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2013高考百天仿真冲刺卷(理科数学试卷九)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷(九)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.在复平面内,复数

i 对应的点位于 1? i
2 1

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限 2.等差数列 {a n } 中, a4 ? 2 ,则 S7 等于 (A)7 (B)3.5 (C)14 (D)28 3.一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 (A) (C)

主视图 1

左视图

2

(B)

4 3

1?

3 2

(D)

1?

3 6
俯视图

1

4. a, b 为非零向量,“函数 f ( x) ? (ax ? b)2 为偶函数”是“ a ? b ”的 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5.设函数 f ( x ) ? (A) (B) (C) (D)

? ?

?

?

?

?

1 x ? ln x( x ? 0) ,则函数 f ( x) 3 (1, 在区间 (0,1),  ??) 内均有零点 (1, 在区间 (0,1),  ??) 内均无零点 在区间 (0,1) 内有零点,在区间 (1, ??) 内无零点 在区间 (0,1) 内无零点,在区间 (1, ??) 内有零点
2 2

6.直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2 将圆 C : x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 平分,则直线 l 的方向向量是 (A) (2, ?2) (B) (2, 2) (C) (?3, 2) (D) (2,1) 7.一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课,体育不在第一节上,数学不 在第六、七节上,这天课表的不同排法种数为
7 5 (A) A7 ? A5 2 5 (B) A4 A5 1 1 5 (C) A5 A6 A5 6 1 1 5 (D) A6 ? A4 A5 A5

8.对于四面体 ABCD ,有如下命题 ①棱 AB 与 CD 所在的直线异面; ②过点 A 作四面体 ABCD 的高,其垂足是 ?BCD 的三条高线的交点; ③若分别作 ?ABC 和 ?ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在直线异面; ④分别作三组相对棱的中点连线,所得的三条线段相交于一点, 其中正确的是 (A) ① (B) ②③ (C) ①④ (D) ①③ 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)

-1-

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.极坐标方程 ? ? 2 化为直角坐标方程是 . 10.把某校高三.5 班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图(如下 左图),由此判断甲的平均分 乙的平均分.(填:>,= 或<) 2 , 4 乙 甲 C , 7 9 6 8 37 50 A 9 248 941 B O D P 10 4 2 11 0

11.如上右图: AB 是 ? O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,且 PB ? OB ? 2 , PC 切 ? O 于 点 C , CD ? AB 于点 D ,则 PC ? ; CD ? .

x2 y2 2 12. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x ? 1 只有一个公共点,则双曲线的离 a b
心率等于 .

?2? x ? 1, x?0 ? 2 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 2 , 若 f ( a ? 2) ? f (a ), 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ? ? x ? 2 x, x ? 0 ?
是 . 14.设 S 为非空数集,若 ?x, y ? S ,都有 x ? y, x ? y, xy ? S ,则称 S 为封闭集.下列命题 ①实数集是封闭集; ②全体虚数组成的集合是封闭集; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ⑤ 若 S,T 为 封 闭 集 , 且 满 足 S ? U ? T , 则 集 合 U 也 是 封 闭 集 , 其 中 真 命 题 是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a、b、c,a ? 2 3,b ? 2 , cos A ? ? (Ⅰ)求角 B 的大小;
2 (Ⅱ)若 f ( x) ? cos 2 x ? c sin ( x ? B) ,求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.

1 . 2

P 16.(本小题满分 14 分)
-2-

A O B C

D

已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 600 , 且

PB ? PD ? AB ? 2 ,

PA ? PC , AC 与 BD 相交于点 O . (Ⅰ)求证: PO ? 底面 ABCD ; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值;
(Ⅲ)若 M 是 PB 上的一点,且 CM ? PB ,求

PM 的值. MB

17.(本小题满分 14 分) 某商场进行促销活动,到商场购物消费满 100 元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘) 一次进行抽奖,满 200 元转两次,以此类推(奖金累加);转盘的指针落在 A 区域中一等奖, 奖 10 元,落在 B、C 区域中二等奖,奖 5 元,落在其它区域则不中奖.一位顾客一次购物消 费 268 元, (Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率; (Ⅱ) 记 ? 为该顾客所得的奖金数,求其分布列; (Ⅲ) 求数学期望 E? (精确到 0.01). A B

C

18.(本小题满分 13 分)

1 2 x ? ax ? 1(a ? 0) . 2 (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间和极值.
已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

y 19.(本小题满分 13 分) 2 如 图 : 平 行 四 边 形 AMBN的周长为 8 , 点 M, N 的坐标分别为 , 4 -3, 6 A

M

O

N

x

B

??

3,0 ,

? ? 3 , 0? .

(Ⅰ)求点 A, B 所在的曲线方程; (Ⅱ)过点 C (?2, 0) 的直线 l 与(Ⅰ)中曲线交于点 D ,与 y 轴交于点 E ,

??? ??? ? ? CD ? CE 且 l // OA ,求证: ??? 2 为定值. ? OA

20.(本小题满分 13 分) 已知 f n ( x) ? (1 ? x) n , (Ⅰ)若 f2011 ( x) ? a0 ? a1x ? ?? a2011x2011 ,求 a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 的值; (Ⅱ)若 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,求 g (x) 中含 x 项的系数;
6
m m m ? (m ? 1)n ? 1? m?1 ? 2C m?1 ? 3C m? 2 ? ? ? nC m? n?1 ? ? C m? n ? m?2 ? ?

(Ⅲ)证明:

C

m m

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷(九)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

-4-

1 A

2 C

3 B

4 C

5 D

6 B

7 D

8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,两个空的第一空 2 分,第二空 3 分,共 30 分.

9

10

11

12

13

14

x2 ? y 2 ? 4

<

2 3

3

5

?1 ? a ? 2

①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) A ? sin 2分 由

3 2
得 sin B ?

???????????

B?

?
6

a b ? sin A sin B

1 2

,

???????????5 分 ???????????6 分

(Ⅱ)

c?2

f ( x) ? cos 2 x ? 2sin 2 ( x ? ) 6
= cos 2 x ? cos(2 x ?

?

?

3

) ?1

所以,所求函数的最小正周期为 ? 由 2 k? ? 得 k? ?

1 3 ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 6

???????????10 分

?

?
3

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

? x ? k? ?

?
6

2

,k ?Z

,k ?Z
P ???????????13 分 A O B
-5-

所以所求函数的单调递增区间为

[ k? ?

?

, k? ? ], k ? Z 3 6

?

16.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC , BD 的中点???????????1 分 因为 PB ? PD,

D

PA ? PC ,

C

所以 PO ? BD, PO ? AC 所以 PO ? 底面 ABCD ????3 分 (Ⅱ)因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD 建立如图所示空间直角坐标系 又 ?ABC ? 600 ,

PB ? AB ? 2
???????????4 分 z

得 OA ? 1, OB ? 3, OP ? 1

??? ? ??? ? ??? ? PB ? (0, ? 3, ?1) , PC ? (1,0, ?1) , PD ? (0, 3, ?1) ???5 分 ?? 设平面 PCD 的法向量 m ? ( x, y, z) ?? ??? ? ?m?PC ? 0 ? 有 ? ?? ??? ? ?m?PD ? 0 ? ?x ? z ?x ? z ? 0 ? ? 所以 ? 解得 ? 3 z ? 3y ? z ? 0 ? ?y ? 3 ? ?? m ? (3, 3,3) ?? ??? ?? ??? ? ? ?? ??? ? m?PB ? m ?PB cos m, PB
?? ??? ? cos m, PB ? ?6 21 ?? 7 21? 4
???????10 分 所以 ???????????8 分

所以 P(0,0,1), B(0, ? 3,0), C(1,0,0), D(0, 3,0)

y

x

???????????9 分

PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

???? ? ??? ? (Ⅲ)因为点 M 在 PB 上,所以 PM ? ? PB ? ? (0, ? 3, ?1) ???? ? 所以 M (0, ? 3?, ?? ? 1) , CM ? (?1, ? 3?, ?? ? 1) 因为 CM ? PB ???? ??? ? ? 1 所以 CM ?PB ? 0 , 得 3? ? ? ? 1 ? 0 解得 ? ? 4 PM 1 所以 ? MB 3
14 分 17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ) 设事件 A 表示该顾客中一等奖

21 7

???????????

P( A) ?

1 1 1 11 23 ? ? 2? ? ? 12 12 12 12 144
????4 分 ????5 分

所以该顾客中一等奖的概率是

(Ⅱ) ? 的可能取值为 20,15,10,5,0

23 144

P(? ? 20) ?

1 1 1 1 2 1 ? ? ? , P (? ? 15) ? 2 ? ? , 12 12 144 12 12 36

-6-

2 2 1 9 11 ? ? 2? ? ? 12 12 12 12 72 2 9 1 9 9 9 P(? ? 5) ? 2 ? ? ? , P(? ? 0) ? ? ? (每个 1 分)??????10 分 12 12 4 12 12 16 P(? ? 10) ?
所以 ? 的分布列为

?
P
(Ⅲ)数学期望

20

15

10

5

0

1 144

1 36

11 72

1 4

9 16

???????10 分

E? ? 20 ?

1 1 11 1 ? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 3.33 144 36 72 4

???????14 分

18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f (0) ? 1 ,

a x( x ? a ? 1) ? x?a ? , x ?1 x ?1 f / (0) ? 0 所以函数 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 (Ⅱ)函数的定义域为 (?1, ??) x( x ? a ? 1) ?0 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?1 x ? a ?1 解得: x ? 0, 当 a ? 1 时,列表: (0, a ? 1) (-1,0) 0 x f / ( x) ?
/

??????2 分

??????4 分

???????5 分

a ?1

(a ? 1, ??)

+ 0 0 + f ( x) f (x) ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 可知 f (x) 的单调减区间是 (0, a ? 1) ,增区间是(-1,0)和 (a ? 1, ??) ; 1 2 3 极大值为 f (0) ? 1 ,极小值为 f ( a ? 1) ? a ln a ? a ? ??????? 2 2 8分 当 0 ? a ? 1 时,列表:

(?1, a ? 1) (a ? 1, 0) a ?1 0 x / + 0 0 f ( x) f (x) ↗ 极大 ↘ 极小 可知 f (x) 的单调减区间是 (a ? 1, 0) ,增区间是 (?1, a ? 1) 和 (0, ??) ; 1 2 3 极大值为 f ( a ? 1) ? a ln a ? a ? ,极小值为 2 2 f (0) ? 1 ???????11 分 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 可知函数 f (x) 在 (?1, ??) 上单增, 无极
值 ???????13 分 19.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为四边形 AMBN 是平行四边形,周长为 8

(0, ??)
+ ↗

-7-

所以两点 A, B 到 M , N 的距离之和均为 4,可知所求曲线为椭圆 由椭圆定义可知, a ? 2, c ? 3 , b ? 1

????1 分

x2 ? y2 ? 1 所求曲线方程为 ???????4 分 4 (Ⅱ)由已知可知直线 l 的斜率存在,又直线 l 过点 C (?2, 0) 设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 2) ???????5 分 x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ,并整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 4 4k ?8 k 2 ? 2 点 C (?2, 0) 在曲线上,所以 D ( , ) ???????8 分 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k ??? ? ??? ? 4 4k , ) , CE ? (2, 2k ) ??????? E (0, 2k ) , CD ? ( 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
代入曲线方程 9分 因为 OA // l , 所以设 OA 的方程为 y ? kx 代入曲线方程,并整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ???????10 分

) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ??? ??? ? ? 8 8k 2 ? CD ? CE 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 ? 2 ??? 2 ? ? 4 4k 2 OA ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 ??? ??? ? ? CD ? CE 所以: ??? 2 为定值 ? OA
20.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 f n ( x) ? (1 ? x) n , 所以 f 2011 ( x) ? (1 ? x)2011 , 又 f2011 ( x) ? a0 ? a1x ? ?? a2011x2011 , 所以 f2011 (1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2011 ? 22011

所以 A(?

2

,?

2k

???????11 分

???????13 分

(1)

f2011 (?1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2010 ? a2011 ? 0 (2)
(1)-(2)得: 2(a1 ? a3 ? ?? a2009 ? a2011 ) ? 22011 所以: a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 ? f 2011 (1) ? 22010 (Ⅱ)因为 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) , 所以 g ( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 3(1 ? x)
6 7 8

???????2 分

6 6 g (x) 中含 x 6 项的系数为 1 ? 2 ? C7 ? 3C8 ? 99

???????4 分 ????7 分

(Ⅲ)设 h( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x)
m
m

(1) ? ? ? n(1 ? x) m m m 则函数 h( x) 中含 x 项的系数为 Cm ? 2 ? Cm?1 ? ?? nCm?n?1
m?1 m? 2 m? n

m?1

m? n?1

(2) (1 ? x)h( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x) ? ? ? n(1 ? x) m m?1 m? 2 (1)-(2)得 ? xh( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x)m?n?1 ? n(1 ? x)m?n

-8-

(1 ? x)m [1 ? (1 ? x)n ] ? n(1 ? x)m? n 1 ? (1 ? x) 2 x h( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)m?n ? nx(1 ? x)m?n h( x) 中含 x m 项的系数,即是等式左边含 x m? 2 项的系数,等式右边含 x m? 2 项的系数 ? xh( x) ?

m? 2 m?1 ???????11 分 ?Cm?n ? nCm?n (m ? n)! n(m ? n)! ?? ? (m ? 2)!(n ? 2)! (m ? 1)!(n ? 1)! ?(n ? 1) ? n(m ? 2) (m ? n)! ? ? m?2 (m ? 1)!(n ? 1)1 (m ? 1)n ? 1 m?1 ? Cm? n m?2 (m ? 1)n ? 1 m?1 m m m Cm? n 所以 Cm ? 2 ? Cm?1 ? ?? nCm?n?1 ? ???????13 分 m?2

-9-


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