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2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标1卷


2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 1 理科数学
第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。
2 1.已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x ? 2 ? x ? 2 ,则 A

6.如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边 为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数

f ? x ? ,则 y ? f ? x ? 在 ? 0, ? ? 的图像大致为(



P O
y

?

?

?

?

B? (

)

M A
y 1

A. ? ?2, ?1?

B. ? ?1, 2? )

C. ??1,1?

D. ?1, 2 ?

?1+i ? 2. 2 ?1-i ?
3

? (

1
B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

A. 1 ? i

O A、 y

3.设函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域都为 R,且 f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数,则下列结论中正 确的是( ) B. f ? x ? g ? x ? 是奇函数 D. f ? x ? g ? x ? 是奇函数
2

π

x

O B、 y 1

π

x

A. f ? x ? g ? x ? 是偶函数 C. f ? x ? g ? x ? 是奇函数
2

1 O C、 π x

O D、

π

x

4.已知 F 为双曲线 C : x ? my ? 3m ? m ? 0? 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离 为( A. 3 )

7.执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M ? ( A.



B. 3

C. 3m

D. 3m

20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益 活动的概率为( A. )

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

1

8.设 ? ? ? 0, A. 3? ? ? ? 9.不等式组 ?

1 ? sin ? ? ?? ? ?? ,则( ? , ? ? ? 0, ? , 且 tan ? ? cos ? ? 2? ? 2?



二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 .(用数字填写答案)

?
2

B. 3? ? ? ?

?
2

C. 2? ? ? ?

?
2

D. 2? ? ? ?

?
2

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为

? x ? y ? 1, 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? ?2 ; p2 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? 2 ; p3 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? 3 ; , p4 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? ?1;其中的真命题是(
A. p2 , p3 B. p1 , p2
2



.

15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

C.

p1 , p4

D. p1 , p3

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

.

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

10.已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点, 若 FP ? 4FQ ,则 QF ? ( )

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? ( c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

.

7 A. 2

B. 3
3

5 C. 2
2

D. 2

17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中

11.已知函数 f ? x ? ? ax ? 3x ?1 ,若 f ? x ? 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围 是( ) B. ?1, ?? ? C.

? 为常数.
(1)证明: an? 2 ? an ? ? ;

A. ? 2, ???

? ??, ?2?

D. ? ??, ?1?

(2)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件, 测量这些产品的一项质量指标值,由 测量结果得如下频率分布直方图:

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个 条棱中,最长的棱的长度为( )A. 6 2 B.6 C. 4 2 D.4

2

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值 作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2
2

2

F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为
(1)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ae ln x ?
x

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.
2 若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切 x

线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
o

19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , AB = BC ,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.
o

若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b
(2)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

(1)求 a ? b 的最小值;

3

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 1 理科数学详解答案
一、选择题 1.A 解析: A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ? x ? x ? 3?? x ? 1? ? 0 ? x x ? ?1或x ? 3 , 又
2

8 3 8 15 8 15 , a ? , b ? ;当 n ? 4 时, M ? , a ? , b ? ; 3 2 3 8 3 8 15 此时运算终止, M ? ,故选 D 8
当 n ? 3 时, M ? 8.C 解析: 由 tan ? ?

?

? ?

? ?

?

1 ? sin ? sin ? 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? 得 cos ? cos ? cos ?

B ? ? x ? 2 ? x ? 2? , A B ? ??2, ?1? ,故选 A
2.D

即 sin ?? ? ? ? ? cos ? , 所以 sin ?? ? ? ? ? sin?

?1+i ? ? ?1+i ? ?1+i ? ? 2i ? ?1+i ? ? ?1 ? i ,故选 D 解析: 2 2 ?2i ?1-i ? ?1-i ?
3 2

?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? , 由已知 ? ? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? , 所以 ?2 ? ? 2? ? 2? ? ? ??
上 单 调 递 增 , 所 以

?

?
2

?? ?? ?

?
2

,0 ?

?
2

?? ?

?
2

3.C 解析: f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数,则 f ? x ? g ? x ? 是奇函数,排除 A

, y ? sin x 在 ? ? , ? ? 2 2?

f ? x ? 是奇函数, f ? x ? 是偶函数, g ? x ? 是偶函数,则 f ? x ? g ? x ? 是偶函数,排除 B f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数,则 f ? x ? g ? x ? 是奇函数,C 正确 f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数, f ? x ? g ? x ? 是奇函数,则 f ? x ? g ? x ? 是偶函数,排除 D,
故选 C 4.A 解析:双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长 b ,故距离 3 ,选 A 5.D 解析:周六没有同学的方法数为 1,周日没有同学的方法数为 1,所以周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为 P ?

? ?? ?

?
2

? ? , 2? ? ? ?

?
2

,故选 C

9.B 解析:令 x ? 2 y ? m ? x ? y ? ? n ? x ? 2 y ? ? ? m ? n ? x ? ? m ? 2n ? y ,所以

4 ? m? ? ?m ? n ? 1 4 1 ? 3 ,解得 ? ,所以 x ? 2 y ? ? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? ? 0 ,因而可以判断 p1 , p2 为真, ? 3 3 ? m ? 2n ? 2 ?n ? ? 1 ? 3 ?
故选 B 10. B 解析:由已知 xP ? ?2, xF ? 2, 又 FP ? 4FQ ,则 ?4 ? 4 xQ ? 2 ,? xQ ? 1 ,过 Q 作 QD 垂直 于 l,垂足为 D,所以 QF ? QD ? 3 ,故选 B

?

?

2 ?2 7 ? ,故选 D 24 8
4

6.C 解析:由已知 OP ? 1, PM ? sin x , OM ? cos x ,又

1 1 f ? x ? ? OP ? OM MP ,所 2 2

1 sin 2 x ,故选 C 2 3 3 7.D 解析:当 n ? 2 时, M ? , a ? 2, b ? ; 2 2
以 f ? x ? ? sin x cos x ?

4

11.C 解析:当 a ? 0 时, f ? x ? ? ?3x2 ? 1有两个零点,不满足条件 当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 3ax 2 ? 6 x ? 3ax ? x ?

1 C8 ? C82 ? 8 ? 28 ? ?20

? ?

2? 2? ? ? ,令 f ' ? x ? ? 0 ? 3ax ? x ? ? ? 0 , a? a? ?

14.A 解析:乙没去过 C 城市,甲没去过 B 城市,但去过的城市比乙多,所以甲去过 A,C, 三人都去过同一个城市,一定是 A,所以填 A 15.

2 2? ? ?2 ? 解得 x ? 0或x ? ,当 a ? 0 时, f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ?1 在 ? ??, ? 和 ? 0, ??? 递增, ? , 0 ? 递 a a? ? ?a ?
减, f ?

? 2

解析: AO ?

以 AB 与 AC 的夹角为

4 ?2? ? = ? 2 ? 1 为极小值, f ? 0? =1 为极大值,若 f ? x ? 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 , a ?a? 4 ?2? f ? ? = ? 2 ? 1 ? 0,即为 a ? ?2 , 当 a ? 0 时 , a ?a? 2 ? ? 2? , ?? ? 递增, ? 0, ? 递减 , f ? 0? =1 为极大值, f ?a ? ? a?

? 。 2

1 ( AB ? AC ) ,如图所示,O 为 BC 中点,即 BC 为圆 O 的直径,所 2

A

只 需

f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ?1 在
B C O

? ??, 0 ? 和? ?

4 ?2? ? ? = ? 2 ? 1 为极小值,不可 a ?a?

能有满足条件的极值,故选 C 12.B 解析:几何体为如图所示的一个三棱锥 P ? ABC ,底面ABC为等腰三角形, 16. 3 解析: (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ? (2 ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ? 2a ? b2 ? c2 ? bc ,因为

ABC ,且三角形 PAC 为以A为直角 AB ? BC, A C ? 4, 顶点B到AC的距离为4,面 PAC ? 面
的等腰直角三角形,所以棱 PB 最长,长度为6,故选B

P B

A

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ? A? a =2,所以 2a ? b ? c ? bc ? b ? c ? a ? bc ? cos A ? 2bc 2 3
2 2 2 2 2

1 3 ?ABC 面积 S ? bc sin A ? bc ,而 2 4
b2 ? c2 ? a2 ? bc ? b2 ? c2 ? bc ? a2 ? b2 ? c2 ? bc ? 4 ? bc ? 4

C
二、填空题 13. ?20 解析: ( x ? y)( x ? y) ? x( x ? y) ? y( x ? y) ,故展开式中 x y 的系数为
8 8 8 2 2

1 3 S ? bc sin A ? bc ? 3 2 4

5

三、解答题

A

? ?an an ?1 ? ? Sn ? 1, ① 17.解析: (1)证明:当 n ? 2 时, ? ,①-②得 a a ? ? S ? 1 ② ? n ?1 ? n ?1 n

A1

an an?1 ? an?1an ? ? ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? an?1 ? an?1 ? ? ?an , an ? 0?an?1 ? an?1 ? ?,,即an?2 ? an ? ?
(2)存在,证明如下:假设存在 ? ,使得{ an }为等差数列,则有 2a2 ? a1 +a3 ,而 a1 =1,

C O

C1

B
(Ⅱ)

B1

a2 ? ? ?1, a3 ? 1 ? ? ,所以 2 ? ? ?1? ? 2 ? ? ? ? ? 4 ,此时{ an }为首项是 1,公差为 4 的等差
数列 18.解析: (Ⅰ) x ? 0.02 ?170 ? 0.09 ?180 ? 0.22 ?190 ? 0.33 ? 200 ? 0.24 ? 210 ? 0.08 ? 220 ? 0.02 ? 230 ? 200

AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC,令 AC ? 1 ? B1C ? 2 ? BC ? AB ? 2 ,
2 6 , BO ? ,? AO 2 ? BO 2 ? AB 2 ? AO ? BO, 2 2

又由已知可求 AO ?

AO ? B1C, B1C

BO ? O ? AO ? 面BB1C1C

s 2 ? 0.02 ? ?170 ? 200 ? ? 0.09 ? ?180 ? 200 ? ? 0.22 ? ?190 ? 200 ?
2 2 2 2 2

2 2

?0.33 ? ? 200 ? 200 ? ? 0.24 ? ? 210 ? 200 ? ? 0.08 ? ? 220 ? 200 ? ? 0.02 ? ? 230 ? 200 ? ? 150
2 (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知, ? = s =150,所以 ? ? 150 ? 12.2 ,

如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz
z A

2

A1

P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826
(ii)100 件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数 X 服从二项分布
B

C O B1

C1 y

B ?100,0.6826? ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26
19.解析: (Ⅰ) 证明: 侧面 BB1C1C 为菱形,令 BC1

x

B1C ? O ? BC1 ? B1C 又 AB ? B1C ,

AB BC1 ? B ? B1C ? 面ABC1

AO ? 面ABC1 ? AO ? B1C ,又 O 为 B1C 中点,所以三角形

? ? ? 3? 3 ? ? 3 ? 3 3? A? ? 0, 0, 3 ? ? , B ?1, 0, 0 ? , B1 ? ? 0, 3 , 0 ? ?,C ? ? 0, ? 3 , 0 ? ? ,? AB1 ? ? ? 0, 3 , ? 3 ? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? 3 ? A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? ,0? , B1C1 ? BC ? ? ?1, ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ?
设 n ? ? x, y, z ? 为平面 AA 1B 1 的一个法向量,则

ACB1 为等腰三角形,所以 AC ? AB1

6

? 3 3 y? z ? 0, ? ? n ? AB ? 0, ? ? 3 3 1 即? , 所以可取n ? 1, 3, 3 ? 3 ?n ? A1B1 ? 0 ? ? x? z?0 ? 3 ?

?

?
? ?

所以 ?OPQ 的面积 S ? k ? ?

1 4 4k 2 ? 3 2 ,令 4k ? 3 ? t ? t ? 0 ? PQ d ? 2 2 4k ? 1

S ?k ? ?

设 m ? ? a, b, c ? 为平面 A1B1C1 的一个法向量,则 ?

? ?m ? B1C1 ? 0, 同理可取m ? 1, ? 3, 3 m ? A B ? 0 ? ? 1 1

? ? 4 4k 2 ? 3 4t 4 7 ? 2 ? ? 1? 当且仅当t ? 2,即k ? ? 时取到 ? 2 ? ? 4k ? 1 t ?4 t? 4 2 ? ? t

1 1 则 cos ? n, m ?? ? ,所以二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值为 7 n m 7

n?m

此时直线 l 的方程为 y ?

7 7 x?2 x?2 或 y ? ? 2 2
x

?c 3 , ? ? ? x2 ?a ?a ? 2 2 20.解析: (Ⅰ)由已知得 ? 解得 ? ? 椭圆E的方程: ? y 2 ? 1 4 ? ?c ? 3 ?2 ? 2 3 ? 3 ?c
(Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时, ?OPQ 不存在 令直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 与
2

x ?1 1 ? be ? x ? 1? 1 ? b ? x ? 1? ? ? ? x ?1 ? 21.解析:(Ⅰ) f '( x) ? ae ? ln x ? ? ? ? e ae ln x ? ? ? ? ?? x? x2 x? x2 ? ? ? ?

因为曲线 y ? f ( x) 在点 (1,f (1) ) 处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 , 所以 ?

? f (1) ? 2 ?a ? 1 , 代入有 ? ? f '(1) ? e ?b ? 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x) ? e ln x ?
x

2e x ?1 ,欲证 f ( x) ? 1 ,只需证 x

x2 ? y 2 ? 1联立消去 y 有: ? 4k 2 ? 1? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 4
3 4

e x ln x ?

? ? ? ?16k ? ? 4 ? ? 4k 2 ? 1? ?12 ? 64k 2 ? 48 ? 0 ? k 2 ?

2 1 2 x 2e x ?1 ? 1 ,即证 ln x ? ? x ,即证 x ln x ? ? x ex e e e x

令 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

16k ? x1 ? x2 ? 2 , ? ? 4k ? 1 ? 12 ?x x ? 1 2 ? 4k 2 ? 1 ?

2 PQ ? ?1 ? k ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? ? 2

?? 16k ?2 48 ? ?1 ? k ? ?? ? ? 2 ? 2 ? ?? 4k ? 1 ? 4k ? 1? ?
2

4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 2 整理得 PQ ? ,令点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d ? 2 4k ? 1 k 2 ?1

2 x 1? x , h ? x ? ? x , g' ? x ? ? 1 ? ln x, h ' ? x ? ? x , e e e 1 1? x g' ? x ? ? 1 ? ln x ? 0, 解得x ? , h ' ? x ? ? x ? 0, 解得x ? 1 e e 1 1 1 当 0 ? x ? , g ' ? x ? ? 0, x ? , g ' ? x ? ? 0,? g ? x ?min ? e e e 1 0 ? x ? 1, h ' ? x ? ? 0, x ? 1, h ' ? x ? ? 0,? g ? x ?max ? e 2 x 所以 x ln x ? ? x 成立,所以 f ( x) ? 1 e e
令 g ? x ? ? x ln x ? 22.解析:.(Ⅰ)证明: 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,

? ?D ? ?CBE, CB ? CE ??E ? ?CBE ??E ? ?D

7

(Ⅱ)证明:取 BC 中点 N ,连接 MN ,由 MB=MC 得
D

2 a3 ? b3 ? ? a ? b ? ? a 2 ? ab ? b 2 ? ? ? a ? b ? ?? a ? b ? ? 3ab ? ? ab ab ? ab ab ? ? ? ?

?

?

2

? 3ab ? ? ?

M O A C N B E

? ab ab ?? ab ? ? 3ab ? ? ?
3
3 3 9 5 3 3 8 4 4 4 令 ab ? t , a ? b ? t ? 3t , 而 a ? b ' ? 9t ? 15t =t 9t ? 15 ,

?

?

?

?

t ? 2 ? ? a 3 ? b3 ? ' ? 0 ,所以 a3 ? b3 ? t 9 ? 3t 5 ? 4 2
(Ⅱ)不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 因为 2a ? 3b ? 2 6ab ? 4 3 ? 6 ,所以不存在.

MN ? BC ?O在直线MN上 ,由 AD 的中点为 M 得
MN ? AD, ? AD / / BC ??CBE ? ?A ?CBE ? ?E ? ?D ??A ? ?E ? ?D
△ADE 为等边三角形. 23.解析:(1)曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ,直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 ; ? y ? 3sin ?

(2)令点 P 坐标为 ? 2cos? ,3sin ? ? ,点 P 到直线 l 的距离为 d

d?

4cos ? ? 3sin ? ? 6 5

?

5 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? 4? ? tan ? ? ? 5 3? ?

| PA |?

d ? 2d ,所以 sin 30?

| PA |max ? ? 2d ?max ? 2dmax ?
24.解析:(Ⅰ)

22 5 2 5 ;| PA |min ? ? 2d ?min ? 2dmin ? 5 5

1 1 ? ? ab ? ab ab ? a ? b, a b

a ? 0, b ? 0?ab ab ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 2 ? ab ? 2
法一: a ? b ? 2 a b ? 2
3 3 3 3

?

ab

?

3

?4 2

法二:

8


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