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江苏省苏北四市(徐州淮安宿迁连云港)2013届高三9月质量抽测数学试题


江苏省苏北四市(徐州淮安宿迁连云港)2013 届高三 9 月质量抽测

(2012 年 9 月)



学 I

注意事项 考生在答题前认真阅读本注意事项即各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题).本试卷满分 160 分, 考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题纸上的规定位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其 它位置作答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,符号等须加黑、加粗.

参考公式:
1 棱锥的体积 V= Sh,其中 S 为底面积,h 为高. 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1. 已知集合 A={1,3},B={1,2,m},若 A ? B,则实数 m= ▲ . 2. 若(1-2i)i=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 ab= ▲ . 3. 某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽 样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号 开始 的产品有 16 件,那么此样本的容量 n= ▲ . 4. 在大小相同的 4 个小球中,2 个是红球,2 个是白球, x←1,y←1,n←1 若从中随机抽取 2 个球,则所抽取的球中至少有一个 红球的概率是 ▲ . n←n+2 5. 已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时 输出的结果为 ▲ . x←3x π ?? 2 6. 已知 cos( ▲ . ) ? ,则 cos? = 2 3 y←y-2 7. 已知一个正六棱锥的高为 10cm,底面边长为 6cm, 则这个正六棱锥的体积为 ▲ cm3. n>4 N 8. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, Y 若 a3=18,S3=26,则{an}的公比 q= ▲ . 输出(x,y) x ? y ≥ 2, ? ? 结束 9. 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ≤ 2, 则 z ? 2 x ? y 的最大值 ?0 ≤ y ≤ 3, (第 5 题图) ? 是 ▲ . ▲ .

10.在曲线 y ? x3 ? 3x ? 1 的所有切线中,斜率最小的切线的方程为

11.已知直线 y=a 与函数 f ( x) ? 2 x 及函数 g ( x) ? 3 ? 2 x 的图象分别相交于 A,B 两点,

则 A,B 两点之间的距离为



. ▲ B C O A .

1 9 12.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? c ? 1 的值域是[1,+∞),则 + 的最小值是 a c 13.如图,A,B 是半径为 1 的圆 O 上两点, π 且∠AOB= .若点 C 是圆 O 上任意一点, 3 →→ 则 OA ? BC 的取值范围为 ▲ .
(第 13 题图)

14.已知 a,b,c 是正实数,且 abc+a+c=b,设 2 2 3 ,则 p 的最大值为 ▲ p? 2 ? ? a ? 1 b2 ? 1 c 2 ? 1



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答 题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 . ...... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a cos C ? b cos C ? c cos B ? c cos A , 且 C=120°. (1)求角 A; (2)若 a=2,求 c.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P‐ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.求证: P (1)PB∥平面 AEC; (2)平面 PCD⊥平面 PAD. E A B
(第 16 题图)

D C

17.(本小题满分 14 分) 在一个矩形体育馆的一角 MAN 内(如图所示),用长为 a 的围栏设置一个运动器材储 存区域,已知 B 是墙角线 AM 上的一点,C 是墙角线 AN 上的一点. (1)若 BC=a=10,求储存区域三角形 ABC 面积的最大值; (2)若 AB=AC=10,在折线 MBCN 内选一点 D, M 使 DB+DC=a=20, 求储存区域四边形 DBAC B 面积的最大值. D

A
(第 17 题图)

C

N

18.(本小题满分 16 分) x2 y 2 已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,且圆 C: a b

x 2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A,F2 两点.

(1)求椭圆 E 的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α,直线 PF1 的倾斜角为 β,当 β-α= 时,证明:点 3 P 在一定圆上.

19.(本小题满分 16 分) 2a 2 已知函数 f ( x) ? x ? ? a ln x(a ? R) . x (1)讨论函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ? ln 2 ,当 a=1 时,若对任意的 x1,x2∈[1,e](e 是自然对数的底数),
f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 设 f k (n) ? c0 ? c1n ? c2 n2 ? ??? ? ck n k ? k ? N ? ,其中 c0 , c1 , c2 , ???, ck 为非零常数, 数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数 n,an+Sn= f k (n) . (1)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列.

附加题



学 II(附加题)

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作 ................... 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点 (不与点 A,C 重合),延长 BD 至点 E. E D 求证:AD 的延长线平分∠CDE. B C
(第 21—A 题图)

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
? 1 2? 已知矩阵 A ? ? ?. ? ?1 4 ?

(1)求 A 的逆矩阵 A?1 ;

(2)求 A 的特征值和特征向量. C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立
1 ? x ? t, ? 2 ? 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),求直线 l 被曲线 C 截 ?y ? 3 t ?1 ? ? 2

得的线段长度.

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 1 1 1 1 1 1 设 a,b,c 均为正实数.求证: . ? ? ≥ ? ? 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答.解 ......... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=λEO. (1)若 λ=1,求异面直线 DE 与 CD1 所成的角的余弦值; D1 C1 (2)若平面 CDE⊥平面 CD1O,求 λ 的值. A1 E D A 23.(本小题满分 10 分) O
(第 22 题图)
n

B1

C B

已知整数 n≥4,集合 M={1,2,3,…,n}的所有 3 个元素的子集记为 A1,A2,…, AC 3 . (1)当 n=5 时,求集合 A1,A2,…, AC 3 中所有元素的和;
5

(2)设 mi 为 Ai 中的最小元素,设 Pn ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mC 3 ,试求 Pn(用 n 表示).
n

参考答案
1、3 2、3 3、80 4、

13 28

5、(27,-5) 6、

1 9

7、30 3

8、3 9、5

10、y=3x+1

11、 log 2 3

12、3 13、 ? ?

10 ? 3 1? , ? 14、 3 ? 2 2?

15、解:由余弦定理,得:sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC sin(A+C)=sin(B+C) sinB=sinA ∴ B=A=30° a=2,则 b=2 c? =a? +b? -2abcosC=4+4-2×2×2×(- ∴ c=2 3 16、(1)证明: 连 BD,AC 交于 O。 ∵ABCD 是正方形 ∴AO=OC, OC=

1 )=12 2

1 AC 2

连 EO,则 EO 是三角形 PBD 的中位线。 EO∥PB EO ? 平面 AEC ∴PB∥平面 AEC (2):∵PA⊥平面 ABCD ∴CD⊥PA ∵ABCD 是正方形 ∴AD⊥CD ∴CD⊥平面 PAD ∴平面 PAD⊥平面 PCD 17、(1)因为三角形的面积为

1 倍 AB· AC,所以当 AB=AC 时其值才最大,可求得为 25 2

(2)求四边形 DBAC 面积可分为 ABC 跟 BCD 两个三角形来计算,而 ABC 为定值可先不考虑,进而只考 虑三角形 BCD 的面积变化, 以 BC 为底边, 故当 D 点 BC 的距离最长时面积取得最大值。 因为 DB+DC=a=20 总成立,所以点 D 的轨迹是一个椭圆,B、C 是其两交点,结合椭圆的知识可以知道只有当 D 点在 BC 的 中垂线上时点 D 到 BC 的距离才能取得最大值, 再结合题意四边形 DBAC 刚好是一个边长为 10 的正方形, 其面积为 100 18. 解:(1)圆 x ? y ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 与 x 轴交点坐标为 A(?2 3,0) , F2 ( 3,0) ,
2 2

故 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 b ? 3 ,∴椭圆方程是:

x2 y 2 ? ?1 . 12 9

(2)设点 P(x,y),因为 F1 (- 3,0), F2 ( 3,0), y y 设点 P(x,y),则 k PF1 =tanβ= , k PF2 =tanα= , x+ 3 x- 3 2π 因为 β-α= ,所以 tan(β-α)=- 3. 3 tanβ-tanα -2 3y 因为 tan(β-α)= = , 1+tanαtanβ x2+y2-3 -2 3y 所以 2 2 =- 3.化简得 x2+y2-2y=3. x +y -3 所以点 P 在定圆 x2+y2-2y=3 上. 19、解: f '( x) = 1 ?

2a 2 a x 2 ? ax ? 2a 2 ? = =0,得 x1 ? 2a , x2 ? ? a x2 x x2

(a)当 a=0 时,f(x)=x,在(- ? ,+ ? )上是增函数。 (b)当 a>0 时,f(x)在(- ? ,-a),(2a,+ ? )上是增函数,在(-a,2a)上是减函数。

(c)当 a<0 时,f(x)在(- ? ,2a),(-a,+ ? )上是增函数,在(2a,-a)上是减函数。 20、【证】(1)若 k ? 0 ,则 f k (n) 即 f 0 (n) 为常数,不妨设 f 0 (n) ? c (c 为常数). 因为 an ? Sn ? f k (n) 恒成立,所以 a1 ? S1 ? c ,即 c ? 2a1 ? 2 . 而且当 n≥2 时, an ? Sn ? 2 , ①
an?1 ? Sn?1 ? 2 , ②

①-②得 2an ? an?1 ? 0(n ? N, n≥2) . 若 an=0,则 an ?1 =0 ,…,a1=0,与已知矛盾,所以 an ? 0(n ? N* ) . 故数列{an}是首项为 1,公比为 1 的等比数列. 2 【解】(2)(i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若 k=1,设 f1 (n) ? bn ? c (b,c 为常数), 当 n≥2 时, an ? Sn ? bn ? c ,
an?1 ? Sn?1 ? b(n ? 1) ? c ,
an ? b ? d (常数),

③ ④

③-④得 2an ? an?1 ? b(n ? N, n≥2) .要使数列 {an} 是公差为 d ( d 为常数)的等差数列,必须有 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an =1 n ? N* , 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an

?

? =1 ? n ? N ? ,此时 f (n) ? n ? 1 .
*
1

(iii) 若 k=2,设 f 2 (n) ? an2 ? bn ? c ( a ? 0 ,a,b,c 是常数), 当 n≥2 时, an ? Sn ? an2 ? bn ? c ,
2



an ?1 ? Sn ?1 ? a(n ? 1) ? b(n ? 1) ? c , ⑥
⑤-⑥得 2an ? an?1 ? 2an ? b ? a(n ? N, n≥2) , 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有
an ? 2an ? b ? a ? d ,且 d=2a,

考虑到 a1=1,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2a ? 2an ? 2a ? 1 n ? N* . 故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an ? 2an ? 2a ? 1 n ? N* , 此时 f 2 (n) ? an2 ? (a ? 1)n ? 1 ? 2a (a 为非零常数). (iv) 当 k≥3 时,若数列{an}能成等差数列,则
an ? Sn 的表达式中 n 的最高次数为 2,故数列{an}不能成等差数列.

?

?

?

?

综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列{an}能成等差数列. 21、A:解:设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠ABC=∠CDF 3 分 又 AB=AC∴∠ABC=∠ACB,5 分 且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,7 分 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE.

?2 ? B:A 的逆矩阵是: ? 3 ?1 ? ?3

1? ? ? 6 ? 1 ? 6 ? ?

特征多项式是 f(λ)=(1-λ)(4-λ)+2=λ?-5λ+6=(λ-2)(λ-3) 特征值是 λ=2、λ=3 当 λ=2 时,此时特征向量是 α=(2,1)
当 λ=3 时,此时特征向量是 β=(1,1) C:曲线 C 为:x2+y2-4y=0,圆心(0,2),半径为 2, 直线 l 为: 3 x-y+1=0,圆心到直线的距离为:d= 直线被曲线 C 载得的线段长度为:2 4 ?

| ?2 ? 1| 1 ? 2 2

1 ? 17 4

1 1 4 1 1 1 D:利用基本不等式: ? ? ,故有: ? ? x y x? y 4x 4 y x ? y
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? = ? ? + ? ? ≥ ? ? 2a 2b 2c 4a 4b 4c 4a 4b 4c b?c c?a a?b
??? ? ???? ???? ? 22.【解】(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC , DD1

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .

1 0 ? ,D1(0,0,1),E 1 ,1 ,1 , 则 A(1,0,0), O 1 ,1 , 0 , C ? 0,, 2 2 4 4 2 ???? ? ???? 1? . 于是 DE ? 1,1 ,1 , CD1 ? ? 0,? 1, 4 4 2 ???? ???? ? ???? ???? ? DE ? CD1 3 ? = 由 cos ? DE,CD1 ? = ????? ???? . 6 | DE |? | CD1 |

?

?

?

?

?

?

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

3 . 6

???? ? ??? ? (2)设平面 CD1O 的向量为 m=(x1,y1,z1),由 m· CO =0,m· CD1 =0

? 1 x ? 1 y ? 0, ? 得 ?2 1 2 1 取 x1=1,得 y1=z1=1,即 m=(1,1,1) . ? ? y ? z ? 0 , ? 1 1 ? ? 1 ? ???? ? ? ? 1 ? 由 D1E=λ EO,则 E ? ? 2(1 ? ? ) ,2(1 ? ? ) ,1 ? ? ? , DE = ? 2(1 ? ? ) ,2(1 ? ? ) ,1 ? ? ? . ? ? ? ? ??? ? ???? 又设平面 CDE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由 n· CD =0,n· DE =0.
? y2 ? 0, ? 得 ? ? x2 取 x2=2,得 z2=-λ ,即 n=(-2,0,λ ) . ? y2 z2 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

因为平面 CDE⊥平面 CD1F,所以 m·n=0,得 λ =2. 23、(1)当 n=5 时,含元素 1 的子集中,必有除 1 以外的两个数字,两个数字的选法有 C4 =6 个,所以含 有数字 1 的几何有 6 个.同理含 2,3,4,5 的子集也各有 6 个, 于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)× C4 =6×15=90…(5 分) (2)证明:不难得到 1≤mi≤n-2,mi∈Z,并且以 1 为最小元素的子集有 Cn ?1 个,以 2 为最小元素的子集 有 C n ? 2 个,以 3 为最小元素的子集有 C n ? 3 ,…,以 n-2 为最小元素的子集有 C2 个。则 Pm=m1+m2+… mC 3 = Cn ?1 +2 C n ? 2 +3 C n ? 3 +…+(n-2) C2
n

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=(n-2) C2 +(n-3) C3 +…+ Cn ?1 = C2 +(n-3)( C2 + C3 )+(n-4) C4 +…+ C n ? 2

2

2

2

2

2

2

2

2

? ??Cn ? Cn ?1 = C4 ? C4 ? C5 ??
4 3 3 3 4


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