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第13讲立几综合训练


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第 13 讲 立体几何综合训练
(2015 北京理)如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △ AEF 为等边三角形, 平面 AEF ? 平面 EFCB , EF ∥ BC , BC ? 4 , EF

? 2a ,

?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ) 求证: AO ? BE ;
(Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.

[来源:学科网]

(2015 海一)如图 1,在直角梯形 (Ⅰ)求证: BE1

ABCD 中, AD ? BC , AD ? DC , BC ? 2 AD ? 2 DC ,四边形 ABEF 是正方形. 将正方形 ABEF 沿 AB 折起到四边形 ABE1 F1 的位置,使平面 ABE1 F1 ? 平面 ABCD , M 为 AF1 的中点,如图 2.
? DC ;

(Ⅱ)求 BM 与平面 CE1M 所成角的正弦值; (Ⅲ)判断直线 DM 与 CE1 的位置关系,并说明理由.

图1

图2

(2015 西一)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形, EF∥AD,平面 ADEF ⊥平面 ABCD,且 BC = 2EF,AE = AF,点 G 是 EF 的中点 (1)证明: AG ⊥平面 ABCD 。 (2)若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为

6 ,求 AG 的长 9
AM 的值; MC

(3)判断线段 AC 上是否存在一点 M,使 MG∥平面 ABF?若存在,求出 若不存在,说明理由。

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老张数学 15201599549 一对一辅导 (2015 朝一)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, 已知 AB∥CD,AD⊥CD,AB = AD = (1)求证: BF ∥平面 CDE ; (2)求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值; (3)线段 EC 上是否存在点 M,使得平面 BDM ⊥平面 BDF? 若存在,求出

1 CD. 2

EM EC

的值;若不存在,说明理由.

(2015 东一) 如图,在三棱锥 P ?

ABC 中, PA ? 底面 ABC , AB ? BC , AB ? PA ? BC ? 2 . D, E 分别为 AB, AC 的中点,过 DE 的平面与 PB, PC 相交于点 M , N ( M 与 P, B 不重合, N 与 P, C 不重合). (Ⅰ)求证: MN ∥ BC ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 PBC 所成角的大小;
(Ⅲ)若直线 EM 与直线

AP 所成角的余弦值

3 14 14

时,求 MC 的长.

(2015 丰一)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, // ,AB=PA=4,BE=2. //平面 ; ,使得平面 平面 ? (Ⅰ)求证: (Ⅲ)在棱 如果存在,求

平面



(Ⅱ)求 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值; 上是否存在一点

的值;如果不存在,说明理由.

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老张数学 15201599549 一对一辅导 (2015 房一)在如图所示的多面体中, EA ⊥平面

ABC , DB ⊥平面 ABC, AC ? BC 且 AC ? BC ? BD ? 2 AE ? 2 , M 是 AB 的 中点. (Ⅰ)求证: CM ⊥ EM ; (Ⅱ)求平面 EMC 与平 面 BCD 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 DC 上是否存在一点 N ,使得直线 MN 与平面 EMC 所成的角为 60? .若存在,指出点 N 的位置;若不存在,请说明理由.

(2015 石一)如图,多面体 ABCDEF 中,平面 ADEF⊥平面 ABCD,正方形 ADEF 的边长为 2 直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 BDE; (Ⅱ)试在平面 CDE 上确定点 P,使点 P 到直线 DC、DE 的距离相等, 且 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30°

E F

D A B

C

(2015 顺一)如图,在四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , AD ? DC ,平面 PAD ? 底面 ABCD , Q 为 AD 的
PD ? 2, BC ? 1 AD ? 1, CD ? 3. 2

中点, M 是棱 PC 的中点, PA ? (I)求证: PQ

? AB ; (II)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (III)求二面角 P ? QB ? M 的余弦值.

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