? x12 1 ? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4 p

所以直线 AB 的方程为 y ?

x12 1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,展开得: 4p 4p

y?

xx 1 m x? p ( x1 ? x2 ) x ? 1 2 ,代入③得: y ? 2p 4p 4p

∴直线恒过定点 (0, p ) . (3) 证明:由(2)的结论,设 M (m, ? p) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且有 x1 ? x2 ? 2m , x1 x2 ? ?4 p2 ,

第 8 页 8 10 页 共

∴ kMA ?

y1 ? p y ?p , kMB ? 2 x1 ? m x2 ? m



1 1 ? ? ? x1 ? m ? x2 ? m ? x1 ? m ? x2 ? m ? 4 p( x1 ? m) ? 4 p( x2 ? m) kMA kMB x2 2 y1 ? p y2 ? p x12 x12 ? 4 p 2 x2 2 ? 4 p 2
4p ?p 4p ?p

4 p( x1 ? m) 4 p( x2 ? m) 4 p( x1 ? m) x2 ? 4 p( x2 ? m) x1 4 pm 4 pm m ? 2 ? ? ? ?? 2 2 x1 ? x1 x2 x2 ? x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) x1 x2 ?4 p p 1 m m 1 1 2 又∵ ,所以 ? ?? ? ? kMA kMB kMF kMF ? p ? p 2p
= 即直线 NA, NM , NB 的斜率倒数成等差数列.

2 ( x ? 0) . x 2 (1) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? . 3 (ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . (3) f ?( x) ? x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . 1 1 ②当 0 ? a ? 时, ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . a a 2 1 ( x ? 2) ③当 a ? 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x 1 1 ④当 a ? 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . a a (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max .
22.解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2 故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 ,
①当 a ? 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ?

1 . 2

第 9 页 9 10 页 共

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 ? 2 ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e 所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1.
②当 a ?

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