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平面向量的基本概念及线性运算


平面向量的基本概念及线性运算
主讲教师:苏怀堂

【知识概述】 1.向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫向量,向量可以用有向线段表示. (2)向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(又称模),记作 AB ; 长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 ; 长度为 1 个单位的向量叫单位向量; 方向相同或相反的非零向量叫平行向量,规定 0 /

/ a ,平行向量又叫共线向量; 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2.向量加法运算及其几何意义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 设 A,B,C 是平面上的任意三点,则 AB ? BC ? AC . ( 1 ) 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 : 如 图 , 已 知 非 零 向 量 a, b , 在 平 面 内 任 取 一 点 A , 作

AB ? a, BC? b ,则 a + b = AC .

a

C a+b
b

b

A a B
1

数学·必修 4

( 2 )向量加法的平行四边形法则 : 如图 , 已知向量 OA ? a, OB ? b ,以 OA, OB 为邻边作

ABCD ,则 a ? b ? OC .
C B

A O

3.向量减法运算及其几何意义 求两个向量差的运算叫向量的减法, 若a ? b + c, 则a ? b = c . 向量减法的几何意义: 两个向量共起点, 两终点连线指向被减向量的向量就是这两个向量的 差: OA ? OB ? BA .

A a-b

a

O b

B

4.向量数乘运算及其几何意义

实数?与向量a的积是一个向量, 记为?a ,规定:

(1) ?a ? ? a ;
(2)当? ? 0时,?a与a方向相同;当? ? 0时, ?a与a方向相反 . 由(1)知,当? ? 0时, ?a ? 0 .
5.平面向量的基本运算律

(1)a ? b ? b ? a ;
2 数学·必修 4

(2) ? a ? b? ? c ? a ? ? b ? c ? ; (3)? ? ?a ? ? ? ?? ? a ; (4) ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ; (5)? ? a ? b? ? ?a ? ?b .
6.平面向量的坐标运算

(1)设a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ?a ? ? ? x1, ? y1 ? ;

(2)设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? .
7.两个向量平行的充要条件

向量a ? a ? 0? 与b平行当且仅当存在唯一实数?, 使b ? ?a
【学前诊断】 1. [难度] 易 )

下列结论正确的是(

A.2008m 长的线段不可能表示单位向量 B.若 O 是直线 e 上的一点, 单位长度已选定, 则 e 上有且只有两个点 A,B, 使 OA, OB 是单位向量 C.若 a 是单位向量, b 也是单位向量,则 a = b ,或 a = ?b D.一个人从点 A 向东走 500 米到达 B 点, 则向量 AB 不能表示这个人从 A 点到 B 点的 位移 2. [难度] 易

向量 AB ? DF ? CD ? BC ? FA ? ______ .

3.

[难度]



已知 A(2, ?4), B(0, 6), C (?8,10) ,求向量 AB ? 2 BC ?
3 数学·必修 4

1 AC 的坐标. 2

【经典例题】 例1. 判断下列说法是否正确,并说明理由 (1)任何两个单位向量都是平行向量; (2)零向量是没有方向的; (3)在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点,则向量 DE与CB 是平行向量; (4) 对于向量a,b,c, 若a / / b且b c, 则a / / c ; (5)若非零向量 AB与CD 是平行向量,则直线 AB 与直线 CD 平行; (6)非零向量 AB与BA 是模相等的平行向量.

例2.

一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100km 到达 B 点,然后又改变方向向西偏北 50° 行 驶了 200km 到达 C 点,最后又改变方向,向东行驶了 100km 到达 D 点. (1)作出向量 AB , BC, CD ; (2)求 AD .

例3.

如图, 菱形 ABCD, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, 且∠DAB=60° (1)写出图中相等向量; (2)写出图中平行向量; (3)写出图中模相等向量.

例4.

O 是△ABC 内一点,且 OA ? OB ? OC ? 0 ,判断 O 是△ABC 的什么心?

例5.

化简下列各式

(2a+3b-c)-(3a-2b+c)+2(c-3b); (1)
(2)

2? 1 1 . ? 4a ? 3b ? ? b ? ? 6a ? 7b ?? ? ? 3? 3 4 ?

例6.

已知非零向量 e1和e2 不共线 (1) 如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3 ? e1 ? e2 ? ,求证 A,B,D 三点共线; (2) 欲使 ke1 ? e2和e1 ? ke2 共线,试确定实数 k 的值.
4

数学·必修 4

例7.

已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若点 P 在第三象限,且 AP= AB+? AC , 求实数 ? 的 取值范围.

例8.

如图所示,△ABC 的顶点 A,B,C 坐标分别 为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ) ,其重心为 G, 坐 标为 ( x0 , y0 ) . 求证: x0 ?

x1 ? x2 ? x3 y ? y2 ? y3 , y0 ? 1 . 3 3

【本课总结】 1.(1)准确画出向量,方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小 确定向量的终点; (2)要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型,“数学建模”能力是今后培养 的主要方向,需要在日常学习中不断积累经验. 2.(1)向量是可以自由移动的,因此共线向量和平行向量实质是一致的; (2)向量是不可以进行大小比较的,但有相等向量,只有当两个向量同向且相等时,才称 为相等; (3)注意向量 0 与实数 0 的区别: 向量 0 表示长度为 0 的向量,即 0 ? 0 ,它的方向是任 意的,可以认为向量 0 与任意一个向量都平行,而 0 是一个没有方向的实数.

3.(1)向量共线的充要条件: a与b共线 ? 存在实数? , 使a ? ?b (2)要证明 A,B,C 三点共线,只需证明存在实数 ? , 使得 AB ? ? AC 或 AB ? ? BC或 AC ? mBC ( ? , m ? R)等

?

?

5 数学·必修 4

【活学活用】 1. [难度] 中 设 a , b 是两个不共线向量, AB ? ?1a ? b, AC ? a ? ?2b (?1 , ?2 ? R) ,则 A,B,C 三点 共线的充要条件是( )

A.?1 ? ?2 ? ?1

B.?1 ? ?2 ? 1

C.?1?2 ? ?1

D.?1?2 ? 1

2.

[难度]



已知向量集合 M ? a a ? (1, 2) ? ? (3, 4), ? ? R ,

?

?

N ? {a | a ? (?2, ?2) ? ? (4,5), ? ? R} ,则 M ? N ? ________

3.

[难度]



已知 e1 , e2 为平面 ? 的基底,对于非零向量 p, q 如果存在不全为零的实常数 ? , ? 使 得 ? p ? ? q ? 0 ,那么称向量 p, q 是线性相关的,否则称向量 p, q 是线性无关的.对 于平面 ? 内两个向量 a ? 3e1 ? 4e2 , b ? e1 ? e2 ,试判断向量 a , b 是线性相关的还 是线性无关的?为什么?

6 数学·必修 4


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